Класс Штифеля — Уитни

Класс Штифеля — Уитни — определённый характеристический класс, соответствующий вещественному векторному расслоению $E\to <!--\; \to \; -->X$$E\rightarrow X$. Обычно обозначается через $w(E)$$w(E)$. Принимает значения в $H^{\ast <!--\; \ast \; -->}(X;{\mathbb{Z}}_2)$$H^{*}(X;\;\mathbb {Z} _{2})$, кольце когомологий с коэффициентами в ${\mathbb{Z}}_2=\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$$\mathbb {Z} _{2}=\mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$.

Компонента $w(E)$$w(E)$ в $i$$i$-х когомологиях $H^i(X;{\mathbb{Z}}_2)$$H^{i}(X;\;\mathbb {Z} _{2})$ обозначается $w_i(E)$$w_{i}(E)$ и называется $i$$i$-м классом Штифеля — Уитни расслоения $E$$E$, так что

$w(E)=w_0(E)+w_1(E)+w_2(E)+\dots <!--\; \dots \; -->.$$w(E)=w_{0}(E)+w_{1}(E)+w_{2}(E)+\ldots \,.$

Классы $w_i(E)$$w_{i}(E)$ являются препятствиями в $H^i(X;{\mathbb{Z}}_2)$$H^{i}(X;\;\mathbb {Z} _{2})$ к построению $(n-<!--\; -\; -->i+1)$$(n-i+1)$-го линейно независимого сечения $E$$E$, ограниченного на $i$$i$-й остов $X$$X$.

Аксиоматическое определениеПравить

Здесь и далее, $H^i(X;G)$$H^{i}(X;\;G)$  обозначает сингулярные когомологии пространства $X$$X$  с коэффициентами в группе $G$$G$ .

Класс Штифеля — Уитни определяется как отображение, сопоставляющее расслоению $E$$E$  элемент кольца гомологий $w(E)$$w(E)$  так, что выполняются следующие аксиомы:

1. Естественность: $w(f^{\ast <!--\; \ast \; -->}E)=f^{\ast <!--\; \ast \; -->}w(E)$$w(f^{*}E)=f^{*}w(E)$  для любого расслоения $E\to <!--\; \to \; -->X$$E\to X$  и отображения $f:X^{\prime }\to <!--\; \to \; -->X$$f:X'\to X$ , где $f^{\ast <!--\; \ast \; -->}E$$f^{*}E$  обозначает соответствующее индуцированное расслоение над $X^{\prime }$$X'$ .
2. $w_0(E)=1$$w_{0}(E)=1$  в $H^0(X;\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})$$H^{0}(X;\;\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )$ .
3. $w_1({\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}}^1)$$w_{1}(\gamma ^{1})$  является образующей $H^1(\mathbb{R}{P}^1;\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})\cong <!--\; \cong \; -->\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$$H^{1}(\mathbb {R} P^{1};\;\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )\cong \mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$  (условие нормализации). Здесь ${\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}}^1$$\gamma ^{1}$  — это тавтологическое расслоение.
4. $w(E\oplus <!--\; \oplus \; -->F)=w(E)⌣<!--\; ⌣\; -->w(F)$$w(E\oplus F)=w(E)\smallsmile w(F)$  (формула произведения Уитни).

Можно показать, что удовлетворяющие этим аксиомам классы действительно существуют и единственны (по крайней мере, для паракомпактного пространства $X$$X$ )

Исходное построениеПравить

Классы Штифеля — Уитни $w_i(E)$$w_{i}(E)$  были предложены Э. Штифелем (англ.) и Х. Уитни как приведение по модулю 2 классов, измеряющих препятствия к построению $(n-<!--\; -\; -->i+1)$$(n-i+1)$ -го линейно независимого сечения $E$$E$ , ограниченного на $i$$i$ -й остов $X$$X$ . (Здесь $n$$n$  — размерность слоя $F$$F$  расслоения $E$$E$ ).

Более точно, если $X$$X$  является CW-комплексом, Уитни определил классы $W_i(E)$$W_{i}(E)$  в $i$$i$ -й группе клеточных когомологий $X$$X$  с нестандартными коэффициентами.

А именно, в качестве коэффициентов берётся $(i-<!--\; -\; -->1)$$(i-1)$ -я гомотопическая группа многообразия Штифеля $V_{n-<!--\; -\; -->i+1}(F)$$V_{n-i+1}(F)$  наборов из $n-<!--\; -\; -->i+1$$n-i+1$  линейно независимого вектора в слое $F$$F$ . Уитни доказал, что для построенных им классов $W_i(E)=0$$W_{i}(E)=0$  тогда и только тогда, когда расслоение $E$$E$ , ограниченное на $i$$i$ -скелет $X$$X$ , имеет $n-<!--\; -\; -->i+1$$n-i+1$  линейно независимое сечение.

