Квантовая яма с бесконечными стенками

Ква́нтовая я́ма с бесконе́чными сте́нками (Бесконечная прямоугольная потенциальная яма) — область пространства размером порядка длины волны де Бройля рассматриваемой частицы (хотя бы в одном направлении), вне которой потенциальная энергия $U$$U$ бесконечна. Иногда данную область называют «ящиком» (англ. particle in a box).

Для демонстрации основных черт поведения частицы в яме удобны такие профили потенциальной энергии, при которых движение происходит независимо по трём декартовым координатам и переменные в уравнении Шрёдингера разделяются. Часто анализируется прямоугольная область по всем измерениям (прямоугольный «ящик»), а потенциальная энергия в нём полагается нулевой.

Могут быть рассмотрены системы с ограничением движения частицы по одной координате (собственно яма), по двум (квантовый провод) или по трём (квантовая точка). При ограничении по одной координате «ящик» представляет собой плоскопараллельный слой, а обращение $U$$U$ в бесконечность математически отражают в граничных условиях, считая, что волновые функции равны нулю на концах соответствующего отрезка. При ограничении по нескольким координатам на границах ставятся граничные условия Дирихле.

Одномерная потенциальная яма с бесконечными стенкамиПравить

Потенциал одномерной потенциальной ямы с бесконечными стенками имеет вид

$U(x)={\begin{cases}0,&x\in (-{\frac {a}{2}},{\frac {a}{2}}),\\\infty ,&x\notin (-{\frac {a}{2}},{\frac {a}{2}})\end{cases}}$ 

Стационарное уравнение Шрёдингера на интервале $\left(-<!--\; -\; -->\frac{a}{2},\frac{a}{2}\right)$$\left(-{\frac {a}{2}},{\frac {a}{2}}\right)$ 

$-<!--\; -\; -->\frac{{\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}}^2}{2m}{\mathrm{\Psi <!--\; \Psi \; -->}}^{″}(x)=E\mathrm{\Psi <!--\; \Psi \; -->}(x).$$-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\Psi ''(x)=E\Psi (x).$ 

С учётом обозначения $k=\sqrt{2mE/{\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}}^2}$$k={\sqrt {2mE/\hbar ^{2}}}$ , оно примет вид:

${\mathrm{\Psi <!--\; \Psi \; -->}}^{″}(x)+k^2\mathrm{\Psi <!--\; \Psi \; -->}(x)=0.$$\Psi ''(x)+k^{2}\Psi (x)=0.$ 

Общее решение удобно представить в виде линейной оболочки чётных и нечётных функций:

$\mathrm{\Psi <!--\; \Psi \; -->}(x)=C^{+}\cos <!--\; \; -->kx+C^{-<!--\; -\; -->}\sin <!--\; \; -->kx.$$\Psi (x)=C^{+}\cos kx+C^{-}\sin kx.$ 

Граничные значения имеют вид:

$\mathrm{\Psi <!--\; \Psi \; -->}\left(-<!--\; -\; -->\frac{a}{2}\right)=\mathrm{\Psi <!--\; \Psi \; -->}\left(\frac{a}{2}\right)=0.$$\Psi \left(-{\frac {a}{2}}\right)=\Psi \left({\frac {a}{2}}\right)=0.$ 

Они приводят к однородной системе линейных уравнений:

$\{\begin{array}{l}{C}^{+}\cos <!--\; \; -->\frac{ka}{2}+C^{-<!--\; -\; -->}\sin <!--\; \; -->\frac{ka}{2}=0,\\ C^{+}\cos <!--\; \; -->\frac{ka}{2}-<!--\; -\; -->C^{-<!--\; -\; -->}\sin <!--\; \; -->\frac{ka}{2}=0,\end{array}$${\begin{cases}C^{+}\cos {\frac {ka}{2}}+C^{-}\sin {\frac {ka}{2}}=0,\\C^{+}\cos {\frac {ka}{2}}-C^{-}\sin {\frac {ka}{2}}=0,\end{cases}}$ 

которая имеет нетривиальные решения при условии равенства нулю её определителя:

$-<!--\; -\; -->2\cos <!--\; \; -->\frac{ka}{2}\sin <!--\; \; -->\frac{ka}{2}=0,$$-2\cos {\frac {ka}{2}}\sin {\frac {ka}{2}}=0,$ 

что после тригонометрических преобразований принимает вид:

$\sin <!--\; \; -->ka=0.$$\sin ka=0.$ 

Корни этого уравнения имеют вид

$k_n=\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}n}{a},n\in <!--\; \in \; -->{\mathbb{Z}}_{+}.$$k_{n}={\frac {\pi n}{a}},\qquad n\in \mathbb {Z} _{+}.$ 

