Ящик с усами

Ящик с усами^[1], диаграмма размаха^[1], усиковая диаграмма^[2], коробчатая диаграмма^[3], блочная диаграмма с ограничителями выбросов^[4] (англ. box-and-whiskers diagram or plot, box plot) — график, использующийся в описательной статистике, компактно изображающий одномерное распределение вероятностей.

График 1. Результаты эксперимента Майкельсона-Морли

График 2. Сравнение плотности распределения и ящика с усами

График 3. Функция вероятности нормального распределения

Такой вид диаграммы в удобной форме показывает медиану (или, если нужно, среднее), нижний и верхний квартили, минимальное и максимальное значение выборки и выбросы. Несколько таких ящиков можно нарисовать бок о бок, чтобы визуально сравнивать одно распределение с другим; их можно располагать как горизонтально, так и вертикально. Расстояния между различными частями ящика позволяют определить степень разброса (дисперсии) и асимметрии данных и выявить выбросы.

Компактность представления информацииПравить

График «ящик с усами», или «ящичковая диаграмма», был разработан Джоном Тьюки в 1970-х годах. По сути, ящик с усами — это быстрый способ изучения одного или нескольких наборов данных в графическом виде. Этот график может показаться более примитивным, чем, например, гистограммы, но он имеет некоторые преимущества. Он занимает меньше места и поэтому особенно полезен для сравнения распределений между несколькими группами или наборами данных. Кроме того, ящик с усами в своей первоначальной форме прост для построения.

На графике 2 приведены два графических представления распределения одной и той же случайной величины. Сверху показана плотность распределения, а снизу ящик с усами. Видно, что ящик с усами более компактный и по нему легко можно оценить медианы, квантили, дисперсию^{[источник не указан 370 дней]} и асимметрию в данных, а также выявить выбросы. Асимметрию данных можно увидеть не только по медиане, смещённой к какому-либо концу ящика, но и по разной длине усов, выходящих из ящика.

График «ящик с усами» очень прост для понимания и именно поэтому часто используется в различных публикациях для визуализации данных.

ПостроениеПравить

Границами ящика служат первый и третий квартили (25-й и 75-й процентили соответственно), линия в середине ящика — медиана (50-й процентиль).^[5] Концы усов — края статистически значимой выборки (без выбросов), и они могут определяться несколькими способами. Наиболее распространённые значения, определяющие длину «усов»:

Минимальное и максимальное наблюдаемые значения данных по выборке (в этом случае выбросы отсутствуют);
Разность первого квартиля и полутора межквартильных расстояний; сумма третьего квартиля и полутора межквартильных расстояний (в этом случаем присутствуют выбросы). В общем виде эта формула имеет вид

  $\text{[math]}$  $X_{1}=Q_{1}-k(Q_{3}-Q_{1})$  ,   $\text{[math]}$  $X_{2}=Q_{3}+k(Q_{3}-Q_{1})$  ,

где $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $X_{1}$ — нижняя граница уса, $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $X_{2}$ — верхняя граница уса, $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $Q_{1}$ — первый квартиль, $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $Q_{3}$ — третий квартиль, $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $k$ — коэффициент, наиболее часто употребляемое значение которого равно 1,5. При этом длину верхнего уса ограничиваем максимальным значением по выборке, попадающим в верхнюю границу уса; длину нижнего уса ограничиваем минимальным значением по выборке, попадающим в длину нижнего уса. Поэтому длина верхнего и нижнего уса может не совпадать.

Среднее арифметическое по выборке ± одно стандартное отклонение;^{[источник не указан 3266 дней]}
9-й и 91-й процентили;
2-й и 98-й процентили.

Данные, выходящие за границы усов (выбросы), отображаются на графике в виде точек, маленьких кружков или звёздочек.

Иногда на графике отмечают среднее арифметическое и его доверительный интервал («зарубка» в виде клина-выреза на ящике). Иногда зарубками обозначают доверительный интервал для медианы.^[6]

В связи с тем, что не существует единого общего согласия относительно того, как конкретно строить «ящик с усами», при виде такого графика необходимо искать информацию в сопроводительном тексте относительно того, по каким параметрам ящик с усами строился.

