Квантово-размерный эффект Штарка

Квантоворазмерный эффект Штарка (КЭШ) (англ. Quantum-confined Stark effect (QCSE)) — эффект наблюдаемый в наноразмерных полупроводниковых гетероструктурах (таких как квантовая яма, квантовая точка и др.), выражающийся в смещении спектра поглощения/испускания при приложении электрического поля. В отсутствии поля, электроны и дырки могут занимать в квантовой яме лишь дискретный набор энергетических уровней. Следовательно, только свет с дискретным набор значений энергии может быть поглощён или испущен системой. При приложении электрического поля, электронные уровни сдвигаются к более низкими значениям энергии, а дырочные уровни к более высоким, что и выражается в уменьшении энергии поглощения и испускания системы. Кроме того, наклон валентной зоны и зоны проводимости в электрическом поле ведёт к пространственному разделению зарядов, что означает уменьшение интеграла перекрытия, и следовательно, согласно Золотому правилу Ферми, ведёт к уменьшению коэффициента поглощения/испускания.

Квантовая яма для электронов и дырок (синие линии), волновая функция носителей (зелёные линии) и энергий состояний (красные пунктирные линии). Перенос энергии (стрелки) с электрическим полем и без него

Квантово-размерный эффект Штарка может быть вызван как внешним электрическим полем, так и внутренним полем появляющимся вследствие прямого пьезоэлектрического эффекта, в частности такой эффект был предсказан и экспериментально наблюдаем в полупроводниковых гетероструктурах на нановискерах.

Квантово-размерный эффект Штарка используется в оптических модуляторах, где служит для быстрого переключения модулятора.

Математическое описаниеПравить

Энергетический сдвиг для, например, квантовой ямы может быть посчитан сравнивая энергии в присутствии и в отсутствии электрического поля. Благодаря симметрии не сложно посчитать энергию в отсутствии поля. Далее, если поле относительно мало, его можно представить в виде возмущения и оценить его действие с помощью теории возмущений.

Система без электрического поляПравить

Потенциал квантовой ямы может быть записан как

$V(z)={\begin{cases}0;&|z|<L/2\\V_{0};&|z|>L/2\\\end{cases}}$ ,

где $L$$L$  есть ширина ямы, а $V_0$$V_{0}$  — высота потенциальных барьеров. Связанные состояния в квантовой яме лежат в дискретном спектре энергий, $E_n$$E_{n}$  и соответствующие волновые функции могут быть записаны следующим образом:

$\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}(\mathbf{r})={\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}_n(z)\frac{1}{\sqrt{A}}{e}^{i(k_x\cdot <!--\; \cdot \; -->x+k_y\cdot <!--\; \cdot \; -->y)}u(\mathbf{r}).$$\psi (\mathbf {r} )=\phi _{n}(z){\frac {1}{\sqrt {A}}}e^{i(k_{x}\cdot {x}+k_{y}\cdot {y})}u(\mathbf {r} ).$ 

В этом выражении, $A$$A$  — это площадь среза системы, перпендикулярная направлению квантизации, $u(\mathbf{r})$$u(\mathbf {r} )$  — это периодическая Блоховская функция для энергии в полупроводнике, а ${\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}_n(z)$$\phi _{n}(z)$  — это слабо изменяющаяся огибающая функция системы.

Если квантовая яма достаточно глубока, её можно представить как квантовую яму с бесконечно высокими барьерами, то есть $V_0\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}$$V_{0}\to \infty$ . В этом упрощённом случае аналитическое выражение для связанных волновых функций может быть записано как:

$\phi _{n}(z)={\sqrt {\frac {2}{L}}}\times {\begin{cases}\cos \left({\frac {n\pi z}{L}}\right)&n\,{\text{odd}}\\\sin \left({\frac {n\pi z}{L}}\right)&n\,{\text{even}}\end{cases}}.$ 

Энергии связанных состояний:

$E_n=\frac{{\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}}^2{n}^2{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}^2}{2m^{\ast <!--\; \ast \; -->}{L}^2},$$E_{n}={\frac {\hbar ^{2}n^{2}\pi ^{2}}{2m^{*}L^{2}}},$ 

где $m^{\ast <!--\; \ast \; -->}$$m^{*}$  есть эффективная масса электрона в данном полупроводнике.

Система с электрическим полемПравить

Предполагая поле в направлении z,

$\mathbf{E}=E\mathbf{z},$$\mathbf {E} =E\mathbf {z} ,$ 

член Гамильтониана отвечающий возмущению есть,

$H^{\prime }=eEz.$$H'=eEz.$ 

Поправка первого порядка к энергетическим уровням равно нулю из-за симметрии,

$E_n^{(1)}=⟨<!--\; ⟨\; -->n^{(0)}|eEz|n^{(0)}⟩<!--\; ⟩\; -->=0$$E_{n}^{(1)}=\langle n^{(0)}|eEz|n^{(0)}\rangle =0$ .

Поправка второго порядка, например для n = 1, есть,

$E_1^{(2)}=\underset{k\ne <!--\; \ne \; -->1}{\sum <!--\; \sum \; -->}\frac{|⟨<!--\; ⟨\; -->k^{(0)}|eEz|1^{(0)}⟩<!--\; ⟩\; -->{|}^2}{E_1^{(0)}-<!--\; -\; -->E_k^{(0)}}\approx <!--\; \approx \; -->\frac{|⟨<!--\; ⟨\; -->2^{(0)}|eEz|1^{(0)}⟩<!--\; ⟩\; -->{|}^2}{E_1^{(0)}-<!--\; -\; -->E_2^{(0)}}=-<!--\; -\; -->24{\left(\frac{2}{3\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}\right)}^6\frac{e^2{E}^2{m}_e^{\ast <!--\; \ast \; -->}{L}^4}{{\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}}^2}$$E_{1}^{(2)}=\sum _{k\neq 1}{\frac {|\langle k^{(0)}|eEz|1^{(0)}\rangle |^{2}}{E_{1}^{(0)}-E_{k}^{(0)}}}\approx {\frac {|\langle 2^{(0)}|eEz|1^{(0)}\rangle |^{2}}{E_{1}^{(0)}-E_{2}^{(0)}}}=-24\left({\frac {2}{3\pi }}\right)^{6}{\frac {e^{2}E^{2}m_{e}^{*}L^{4}}{\hbar ^{2}}}$ 

для электронов. Аналогичные вычисления можно сделать для дырок, заменяя эффективные массы электронов эффективными массами дырок.

См. такжеПравить

• Эффект Штарка