Квантовый размерный эффект

Квантовый размерный эффект (квантово-размерный эффект) (КРЭ) — размерный эффект, изменение термодинамических и кинетических свойств кристалла, когда хотя бы один из его геометрических размеров становится соизмеримым с длиной волны де Бройля электронов. Этот эффект связан с квантованием энергии носителей заряда, движение которых ограничено в одном, двух или трёх направлениях.

При ограничении бесконечного кристалла потенциальными барьерами или при создании границ возникают дискретные уровни квантования. В принципе, дискретный спектр возникает в любом ограниченном потенциальными стенками объёме, но практически наблюдается только при достаточно малом размере тела, поскольку эффекты декогеренции приводят к уширению энергетических уровней и поэтому энергетический спектр воспринимается как непрерывный. Поэтому наблюдение квантового размерного эффекта возможно только если хотя бы один из размеров кристалла достаточно мал.

История открытияПравить

Физическая основа существования квантового размерного эффекта — квантование энергии ограниченного движения частицы в потенциальной яме. Простейшей, точно решаемой моделью, является модель прямоугольной потенциальной ямы с бесконечными стенками. Дискретные уровни энергии частицы

$E_n=\frac{{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}^2{\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}}^2{n}^2}{2m{L}^2}$$E_{n}={\frac {\pi ^{2}\hbar ^{2}n^{2}}{2mL^{2}}}$ 

находятся из решения уравнения Шредингера и зависят от ширины ямы L (m — масса частицы, n=1,2,3…). Движение электронов проводимости в кристалле ограничено поверхностью образца которая, в силу большой величины работы выхода, может быть моделирована потенциальной ямой с бесконечными стенками. В теоретических работах И. М. Лифшиц и А. М. Косевич впервые заметили, что изменение геометрических размеров проводника приводит к изменению числа заполненных дискретных уровней ниже энергии Ферми ${\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}_F$$\varepsilon _{F}$ , что должно проявиться в осциллирующей зависимости термодинамических величин и кинетических коэффициентов от размеров образца или ${\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}_F$$\varepsilon _{F}$ (химического потенциала). Условиями наблюдения КРЭ являются низкие температуры эксперимента (чтобы избежать температурного уширения квантовых уровней), чистые образцы с малым рассеянием на дефектах и соизмеримость размеров кристалла с дебройлевской длиной волны носителей заряда ${\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}_D$$\lambda _{D}$ . В типичном металле ${\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}_D$$\lambda _{D}$  порядка межатомного расстояния (≤10Å) и при макроскопических размерах кристалла электронные состояния сливаются в непрерывный спектр. Поэтому впервые КРЭ был наблюден (В. Н. Луцкий, В. Б. Сандомирский, Ю. Ф. Огрин) в полупроводниках и полуметалле висмуте, в которых ${\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}_D$$\lambda _{D}$ ~100Å. Теоретическое предсказание и экспериментальное наблюдение КРЭ были внесены в Государственный реестр открытий СССР. Впоследствии КРЭ был наблюден в металлических пленках, и были обнаружены квантово-размерные осцилляции критической температуры сверхпроводимости пленок олова.

Квантовый размерный эффект в тонких пленкахПравить

Квантовый размерный эффект в тонких пленках обусловлен тем, что поперечное движение электронов квантовано: проекция квазиимпульса на направление малого размера L (по оси z) может принимать лишь дискретный набор значений: $|p_z|=(\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}h/L)n$$|p_{z}|=(\pi h/L)n$ , $n=1,2,\mathrm{3...}$$n=1,2,3...$ . Это простое соотношение справедливо для квазичастиц с квадратичным законом дисперсии в прямоугольной яме с бесконечно высокими потенциальными стенками, но оно достаточно для понимания физической природы эффекта. Размерное квантование квазиимпульса приводит к преобразованию спектра и возникновению «двумерных» подзон: энергия электронов определяется непрерывными компонентами квазиимпульса, параллельными поверхности пленки, и квантовым числом $n$$n$ . Квазидискретный характер спектра приводит к скачкам (ступенькам для двумерного электронного газа) в плотности состояний при значениях энергии, отвечающих минимальным энергиям в подзонах $E_n$$E_{n}$ . С другой стороны, при увеличении толщины пленки при некоторых значениях $L_n$$L_{n}$  меняется число подзон в пределах фермиевской энергии ${\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}_F$$\varepsilon _{F}$ . Появление новых подзон происходит в окрестности точек пересечения экстремальной хорды $\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}{P}_z^{extr}$$\Delta P_{z}^{extr}$ (Рис.$a$$a$ ) с поверхностью Ферми. Вследствие этого термодинамические и кинетические характеристики осциллируют с периодом $\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}L=2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}/\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}{P}_z^{extr}$$\Delta L=2\pi \hbar /\Delta P_{z}^{extr}$ . В случае, когда $E_{1}<\varepsilon _{F}<E_{2}$ , заполнена лишь одна зона размерного квантования, и электронный газ становится (квази) двумерным. Полупроводниковые гетероструктуры с двумерным электронным газом широко используются в физических исследованиях и современной наноэлектронике