Подставляя в систему, имеем:

$C_n^{-<!--\; -\; -->}=0,n=2n_0+1,n_0\in <!--\; \in \; -->{\mathbb{Z}}_{+},$$C_{n}^{-}=0,\qquad n=2n_{0}+1,\qquad n_{0}\in \mathbb {Z} _{+},$ 

$C_n^{+}=0,n=2n_0,n_0\in <!--\; \in \; -->{\mathbb{Z}}_{+}.$$C_{n}^{+}=0,\qquad n=2n_{0},\qquad n_{0}\in \mathbb {Z} _{+}.$ 

Таким образом, решения распадаются на две серии — чётных и нечётных решений:

${\mathrm{\Psi <!--\; \Psi \; -->}}_{n_0}^{+}(x)=C_{2n_0+1}^{+}\cos <!--\; \; -->\frac{(2n_0+1)\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}x}{a},n_0\in <!--\; \in \; -->{\mathbb{Z}}_{+},$$\Psi _{n_{0}}^{+}(x)=C_{2n_{0}+1}^{+}\cos {\frac {(2n_{0}+1)\pi x}{a}},\qquad n_{0}\in \mathbb {Z} _{+},$ 

${\mathrm{\Psi <!--\; \Psi \; -->}}_{n_0}^{-<!--\; -\; -->}(x)=C_{2n_0}^{-<!--\; -\; -->}\sin <!--\; \; -->\frac{2n_0\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}x}{a},n_0\in <!--\; \in \; -->{\mathbb{Z}}_{+}.$$\Psi _{n_{0}}^{-}(x)=C_{2n_{0}}^{-}\sin {\frac {2n_{0}\pi x}{a}},\qquad n_{0}\in \mathbb {Z} _{+}.$ 

Тот факт, что решения разбиваются на чётные и нечётные связан с тем, что потенциал сам по себе является чётной функцией. С учётом нормировки

$\underset{-<!--\; -\; -->\frac{a}{2}}{\overset{\frac{a}{2}}{\int <!--\; \int \; -->}}{\left({\mathrm{\Psi <!--\; \Psi \; -->}}_{n_0}^{\pm <!--\; \pm \; -->}(x)\right)}^{2}dx=1,$$\int \limits _{-{\frac {a}{2}}}^{\frac {a}{2}}\left(\Psi _{n_{0}}^{\pm }(x)\right)^{2}dx=1,$ 

получим явный вид нормировочных множителей:

$C_{2n_0+1}^{+}=C_{2n_0}^{-<!--\; -\; -->}=\sqrt{\frac{2}{a}}.$$C_{2n_{0}+1}^{+}=C_{2n_{0}}^{-}={\sqrt {\frac {2}{a}}}.$ 

В результате получим собственные функции гамильтониана:

${\mathrm{\Psi <!--\; \Psi \; -->}}_{n_0}^{+}(x)=\sqrt{\frac{2}{a}}\cos <!--\; \; -->\frac{(2n_0+1)\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}x}{a},n_0\in <!--\; \in \; -->{\mathbb{Z}}_{+},$$\Psi _{n_{0}}^{+}(x)={\sqrt {\frac {2}{a}}}\cos {\frac {(2n_{0}+1)\pi x}{a}},\qquad n_{0}\in \mathbb {Z} _{+},$ 

${\mathrm{\Psi <!--\; \Psi \; -->}}_{n_0}^{-<!--\; -\; -->}(x)=\sqrt{\frac{2}{a}}\sin <!--\; \; -->\frac{2n_0\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}x}{a},n_0\in <!--\; \in \; -->{\mathbb{Z}}_{+},$$\Psi _{n_{0}}^{-}(x)={\sqrt {\frac {2}{a}}}\sin {\frac {2n_{0}\pi x}{a}},\qquad n_{0}\in \mathbb {Z} _{+},$ 

с соответствующим энергетическим спектром:

$E_{n_0}^{+}=\frac{{\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}}^2{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}^2(2n_0+1{)}^2}{2m{a}^2}$$E_{n_{0}}^{+}={\frac {\hbar ^{2}\pi ^{2}(2n_{0}+1)^{2}}{2ma^{2}}}$ 

$E_{n_0}^{-<!--\; -\; -->}=\frac{{\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}}^2{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}^2(2n_0{)}^2}{2m{a}^2}$$E_{n_{0}}^{-}={\frac {\hbar ^{2}\pi ^{2}(2n_{0})^{2}}{2ma^{2}}}$ 

ЛитератураПравить

• Бом Д. Квантовая теория. — Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1965.
• Флюгге З. Задачи по квантовой механике. — Издательство ЛКИ, 2008. — Т. 1.