Тензор Вейля

Тензор кривизны Вейля — часть тензора кривизны Римана с нулевым следом. Другими словами, это тензор, удовлетворяющий всем свойствам симметрии тензора Римана с дополнительным условием, что построенный по нему тензор Риччи равен нулю.

Назван в честь Германа Вейля.

ОпределениеПравить

Тензор Вейля можно получить из тензора кривизны, если вычесть из него определённые комбинации тензора Риччи и скалярной кривизны. Формула для тензора Вейля легче всего записывается через тензор Римана в форме тензора валентности (0,4):

$W=R-<!--\; -\; -->\frac{1}{n-<!--\; -\; -->2}\left(Ric-<!--\; -\; -->\frac{s}{n}g\right)\circ <!--\; \circ \; -->g-<!--\; -\; -->\frac{s}{2n(n-<!--\; -\; -->1)}g\circ <!--\; \circ \; -->g$$W=R-{\frac {1}{n-2}}\left(Ric-{\frac {s}{n}}g\right)\circ g-{\frac {s}{2n(n-1)}}g\circ g$ 

где n — размерность многообразия, g — метрика, R — тензор Римана, Ric — тензор Риччи, s — скалярная кривизна, а h O k — так называемое произведение Кулкарни — Номидзу, произведение двух симметричных тензоров валентности (0,2) есть тензор валентности (0,4), удовлетворяющий симметриям тензора кривизны:

$(h\circ <!--\; \circ \; -->k)(v_1,v_2,v_3,v_4)=$$(h\circ k)(v_{1},v_{2},v_{3},v_{4})=$	$h(v_1,v_3)k(v_2,v_4)+h(v_2,v_4)k(v_1,v_3)-<!--\; -\; -->$$h(v_{1},v_{3})k(v_{2},v_{4})+h(v_{2},v_{4})k(v_{1},v_{3})-$
	$-<!--\; -\; -->h(v_1,v_4)k(v_2,v_3)-<!--\; -\; -->h(v_2,v_3)k(v_1,v_4).$${}-h(v_{1},v_{4})k(v_{2},v_{3})-h(v_{2},v_{3})k(v_{1},v_{4}).$

В компонентах, тензор Вейля задаётся выражением:

$W_{abcd}=R_{abcd}-<!--\; -\; -->\frac{2}{n-<!--\; -\; -->2}(g_{a[c}{R}_{d]b}-<!--\; -\; -->g_{b[c}{R}_{d]a})+\frac{2}{(n-<!--\; -\; -->1)(n-<!--\; -\; -->2)}R{g}_{a[c}{g}_{d]b}$$W_{{abcd}}=R_{{abcd}}-{\frac {2}{n-2}}(g_{{a[c}}R_{{d]b}}-g_{{b[c}}R_{{d]a}})+{\frac {2}{(n-1)(n-2)}}R~g_{{a[c}}g_{{d]b}}$ 

где $R_{abcd}$$R_{abcd}$  — тензор Римана, $R_{ab}$$R_{{ab}}$  — тензор Риччи, $R$$R$  — скалярная кривизна и [] обозначает операцию антисимметризации.

СвойстваПравить

• Тензор Вейля может иметь нетривиальную форму только в пространствах с размерностью не меньше четырёх. В двумерном и трёхмерном пространствах тензоры Вейля тождественно равны нулю.

• Тензор Вейля остаётся инвариантным при конформных преобразованиях метрики. То есть, если для данной метрики g ввести новую метрику ${\stackrel{~<!--\; ~\; -->}{g}}_{ij}=\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}{g}_{ij}$${\tilde {g}}_{{ij}}=\Omega g_{{ij}}$  при помощи некоторой функции $\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}$$\Omega$ , то (1,3)-валентный тензор Вейля не изменяется: ${\stackrel{~<!--\; ~\; -->}{W}}_{abc}{}^d={W_{abc}}^d$${\tilde {W}}_{{abc}}{}^{d}={W_{{abc}}}^{d}$ . По этой причине тензор Вейля ещё называют конформным тензором. Из этого свойства следует, что
  • для того, чтобы многообразие было конформно евклидовым, необходимо чтобы его тензор Вейля равнялся нулю.
  • Для размерностей ≥ 4 это условие оказывается также и достаточным.
  • Для пространств размерности 3 необходимым и достаточным условием конформной евклидовости является равенство нулю тензора Коттона.

См. такжеПравить

• Кривизна римановых многообразий
• Конформное отображение
• Символы Кристоффеля
• Общая теория относительности
• Тензор Баха
• Тензор Шутена