Принцип соответствия границ

Принцип соответствия границ или теорема Каратеодори:

Если $f$$f$ конформно отображает область $G$$G$ на область $G^{\prime }$$G'$ и границы областей жордановы, то $f$$f$ можно продолжить до гомеоморфизма $\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{f}:\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{G}\to <!--\; \to \; -->\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{G^{\prime }}$${\overline {f}}:{\overline {G}}\to {\overline {G'}}$.

ЗамечанияПравить

• В общем случае области с произвольной границей утверждение теоремы неверно.

Вариации и обобщенияПравить

Теорема Шварца о соответствии границ:

Если $f$$f$  конформно отображает область $G$$G$  на область $G^{\prime }$$G'$ , притом кривые $\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}G$$\partial G$  и $\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{G}^{\prime }$$\partial G'$  являются аналитическими, то её можно продолжить до конформного отображения $\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{f}:\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{G}\to <!--\; \to \; -->\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{G^{\prime }}$${\overline {f}}:{\overline {G}}\to {\overline {G'}}$ .

Это не есть усиление теоремы Каратеодори, поскольку существуют непрерывные, но не аналитические границы.

ЛитератураПравить

• Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. — М.: Наука. — 1969, 577 стр.