Квазиклассическая теория. Общий случай Править

 

Рис. Изменение импульса электрона ΔP_z на изоэнергетической поверхности при столкновении с границами (a). Периодическая траектория электрона в тонкой пластине (b).

Рассмотрим металлическую пластину толщиной $L$$L$ . При зеркальном отражении от границ электрона со сложным законом дисперсии $\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}=\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}\left(\mathbf{p}\right)$$\varepsilon =\varepsilon \left(\mathbf {p} \right)$ , сохраняется энергия  $\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}$$\varepsilon$  и  ${\mathbf{p}}_{\mathrm{\perp <!--\; \perp \; -->}}$${{\mathbf {p} }_{\bot }}$ - проекция импульса на поверхность металла. Проекция импульса $p_z$$p_{z}$  вдоль нормали к поверхности (ось $z$$z$ ) до ($p_z^{(1)}$$p_{z}^{(1)}$ ) и после ( $p_z^{(2)}$$p_{z}^{(2)}$ ) соударения удовлетворяют соотношению

$\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}\left({\mathbf{p}}_{\mathrm{\perp <!--\; \perp \; -->}},p_z^{\left(1,2\right)}\right)=\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}.(1)$$\varepsilon \left({{\mathbf {p} }_{\bot }},p_{z}^{\left(1,2\right)}\right)=\varepsilon .\quad \quad (1)$                                                                         

Решениям уравнения (1) $p_z^{(1,2)}\left(\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->},{\mathbf{p}}_{\mathrm{\perp <!--\; \perp \; -->}}\right)$$p_{z}^{(1,2)}\left(\varepsilon ,{{\mathbf {p} }_{\bot }}\right)$  соответствуют противоположные знаки скорости электрона $v_z^{(1,2)}$$v_{z}^{(1,2)}$ . Уравнение (1) может иметь больше двух корней. В этом случае корни должны быть разделены на пары таким образом, чтобы при переходе от $p_z^{(1)}$$p_{z}^{(1)}$  к  $p_z^{(2)}$$p_{z}^{(2)}$ кинетическая энергия все время была меньше фиксированной величины $\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}$$\varepsilon$ .

Возникновение размерного квантования иллюстрирует рисунок. В реальном пространстве электроны совершают движение по периодической траектории (Рис. $b$$b$ ), состоящей из повторяющихся участков, каждый из которых состоит из двух прямолинейных частей с противоположным направлением скорости вдоль нормали к поверхностям пластины,$\mathrm{sgn}<!--\; \; -->\left(v_z^{(1)}\right)=-<!--\; -\; -->\mathrm{sgn}<!--\; \; -->\left(v_z^{(2)}\right)$$\operatorname {sgn} \left(v_{z}^{(1)}\right)=-\operatorname {sgn} \left(v_{z}^{(2)}\right)$ .  В импульсном пространстве при каждом отражении от границы электрон совершает скачки между точками $A\left(p_z^{(1)},{\mathbf{p}}_{\mathrm{\perp <!--\; \perp \; -->}}\right)$$A\left(p_{z}^{(1)},{{\mathbf {p} }_{\bot }}\right)$   и $B\left(p_z^{(2)},{\mathbf{p}}_{\mathrm{\perp <!--\; \perp \; -->}}\right)$$B\left(p_{z}^{(2)},{{\mathbf {p} }_{\bot }}\right)$  ( $AB\to <!--\; \to \; -->BA\to <!--\; \to \; -->AB\to <!--\; \to \; -->...$$AB\to BA\to AB\to ...$  ), которые связаны между собой параллельной оси $p_z$$p_{z}$   хордой изоэнергетической поверхности (Рис.$a$$a$ ). Согласно общим принципам квантовой механики такому периодическому движению соответствует дискретный энергетический спектр.

