Конформное отображение

Конформное отображение — непрерывное отображение, сохраняющее углы между кривыми, а значит и форму бесконечно малых фигур.

ОпределениеПравить

Взаимно однозначное отображение области D на область D^* (евклидова пространства или риманова многообразия) называется конформным (лат. conformis — подобный), если в окрестности любой точки D дифференциалом этого преобразования является композиция ортогонального преобразования и гомотетии.

Этот термин пришёл из комплексного анализа, изначально использовался только для конформных отображений областей плоскости.

Связанные определенияПравить

• Если при конформном отображении сохраняется ориентация, то говорят о конформном отображении первого рода; если же она меняется на противоположную, то говорят о конформном отображении второго рода либо антиконформном отображении .
• Две метрики $g,\stackrel{~<!--\; ~\; -->}{g}$$g,{\tilde g}$  на гладком многообразии $M$$M$  называются конформноэквивалентными если существует гладкая функция $\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}:M\to <!--\; \to \; -->\mathbb{R}$$\psi :M\to \mathbb{R}$  такая что $\stackrel{~<!--\; ~\; -->}{g}=e^{2\cdot <!--\; \cdot \; -->\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}g$${\tilde {g}}=e^{2\cdot \psi }g$ . В этом случае функция $e^{\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}$$e^{\psi }$  называется конформным фактором $\stackrel{~<!--\; ~\; -->}{g}$${\tilde g}$ .

СвойстваПравить

 

Пример конформного отображения. Видно, что перпендикулярность сохраняется.

• Конформное отображение сохраняет форму бесконечно малых фигур;
• Конформное отображение сохраняет углы между кривыми в точках их пересечения (свойство сохранения углов).
  • Это свойство можно также взять за определение конформного отображения.
• Теорема Римана: Любая односвязная открытая область в плоскости, отличная от всей плоскости, допускает конформную биекцию на единичный диск.
• Теорема Лиувилля: Всякое конформное отображение области евклидова пространства ${\mathbb{R}}^n$$\mathbb {R} ^{n}$  при $n\ge <!--\; \ge \; -->3$$n\geq 3$  можно представить в виде суперпозиции конечного числа инверсий.
• Кривизна Вейля сохраняется при конформном отображении, то есть если $\stackrel{~<!--\; ~\; -->}{g}$${\tilde g}$  и $g$$g$  — конформноэквивалентные метрические тензоры, то

  $\stackrel{~<!--\; ~\; -->}{W}(X,Y)Z=W(X,Y)Z,$${\tilde W}(X,Y)Z=W(X,Y)Z,$ 

где $\stackrel{~<!--\; ~\; -->}{W}$${\tilde W}$  и $W$$W$  обозначают тензоры Вейля для $\stackrel{~<!--\; ~\; -->}{g}$${\tilde g}$  и $g$$g$  соответственно.

• Для конформно-эквивалентых метрик $\stackrel{~<!--\; ~\; -->}{g}=e^{2\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}\cdot <!--\; \cdot \; -->g$${\tilde {g}}=e^{2\psi }{\cdot }g$ 

• Связности связаны следующей формулой:

  ${\stackrel{~<!--\; ~\; -->}{\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}}}_{X}Y={\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}}_{X}Y+(X\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->})\cdot <!--\; \cdot \; -->Y+(Y\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->})\cdot <!--\; \cdot \; -->X-<!--\; -\; -->g(X,Y)\cdot <!--\; \cdot \; -->\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}.$${\tilde {\nabla }}_{X}Y=\nabla _{X}Y+(X\psi ){\cdot }Y+(Y\psi ){\cdot }X-g(X,Y){\cdot }\nabla \psi .$ 

• Кривизны связаны следующей формулой:

  $g(\stackrel{~<!--\; ~\; -->}{R}(X,Y)Y,X)=g(R(X,Y)Y,X)-<!--\; -\; -->$$g({\tilde R}(X,Y)Y,X)=g(R(X,Y)Y,X)-$ 

  $-<!--\; -\; -->{\mathrm{H}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{s}}_{\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}(X,X)-<!--\; -\; -->{\mathrm{H}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{s}}_{\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}(Y,Y)-<!--\; -\; -->|\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}{|}^2+(Y\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}{)}^2$$-\mathrm {Hess} _{\psi }(X,X)-\mathrm {Hess} _{\psi }(Y,Y)-|\nabla \psi |^{2}+(Y\psi )^{2}$ 

если $g(X,X)=g(Y,Y)=1,g(X,Y)=0,X\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}=0$$g(X,X)=g(Y,Y)=1,g(X,Y)=0,X\psi =0$  а ${\mathrm{H}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{s}}_{\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}$$\mathrm {Hess} _{\psi }$  обозначает Гессиан функции $\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}$$\psi$ .

• В двумерном случае $|\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}{|}^2=(Y\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}{)}^2$$|\nabla \psi |^{2}=(Y\psi )^{2}$ , поэтому формулу можно записать как

$e^{2\cdot <!--\; \cdot \; -->\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}\cdot <!--\; \cdot \; -->\stackrel{~<!--\; ~\; -->}{K}=K-<!--\; -\; -->\mathrm{△<!--\; △\; -->}\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}$$e^{2\cdot \psi }\cdot {\tilde {K}}=K-\triangle \psi$ 

где $\mathrm{△<!--\; △\; -->}$$\triangle$  обозначает лапласиан по отношению к $g$$g$ .

