Оснащённое многообразие

Оснащённое многообразие ― гладкое подмногообразие с фиксированной тривиализацией нормального расслоения.

Оснащённые многообразия введены Львом Семёновичем Понтрягиным в 1937 году.

ОпределениеПравить

Пусть гладкое $n$$n$ -мерное многообразие $M$$M$  вложено в ${\mathbb{R}}^{n+k}$$\mathbb {R} ^{n+k}$  и пусть ($k$$k$ -мерное) нормальное расслоение $\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}$$\nu$ , отвечающее этому вложению, тривиально. Оснащением многообразия $M$$M$ , отвечающим этому вложению, называется любая тривиализация расслоения $\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}$$\nu$ ; при этом одному и тому же вложению могут отвечать разные оснащения.

СвойстваПравить

• Группы бордизмов оснащённых многообразий размерности $n$$n$ , лежащих в ${\mathbb{R}}^{n+k}$$\mathbb {R} ^{n+k}$ , изоморфны гомотопическим группам ${\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}_{n+k}(S^n)$$\pi _{n+k}(S^{n})$ .
  • На этом пути были вычислены группы ${\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}_{n+1}(S^n)$$\pi _{n+1}(S^{n})$  и ${\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}_{n+2}(S^n)$$\pi _{n+2}(S^{n})$ .

ЛитератураПравить

• Понтрягин, Л. С. Гладкие многообразия и их применения в теории гомотопий. — М., 1976.