Бордизм

Бордизм, также бордантность — термин топологии, употребляющийся самостоятельно или в составе стандартных словосочетаний в нескольких родственных смыслах, почти во всех из них вместо бордизм раньше говорили о кобордизмах, старая терминология тоже сохранилась.

«Штаны» — бордизм между окружностью и парой окружностей

Неориентированные бордизмыПравить

Неориентированные бордизмы — простейший вариант бордизмов. Два гладких замкнутых $n$$n$ -мерных многообразия $M$$M$  и $M^{\prime }$$M'$  бордантны (ограничивают, или внутренне гомологичны), если существует гладкое компактное $(n+1)$$(n+1)$ -мерное многообразие $W$$W$  (называемое плёнка), край которого состоит из двух многообразий $M$$M$  и $M^{\prime }$$M'$ , (или точнее многообразий $M_0$$M_{0}$  и $M_1$$M_{1}$  диффеоморфных, соответственно, $M$$M$  и $M^{\prime }$$M'$  посредством некоторых диффеоморфизмов $g_0:<!--\; :\; -->M\to <!--\; \to \; -->M_0$$g_{0}\colon M\to M_{0}$  и $g_1:<!--\; :\; -->M^{\prime }\to <!--\; \to \; -->M_1$$g_{1}\colon M'\to M_{1}$ ). Совокупность многообразий, бордантных друг другу, называется классами бордизмов, а тройку $(W,M_0,M_1)$$(W,\;M_{0},\;M_{1})$  называют бордизмом (точнее было бы говорить о пятёрке $(W,M_0,M_1,g_0,g_1)$$(W,\;M_{0},\;M_{1},\;g_{0},\;g_{1})$ ).

Множество классов бордизмов $n$$n$ -мерных многообразий образует абелеву группу ${\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}}_n^O$$\Omega _{n}^{O}$  относительно несвязного объединения, называемую группой бордизмов. Нулем в ней служит класс бордизмов, состоящих из многообразий, которые являются границей некоторого многообразия (другие названия: $M$$M$  — ограничивающее многообразие, $M$$M$  — внутренне гомологично, или бордантно нулю). Элементом ${\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}}_n^O$$\Omega _{n}^{O}$  обратным данному классу бордизмов, является сам этот класс (так как объединение двух копий $M$$M$  диффеоморфно границе прямого произведения $M\times <!--\; \times \; -->[0,1]$$M\times [0,\;1]$ ). Прямая сумма ${\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}}_{\ast <!--\; \ast \; -->}^O$$\Omega _{*}^{O}$  групп ${\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}}_n^O$$\Omega _{n}^{O}$  является коммутативным градуированным кольцом, умножение в котором индуцировано прямым произведением многообразий, с единицей, заданной классом бордизмов точки.

Бордизмы с дополнительной структуройПравить

Ориентированные бордизмыПравить

Ориентированные бордизмы — наиболее простой тип бордизмов гладких замкнутых многообразий с дополнительной структурой. Два ориентированных многообразия $M$$M$  и $M^{\prime }$$M'$  ориентированно бордантны, если они бордантны в прежнем смысле, причём плёнка $W$$W$  ориентирована, и (в прежних обозначениях) ориентация, индуцированная ориентацией $W$$W$  на $M_0$$M_{0}$  и $M_1$$M_{1}$  (как на частях края), переходит при диффеоморфизмах $g_0$$g_{0}$  и $g_1$$g_{1}$ , соответственно, в исходную ориентацию $M$$M$  и в ориентацию, противоположную исходной ориентации $M^{\prime }$$M'$ . Аналогично ${\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}}_n^O$$\Omega _{n}^{O}$ , и ${\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}}_{\ast <!--\; \ast \; -->}^O$$\Omega _{*}^{O}$  вводятся группы ориентированных бордизмов ${\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}}_n^{SO}$$\Omega _{n}^{SO}$  и кольцо ${\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}}_{\ast <!--\; \ast \; -->}^{SO}$$\Omega _{*}^{SO}$ .

Другие вариантыПравить

Другие варианты бордизмов многообразий с дополнительной структурой — очень важные бордизмы квазикомплексных многообразий (называемые также унитарными бордизмами), бордизмы многообразий, на которых действует группа преобразований, $\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{i}\mathrm{n}$$\mathrm {Spin}$ -бордизмы. Имеются также варианты несколько иного рода, для кусочно линейных или топологических многообразий, для комплексов Пуанкаре и т. д. Особое положение занимают бордизмы слоений и $h$$h$ -бордизмы (ранее называемые $J$$J$ -эквивалентностями); последние служат для связи дифференциальной и гомотопической топологии.

СвойстваПравить

• Два многообразия бордантны, тогда и только тогда, когда у них совпадают характеристические числа (числа Штифеля — Уитни в неориентируемом случае и числа Штифеля — Уитни и числа Понтрягина — в ориентируемом).

ИсторияПравить

Первый пример — бордизм оснащённых многообразий, введённый в 1938 году Понтрягиным, который показал, что классификация этих бордизмов эквивалентна вычислению гомотопических групп сфер ${\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}_i(S^n)$$\pi _{i}(S^{n})$ , и таким путём смог найти ${\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}_{n+1}(S^n)$$\pi _{n+1}(S^{n})$  и ${\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}_{n+2}(S^n)$$\pi _{n+2}(S^{n})$ . Неориентированные и ориентированные бордизмы были введены в 1951—53 годах Рохлиным, вычислившим ${\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}}_n^{SO}$$\Omega _{n}^{SO}$  для $n⩽<!--\; ⩽\; -->4$$n\leqslant 4$ . Понтрягин доказал, что если два многообразия бордантны, то у них совпадают характеристические числа. Впоследствии оказалось, что обратное тоже верно.

ЛитератураПравить

• Милнор Дж., Уоллес А. Дифференциальная топология / Пер. с англ. — М.: Мир, 1972. — 280 с.

См. такжеПравить

• $h$$h$ -кобордизм