Модификации ящика с усамиПравить

График 4. Четыре ящика с усами с вырезами и без них и переменной шириной

Несмотря на свою простоту и удобство, первоначальная форма ящика с усами обладает и некоторыми недостатками. Один из таких существенных недостатков — отсутствие на графике информации о количестве наблюдений по выборке. Действительно, ящик с усами позволяет сравнить медианы, квартили, минимумы и максимумы по различным выборкам, но если мы захотим сделать вывод об общей медиане по всей совокупности выборок, то мы не сможем этого сделать, не прибегая к расчётам на исходных данных.

В 1978 году первоначальная форма ящика с усами была модифицирована МакГиллом, Ларсеном и Тьюки.^[7] Они предложили учитывать размер выборочной совокупности, рисуя ящики разной ширины (на графике 4 — variable width), а также изобразили на графике доверительный интервал для медиан в виде расходящихся клиньев-вырезов (на графике 4 — notched). Чем шире ящик — тем большее количество наблюдений в выборке, по которой строился этот ящик. Что касается доверительного интервала, то он представляет собой вырезы, расходящиеся от медианы на каждом из ящиков; в случае, если получившиеся вырезы разных ящиков не пересекаются, их медианы статистически значимо различаются.

Иная модификация получила название «histplot» (сокр. от «histogram plot», с англ. — «график-гистограмма»). Теперь на графике отображаются плотности распределения по трём точкам: медиане, первому и третьему квартилю. Соответственно, вместо прямоугольника, «ящик» теперь представляет собой две равнобедренные трапеции, имеющие смежное основание.

Дальнейшее изменение получило название «vaseplot» (с англ. — «график-ваза») из-за визуального сходства «ящика» с вазой. На данном графике производится отображение всех плотностей вероятностей от первого до третьего квартиля. Затемнённые области представляют собой доверительный интервал медианы.

ПримечанияПравить

↑ ¹ ² Диаграмма размаха ("ящик с усами")
↑ https://cyberleninka.ru/article/n/imitatsionnoe-modelirovanie-mikrostruktury-fondovogo-rynka-na-osnove-vysokochastotnoy-i-transaktsionnoy-informatsii
↑ Коробчатая диаграмма
↑ Создание блочной диаграммы с ограничителями выбросов
↑ Frigge, M. (англ.) (рус.; Hoaglin, D. C. (англ.) (рус.; Iglewicz, B. (англ.) (рус.. Some Implementations of the Boxplot (англ.) // The American Statistician (англ.) (рус. : journal. — 1989. — Vol. 43, no. 1. — P. 50—54. — doi:10.2307/2685173. — JSTOR 2685173.
↑ Benjamini, Y. Opening the Box of a Boxplot (англ.) // The American Statistician (англ.) (рус. : journal. — 1988. — Vol. 42, no. 4. — P. 257—262. — doi:10.2307/2685133. — JSTOR 2685133.
↑ McGill, Robert; Tukey, John W.; Larsen, Wayne A. (February 1978). “Variations of Box Plots”. The American Statistician. 32 (1): 12—16. DOI:10.2307/2683468. JSTOR 2683468.

СсылкиПравить

[dataviz-1] ¹ ² Диаграмма размаха ("ящик с усами")

[2] ttps://cyberleninka.ru/article/n/imitatsionnoe-modelirovanie-mikrostruktury-fondovogo-rynka-na-osnove-vysokochastotnoy-i-transaktsionnoy-informatsii

[3] Коробчатая диаграмма

[4] Создание блочной диаграммы с ограничителями выбросов

[5] Frigge, M. (англ.) (рус.; Hoaglin, D. C. (англ.) (рус.; Iglewicz, B. (англ.) (рус.. Some Implementations of the Boxplot (англ.) // The American Statistician (англ.) (рус. : journal. — 1989. — Vol. 43, no. 1. — P. 50—54. — doi:10.2307/2685173. — JSTOR 2685173.

[6] Benjamini, Y. Opening the Box of a Boxplot (англ.) // The American Statistician (англ.) (рус. : journal. — 1988. — Vol. 42, no. 4. — P. 257—262. — doi:10.2307/2685133. — JSTOR 2685133.

[mcgill_tukey_larsen-7] McGill, Robert; Tukey, John W.; Larsen, Wayne A. (February 1978). “Variations of Box Plots”. The American Statistician. 32 (1): 12—16. DOI:10.2307/2683468. JSTOR 2683468.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]