• Для ортонормированной пары векторов $X$$X$  и $Y$$Y$ , секционную кривизну в направленнии $X\wedge <!--\; \wedge \; -->Y$$X\wedge Y$  можно записать в следующем виде:

  ${\stackrel{~<!--\; ~\; -->}{K}}_{X,Y}=f^2\cdot <!--\; \cdot \; -->K_{X,Y}+f\cdot <!--\; \cdot \; -->[{\mathrm{H}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{s}}_f(X,X)+{\mathrm{H}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{s}}_f(Y,Y)]-<!--\; -\; -->|\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}f{|}^2,$${\tilde {K}}_{X,Y}=f^{2}{\cdot }K_{X,Y}+f{\cdot }[\mathrm {Hess} _{f}(X,X)+\mathrm {Hess} _{f}(Y,Y)]-|\nabla f|^{2},$ 

где $f=e^{-<!--\; -\; -->\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}$$f=e^{{-\psi }}$ .

• При вычислении скалярной кривизны $n$$n$ -мерного риманова многообразия при $n⩾<!--\; ⩾\; -->3$$n\geqslant 3$ , удобнее записывать конформный фактор в виде $\stackrel{~<!--\; ~\; -->}{g}=u^{\frac{4}{n-<!--\; -\; -->2}}\cdot <!--\; \cdot \; -->g$${\tilde {g}}=u^{\tfrac {4}{n-2}}{\cdot }g$ . В этом случае:

  $\stackrel{~<!--\; ~\; -->}{Sc}=\left(Sc\cdot <!--\; \cdot \; -->u-<!--\; -\; -->\frac{4\cdot <!--\; \cdot \; -->(n-<!--\; -\; -->1)}{n-<!--\; -\; -->2}\cdot <!--\; \cdot \; -->\mathrm{△<!--\; △\; -->}u\right)\cdot <!--\; \cdot \; -->u^{\frac{n-<!--\; -\; -->2}{n+2}}$${\tilde {Sc}}=\left({Sc}\cdot u-{\frac {4{\cdot }(n-1)}{n-2}}{\cdot }\triangle u\right)\cdot u^{\frac {n-2}{n+2}}$ 

• Линейный оператор $u\mapsto <!--\; \mapsto \; -->\frac{n-<!--\; -\; -->2}{4\cdot <!--\; \cdot \; -->(n-<!--\; -\; -->1)}\cdot <!--\; \cdot \; -->Sc\cdot <!--\; \cdot \; -->u-<!--\; -\; -->\mathrm{△<!--\; △\; -->}u$$u\mapsto {\tfrac {n-2}{4{\cdot }(n-1)}}{\cdot }{Sc}\cdot u-\triangle u$  называется конформным лапласианом.

ПримерыПравить

 

Дисторсия (посередине и справа) как пример неконформного отображения квадрата.

• Простейший пример — преобразования подобия, ими исчерпываются все конформные отображения всего евклидова пространства на себя;
• Инверсия — конформное отображение второго рода;
• Любая голоморфная функция, обратная к которой также голоморфна, определяет конформное отображение первого рода соответствующей области комплексной плоскости;
• Стереографическая проекция.

ИсторияПравить

Исследованием конформных отображений занимались Л. Эйлер, Б. Риман, К. Гаусс, А. Пуанкаре, К. Каратеодори, Н. Е. Жуковский, С. А. Чаплыгин, М. А. Лаврентьев.

ПрименениеПравить

Конформное отображение применяется в картографии, электростатике для расчёта распределения электрических полей, механике сплошных сред (гидро- и аэромеханика, газовая динамика, теория упругости, теория пластичности и др.).

ЛитератураПравить

• Алешков Ю. З. Лекции по теории функции комплексного переменного, СПб.: изд-во СПбГУ, 1999;
• Иванов В. И. Конформные отображения и их приложения (краткий исторический очерк). // Историко-математические исследования. — М.: Янус-К, 2001. — № 41 (6). — С. 255-266..
• Каратеодори К. Конформное отображение. М.—Л.: ОНТИ Государственное технико-теоретическое издательство, 1934 / Пер. с англ. М. В. Келдыша
• Лаврентьев М.А. Конформные отображения. М.—Л.: Гостехиздат, 1946. 160 c.
• Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. — М.: Наука, 1969. — 577 с.
• Янушаускас А. И. Трёхмерные аналоги конформных отображений. Новосибирск: Наука, 1982. 173 с., 2650 экз.
• Радыгин В. М., Полянский И. С. Методы конформных отображений многогранников в ${\mathbb{R}}^3$$\mathbb {R} ^{3}$  // Вестн. Удмуртск. ун-та. Матем. Мех. Компьют. науки, 27:1 (2017), 60–68.

См. такжеПравить

• Условия Коши — Римана
• Теорема Римана об отображении
• Теорема Шварца — Кристоффеля
• Диффеоморфизм
• Принцип соответствия границ

СсылкиПравить

• Примеры конформных отображений, осуществляемых некоторыми элементарными функциями.