Квазиклассические уровни энергии находятся из условия квантования адиабатического инварианта

$I=\frac{1}{2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}\oint <!--\; \oint \; -->p_{z}dz=\frac{1}{2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}\left|p_z^{(1)}-<!--\; -\; -->p_z^{(2)}\right|L=n\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}.(2)$$I={\frac {1}{2\pi }}\oint {{{p}_{z}}dz=}{\frac {1}{2\pi }}\left|p_{z}^{(1)}-p_{z}^{(2)}\right|L=n\hbar .\quad \quad (2)$                                                    

где $n=1,2,\mathrm{3...}$$n=1,2,3...$  . Из уравнения (2) находим

$\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}{P}_z=\left|p_z^{(1)}-<!--\; -\; -->p_z^{(2)}\right|=\frac{2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}n\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}}{L}.(3)$$\Delta {{P}_{z}}=\left|p_{z}^{(1)}-p_{z}^{(2)}\right|={\frac {2\pi n\hbar }{L}}.\quad \quad (3)$                                                                

Равенство (3) следует рассматривать, как уравнение относительно энергии при фиксированном значении ${\mathbf{p}}_{\mathrm{\perp <!--\; \perp \; -->}}$${{\mathbf {p} }_{\bot }}$ , решая которое находим систему квантовых уровней  ${\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}_n\left({\mathbf{p}}_{\mathrm{\perp <!--\; \perp \; -->}}\right)$${{\varepsilon }_{n}}\left({{\mathbf {p} }_{\bot }}\right)$ . Если уравнение (1) имеет несколько пар корней, то существует несколько систем уровней.

В случае сферического закона дисперсии электронов, $\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}={\mathbf{p}}^2/2m^{\ast <!--\; \ast \; -->}$$\varepsilon ={{\mathbf {p} }^{2}}/2{{m}^{*}}$  ($m^{\ast <!--\; \ast \; -->}$$m^{*}$  - эффективная масса), хорда изоэнергетической поверхности $\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}{P}_z=2\sqrt{2m^{\ast <!--\; \ast \; -->}\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}-<!--\; -\; -->p_{\mathrm{\perp <!--\; \perp \; -->}}^2}$$\Delta {{P}_{z}}=2{\sqrt {2{{m}^{*}}\varepsilon -p_{\bot }^{2}}}$ , и квантованные значения энергии равны

${\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}_n\left(p_{\mathrm{\perp <!--\; \perp \; -->}}\right)=\frac{{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}^2{\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}}^2{n}^2}{2m^{\ast <!--\; \ast \; -->}{L}^2}+\frac{p_{\mathrm{\perp <!--\; \perp \; -->}}^2}{2m^{\ast <!--\; \ast \; -->}}.$${{\varepsilon }_{n}}\left({{p}_{\bot }}\right)={\frac {{{\pi }^{2}}{{\hbar }^{2}}{{n}^{2}}}{2{{m}^{*}}{{L}^{2}}}}+{\frac {p_{\bot }^{2}}{2{{m}^{*}}}}.$ 

Квантовый размерный эффект в гетероструктурахПравить

Типичным примером системы, в которой проявляется квантовый размерный эффект, может служить двойная гетероструктура AlGaAs/GaAs/AlGaAs с двумерным электронным газом, где электроны находящиеся в слое GaAs ограничены высокими потенциальными барьерами AlGaAs, то есть для электронов формируется потенциальная яма, описываемая дном зон проводимости двух материалов, малого размера (обычно порядка 10 нм) и возникают дискретные уровни, которые соответствуют движению электронов поперёк слоя GaAs, хотя продольное движение остаётся свободным. Эти уровни эффективно сдвигают зону проводимости вверх по энергии. В результате изменяется ширина запрещённой зоны GaAs и, соответственно, происходит сдвиг в синюю область края межзонного поглощения. Аналогично, но с большим изменением запрещённой зоны квантовый размерный эффект наблюдается в квантовых точках, где электрон ограничен по всем трём координатам.

Кондактанс квантового контактаПравить

Примером проявления КРЭ является размерное квантование кондактанса (кондактанс — величина, обратная электрическому сопротивлению) квантовых контактов (микросужений, тонких проволок и т. п., соединяющих массивные проводники), диаметр $d$$d$  которых намного меньше длины свободного пробега носителей заряда и сравним с ${\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}_D$$\lambda _{D}$ .

