Тензор Коттона

В дифференциальной геометрии тензор Коттона на (псевдо)-римановом многообразии размерности n задаётся как тензор 3-го ранга, определяемый с помощью метрики.

Назван в честь Эмиля Коттона.

ОпределениеПравить

Тензор Коттона можно записать в координатах следующим образом

$C_{ijk}={\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}}_k{R}_{ij}-<!--\; -\; -->{\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}}_j{R}_{ik}+\frac{1}{2(n-<!--\; -\; -->1)}\cdot <!--\; \cdot \; -->\left({\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}}_{j}R{g}_{ik}-<!--\; -\; -->{\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}}_{k}R{g}_{ij}\right),$$C_{ijk}=\nabla _{k}R_{ij}-\nabla _{j}R_{ik}+{\tfrac {1}{2(n-1)}}\cdot \left(\nabla _{j}Rg_{ik}-\nabla _{k}Rg_{ij}\right),$ 

где $R_{ij}$$R_{ij}$  — тензор Риччи и $R$$R$  — скалярная кривизна

Про Тензор Коттона можно думать как про векторно-значную 2-форму.

СвойстваПравить

• Равенство нулю тензора Коттона для размерности $n=3$$n=3$  является необходимым и достаточным условием того, что многообразие является конформно евклидовым.
  • В размерностях $n\ge <!--\; \ge \; -->4$$n\geq 4$  аналогичным свойством обладает тензору Вейля.

ЛитератураПравить

• Cotton, É. Sur les variétés à trois dimensions // Annales de la Faculté des Sciences de Toulouse. — 1899. Архивировано 10 октября 2007 года.
• A. Garcia, F.W. Hehl, C. Heinicke, A. Macias. The Cotton tensor in Riemannian spacetimes // Classical and Quantum Gravity. — 2004. — № 21. — С. 1099—1118. — arXiv:gr-qc/0309008.