Колесо (алгебра)

Колесо (от англ. Wheel theory — «теория колес», иногда «ролик») — тип алгебры, где операция деления определена всегда. В частности, в них деление на ноль имеет смысл. Вещественные числа могут быть расширены до колеса, как и любое коммутативное кольцо.

Сфера Римана также может быть расширена до колеса путем присоединения элемента $\mathrm{\perp <!--\; \perp \; -->}$$\bot$, где $0/0=\mathrm{\perp <!--\; \perp \; -->}$$0/0=\bot$. Сфера Римана является расширением комплексной плоскости элементом $\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}$$\infty$, где $z/0=\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}$$z/0=\infty$ для любых комплексных $z\ne <!--\; \ne \; -->0$$z\neq 0$. Однако $0/0$$0/0$ не определён в сфере Римана, но определяется в её расширении до колеса.

Термин колесо вдохновлен топологической пиктограммой $\odot <!--\; \odot \; -->$$\odot$, обозначающей проективную линию вместе с дополнительной точкой $\mathrm{\perp <!--\; \perp \; -->}=0/0$$\bot =0/0$.

ОпределениеПравить

Колесо — это алгебраическая структура $(W,0,1,+,\cdot <!--\; \cdot \; -->,/)$$(W,0,1,+,\cdot ,/)$  (где операция / унарная), удовлетворяющая:

• Сложение и умножение являются коммутативными и ассоциативными, а $0$$0$  и $1$$1$  представляют собой их нейтральные элементы.
• $//x=x$$//x=x$ 
• $/(xy)=/x/y$$/(xy)=/x/y$ 
• $xz+yz=(x+y)z+0z$$xz+yz=(x+y)z+0z$ 
• $(x+yz)/y=x/y+z+0y$$(x+yz)/y=x/y+z+0y$ 
• $0\cdot <!--\; \cdot \; -->0=0$$0\cdot 0=0$ 
• $(x+0y)z=xz+0y$$(x+0y)z=xz+0y$ 
• $/(x+0y)=/x+0y$$/(x+0y)=/x+0y$ 
• $0/0+x=0/0$$0/0+x=0/0$ 

Алгебра колесПравить

Колеса заменяют традиционное деление (бинарный оператор, обратный к умножению) на унарный оператор, применяющийся к одному аргументу: «$/x$$/x$ ». Это похоже на определение обратного числа $x^{-<!--\; -\; -->1}$$x^{{-1}}$ , но не идентично ему. В колесах $a/b$$a/b$  становится краткой записью для $a\cdot <!--\; \cdot \; -->/b=/b\cdot <!--\; \cdot \; -->a$$a\cdot /b=/b\cdot a$  и изменяет правила алгебры так, что

• $0x\ne <!--\; \ne \; -->0$$0x\neq 0$  в общем случае
• $x-<!--\; -\; -->x\ne <!--\; \ne \; -->0$$x-x\neq 0$  в общем случае
• $x/x\ne <!--\; \ne \; -->1$$x/x\neq 1$  в общем случае, поскольку $/x$$/x$  не совпадает с мультипликативно обратным числом для $x$$x$ .

Если существует элемент $a$$a$  такой, что $1+a=0$$1+a=0$ , то становится возможным определить отрицание (противоположное число) $-<!--\; -\; -->x=ax$$-x=ax$  и вычитание $x-<!--\; -\; -->y=x+(-<!--\; -\; -->y)$$x-y=x+(-y)$ .

Некоторые следствия:

• $0x+0y=0xy$$0x+0y=0xy$ 
• $x-<!--\; -\; -->x=0x^2$$x-x=0x^{2}$ 
• $x/x=1+0x/x$$x/x=1+0x/x$ 

Тогда для $x$$x$  при $0x=0$$0x=0$  и $0/x=0$$0/x=0$  получаем привычные

• $x-<!--\; -\; -->x=0$$x-x=0$ 
• $x/x=1$$x/x=1$ 

Если определить отрицание как предложено выше, то подмножество колеса $\{x\mid <!--\; \mid \; -->0x=0\}$$\{x\mid 0x=0\}$  является коммутативным кольцом и, более того, любое коммутативное кольцо является таким подмножеством какого-либо колеса. Если $x$$x$  — обратимый элемент коммутативного кольца, то $x^{-<!--\; -\; -->1}=/x$$x^{-1}=/x$ . Таким образом, если $x^{-<!--\; -\; -->1}$$x^{{-1}}$  имеет смысл (как обычный обратный по умножению элемент), он равен $/x$$/x$ , но операция $/x$$/x$  определена всегда, даже для $x=0$$x=0$ .

СсылкиПравить

• Setzer, Anton (1997), Wheels, <http://www.cs.swan.ac.uk/~csetzer/articles/wheel.pdf>  (проект)
• Carlström, Jesper (2004), Wheels – On Division by Zero, Mathematical Structures in Computer Science (Cambridge University Press) . — Т. 14 (1): 143–184, DOI 10.1017/S0960129503004110  (также онлайн версия).
• Евгений Капи́нос. Делить на ноль — это норма. Часть 1 , Часть 2, 2015 (рус.)