Поскольку гомотопическая группа ${\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}_{i-<!--\; -\; -->1}{V}_{n-<!--\; -\; -->i+1}(F)$$\pi _{i-1}V_{n-i+1}(F)$  многообразия Штифеля всегда или бесконечная циклическая, или изоморфна ${\mathbb{Z}}_2$$\mathbb{Z } _{2}$ , существует каноническая редукция классов $W_i(E)$$W_{i}(E)$  к классам $w_i(E)\in <!--\; \in \; -->H^i(X;{\mathbb{Z}}_2)$$w_{i}(E)\in H^{i}(X;\;\mathbb {Z} _{2})$ , которые и называются классами Штифеля — Уитни.

В частности, если ${\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}_{i-<!--\; -\; -->1}{V}_{n-<!--\; -\; -->i+1}(F)={\mathbb{Z}}_2$$\pi _{i-1}V_{n-i+1}(F)=\mathbb {Z} _{2}$ , то эти классы просто совпадают.

Связанные определенияПравить

• Если мы работаем на многообразии размерности $n$$n$ , то любое произведение классов Штифеля — Уитни общей степени $n$$n$  может быть спарено с ${\mathbb{Z}}_2$$\mathbb{Z } _{2}$ -фундаментальным классом этого многообразия, давая в результате элемент ${\mathbb{Z}}_2$$\mathbb{Z } _{2}$ ; такие числа называют числами Штифеля — Уитни векторного расслоения. К примеру, для расслоения на трёхмерном многообразии есть три линейно независимых числа Штифеля — Уитни, соответствующие $w_1^3$$w_{1}^{3}$ , $w_1{w}_2$$w_{1}w_{2}$  и $w_3$$w_{3}$ . В общем случае, если многообразие $n$$n$ -мерно, различные числа Штифеля — Уитни соответствуют разбиениям $n$$n$  в сумму целых слагаемых.
  • Числа Штифеля — Уитни касательного расслоения к гладкому многообразию называются числами Штифеля — Уитни этого многообразия. Они являются инвариантами кобордизма.
• Естественному отображению приведения по модулю два, $\mathbb{Z}\to <!--\; \to \; -->{\mathbb{Z}}_2$$\mathbb {Z} \to \mathbb {Z} _{2}$ , соответствует гомоморфизм Бокштейна

  $\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}:<!--\; :\; -->H^i(X;{\mathbb{Z}}_2)\to <!--\; \to \; -->H^{i+1}(X;\mathbb{Z}).$$\beta \colon H^{i}(X;\;\mathbb {Z} _{2})\to H^{i+1}(X;\;\mathbb {Z} ).$ 

Образ класса $w_i$$w_{i}$  под его действием, $\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}{w}_i\in <!--\; \in \; -->H^{i+1}(X;\mathbb{Z})$$\beta w_{i}\in H^{i+1}(X;\;\mathbb {Z} )$ , называется $(i+1)$$(i+1)$ -м целым классом Штифеля — Уитни.

• В частности, третий целый класс Штифеля — Уитни является препятствием к построению ${\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{i}\mathrm{n}}^C$$\mathrm {Spin} ^{C}$ -структуры.

СвойстваПравить

• Если расслоение $E^k$$E^{k}$  имеет $s_1,\dots <!--\; \dots \; -->,s_{\mathrm{\ell <!--\; \ell \; -->}}$$s_{1},\;\ldots ,\;s_{\ell }$  сечений, линейно независимых над каждой точкой, то $w_{k-<!--\; -\; -->\mathrm{\ell <!--\; \ell \; -->}+1}=\dots <!--\; \dots \; -->=w_k=0$$w_{k-\ell +1}=\ldots =w_{k}=0$ .
• $w_i(E)=0$$w_{i}(E)=0$  при $i>\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{k}(E)$$i>\mathrm {rank} (E)$ .
• Первый класс Штифеля — Уитни обращается в ноль тогда и только тогда, когда расслоение ориентируемо. В частности, многообразие $M$$M$  ориентируемо тогда и только тогда, когда $w_1(TM)=0$$w_{1}(TM)=0$ .
• Расслоение допускает спинорную структуру, тогда и только тогда, когда первый и второй классы Штифеля — Уитни оба обращаются в ноль.
• Для ориентируемого расслоения, второй класс Штифеля — Уитни лежит в образе естественного отображения $H^2(M,\mathbb{Z})\to <!--\; \to \; -->H^2(M,{\mathbb{Z}}_2)$$H^{2}(M,\;\mathbb {Z} )\to H^{2}(M,\;\mathbb {Z} _{2})$  (или, что то же самое, так называемый третий целый класс Штифеля — Уитни обращается в ноль) тогда и только тогда, когда расслоение допускает ${\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{i}\mathrm{n}}^C$$\mathrm {Spin} ^{C}$ -структуру.
• Все числа Штифеля — Уитни гладкого компактного многообразия $X$$X$  обращаются в ноль тогда и только тогда, когда это многообразие является границей (без учёта ориентации) гладкого компактного многообразия.

ЛитератураПравить

• Прасолов В. В. Элементы теории гомологий.
• Husemoller D. Fibre Bundles. — Springer-Verlag, 1994.
• Милнор Дж., Сташев Дж. Характеристические классы. — М.: Мир, 1979. — 371 с.