Конформно плоское многообразие

Конформно плоское многообразие — риманово многообразие, каждая точка которого имеет окрестность, которая может быть конформно отображена на область евклидова пространства.

Более формально, пусть M — псевдориманово многообразие с метрикой g. Тогда M является конформно плоским, если для каждой точки $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $x\in M$ $x\in M$ существует окрестность $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $U\ni x$ $U\ni x$ и гладкая функция $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\phi$ $\phi$ , определённая на U и такая, что метрика $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $e^{2\phi }\cdot g$ $e^{2\phi }\cdot g$ на $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $U$ $U$ является плоской (то есть кривизны $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $e^{2\phi }\cdot g$ $e^{2\phi }\cdot g$ обращаются в нуль на $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $U$ $U$ ).

Функция $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\phi$ $\phi$ называется конформным фактором, она не должна быть определена на всём М. Некоторые авторы используют термин локально конформно плоское для описания понятия, введённого выше, и оставляют термин конформно плоское для случая, в котором функция $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\phi$ $\phi$ определяется на всём М.

ПримерыПравить

Любое многообразие с постоянной секционной кривизной является конформно плоским.
Любое 2-мерное псевдориманово многообразие является конформно плоским.
3-мерное псевдориманово многообразие является конформно плоским тогда и только тогда, когда тензор Коттона обращается в нуль.
n-мерное псевдориманово многообразие для n ≥ 4 является конформно плоским, тогда и только тогда, когда тензор Вейля обращается в нуль.

СвойстваПравить

Всякое компактное, односвязное, конформно плоское риманово многообразие является конформно эквивалентным сфере.

Вариации и обобщенияПравить

Псевдориманово многообразие называется конформно плоским если каждая его точка имеет окрестность, которая может быть конформно отображена на область псевдоевклидова пространства.