В 1957 году Ландауер показал, что проводимость одномерной проволочки, подсоединенной к массивным металлическим берегам, не зависит от величины энергии Ферми ${\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}_F$$\varepsilon _{F}$  и при нуле температуры и малых напряжениях равна кванту кондактанса $G_0=2e^2/h$$G_{0}=2e^{2}/h$ , где $e$$e$  — заряд электрона, $h$$h$  — постоянная Планка. Если диаметр проволочки сравним с ${\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}_D\lesssim <!--\; \lesssim \; -->d$$\lambda _{D}\lesssim d$ , энергетический спектр внутри неё дискретен за счет КРЭ, и существует конечное число квантовых уровней $N$$N$ , с энергиями $E_{n}<\varepsilon _{F}$  ($n⩽<!--\; ⩽\; -->N$$n\leqslant N$ ). Кондактанс $G$$G$  при нуле температур определяется числом $N$$N$  (или, как часто говорят, числом квантовых проводящих мод). Каждая из мод вносит вклад в $G$$G$ , равный $G_0$$G_{0}$ , так что полный кондактанс равен $G=N{G}_0$$G=NG_{0}$ . При фиксированном $N$$N$  величина $G$$G$  не зависит от диаметра проволочки. Энергии $E_n$$E_{n}$  уменьшаются с увеличением диаметра $d$$d$ . С ростом $d$$d$  в какой-то момент новая квантовая мода становится разрешенной (пересекает уровень Ферми), дает вклад в проводимость, а кондактанс скачком увеличивается на величину $G_0$$G_{0}$ .

Эффект квантования кондактанса (ступенчатая зависимость $G(d)$$G(d)$  с шагом, равным одному кванту $G_0$$G_{0}$ ) был обнаружен в сужениях, созданных на основе двумерного электронного газа в GaAs-AlGaAs гетероструктурах. Строго говоря, квантование уровней энергии возникает лишь в пределе бесконечно длинного канала, в то время как квантование кондактанса экспериментально наблюдается в сужениях, диаметр которых существенно увеличивается при удалении от их центра. Этот эффект был объяснен в работах, в которых было показано, что если форма 2D контакта адиабатически плавно меняется в масштабе ${\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}_D$$\lambda _{D}$ , то его кондактанс квантуется, а положение ступеней на зависимости $G(d)$$G(d)$  определяется минимальным диаметром сужения.

Эффект квантования кондактанса наблюдается и в трехмерных металлических контактах, создаваемых с помощью сканирующего туннельного микроскопа и методом «разломных контактов» (break-junction). Теоретические исследования показали, что если контакт обладает цилиндрической симметрией, то вследствие вырождения уровней энергии по орбитальному квантовому числу, наряду со ступенями $G_0$$G_{0}$  должны возникать ступени $3G_0$$3G_{0}$ , $5G_0$$5G_{0}$ ….

Принцип неопределённостиПравить

Изменение энергии носителей заряда и появление размерного квантования упрощённо объясняется в квантовой механике и принципом неопределённости. Если частица ограничена в пространстве в пределах расстояния L (допустим ограничен вдоль направления z), неопределённость z-компоненты её импульса возрастает на величину порядка $\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}/L$$\hbar /L$ . Соответствующее увеличение кинетической энергии частицы даётся выражением $\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}E={\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}}^2/2m^{\ast <!--\; \ast \; -->}{L}^2$$\Delta E=\hbar ^{2}/2m^{*}L^{2}$ , где $m^{\ast <!--\; \ast \; -->}$$m^{{*}}$  — эффективная масса частицы. Кроме увеличения минимальной энергии частицы, квантовый размерный эффект приводит также к квантованию энергии её возбуждённых состояний. Энергии возбуждённых состояний для бесконечного одномерного потенциала прямоугольной ямы выражаются как $E_n=\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}E{n}^2$$E_{n}=\Delta En^{2}$ , где n = 1, 2, 3,…

ЛитератураПравить

• Davies, John H. The Physics of Low-Dimensional Semiconductors: An Introduction (англ.). — 6th reprint. — Cambridge University Press, 2006. — ISBN 0-521-48491-X.
• Размерные эффекты // Пустырник — Румчерод. — М. : Большая российская энциклопедия, 2015. — С. 172—173. — (Большая российская энциклопедия : [в 35 т.] / гл. ред. Ю. С. Осипов ; 2004—2017, т. 28). — ISBN 978-5-85270-365-1.
• Комник, Ю. Ф. Физика металлических пленок : Размерные и структурные эффекты. — М. : Атомиздат, 1979. — 363 с.

Из БРЭ:

• Луцкий В. Н., Пинскер Т. Н. Размерное квантование. — М., 1983.
• Андо Т., Фаулер А., Стерн Ф. Электронные свойства двумерных систем. — М., 1985.
• Демиховский В. Я., Вугальтер Г. А. Физика квантовых низкоразмерных структур. — М., 2000.

См. такжеПравить

• Квантово-размерный эффект Штарка