Квазилинейная полезность

Квазилинейная функция полезности (англ. quasilinear utility function) линейна по одному из своих аргументов, обычно — по счётным деньгам (англ. numeraire). Квазилинейные предпочтения можно выразить функцией

$u(x_1,x_2,\dots <!--\; \dots \; -->,x_n)=x_1+\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}(x_2,\dots <!--\; \dots \; -->,x_n)$$u(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=x_{1}+\theta (x_{2},\ldots ,x_{n})$,

где $\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}$$\theta$ является строго вогнутой. Подобная функция обладает удобным свойством: маршалловский спрос на блага $x_2,\dots <!--\; \dots \; -->,x_n$$x_{2},\ldots ,x_{n}$ не зависит от уровня благосостояния и, следовательно, не подвержен эффекту богатства. Отсутствие эффекта облегчает анализ, что делает квазилинейную полезность популярным средством моделирования. Более того, если полезность квазилинейна, то компенсирующая вариация дохода, эквивалентная вариация дохода и потребительский излишек равны. В дизайне механизмов квазилинейная полезность позволяет агентам совершать сторонние платежи.

Определение в терминах предпочтенийПравить

Отношение предпочтения $\succsim <!--\; \succsim \; -->$$\succsim$  квазилинейно по товару 1, если:

• все множества безразличия образуются параллельным смещением вдоль оси товара 1. Если потребитель индифферентен между наборами товаров x и y (x~y), то $\left(x+\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}{e}_1\right)\sim <!--\; \sim \; -->\left(y+\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}{e}_1\right),\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}\in <!--\; \in \; -->\mathbb{R},e_1=\left(1,0,...,0\right)$$\left(x+\alpha e_{1}\right)\sim \left(y+\alpha e_{1}\right),\forall \alpha \in \mathbb {R} ,e_{1}=\left(1,0,...,0\right)$ ;
• товар 1 имеет положительную полезность: $\left(x+\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}{e}_1\right)\succ <!--\; \succ \; -->\left(x\right),\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}>0$$\left(x+\alpha e_{1}\right)\succ \left(x\right),\forall \alpha >0$ 

Иначе говоря, отношение предпочтения квазилинейно, если существует один товар, двигает множества безразличия, сохраняя расстояния между точками безразличия и наклон в каждой точке. В двумерном случае квазилинейность означает, что кривые безразличия параллельны.

Определение в терминах функций полезностиПравить

Если функция полезности квазилинейна по товару 1, то она принимает форму

$u\left(x\right)=x_1+\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}\left(x_2,...,x_L\right)$$u\left(x\right)=x_{1}+\theta \left(x_{2},...,x_{L}\right)$ ,

где $\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}$$\theta$  есть функция. В двумерном случае это, например, $u\left(x\right)=x_1+\sqrt{x_2}.$$u\left(x\right)=x_{1}+{\sqrt {x_{2}}}.$ .

Квазилинейная форма характерна для таких функций спроса, которые зависят только от цен и не зависят от уровня благосостояния. Скажем, если

$u(x,y)=x+\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}(y)$$u(x,y)=x+\theta (y)$ 

тогда спрос на y выводится из уравнения

${\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}^{\prime }(y)=p_y$$\theta '(y)=p_{y}$ ,

так что

$y(p,I)=({\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}^{\prime }{)}^{-<!--\; -\; -->1}(p_y),$$y(p,I)=(\theta ')^{-1}(p_{y}),$ ,

и это выражение не зависит от уровня благосостояния I.

Косвенная функция полезности тогда имеет вид

$v(p,I)=v(p)+I,$$v(p,I)=v(p)+I,$ .

Эквивалентность определенийПравить

Кардиналистский и ординалистский подходы к определению квазилинейной полезности эквивалентны при выпуклости потребительского множества и непрерывных предпочтениях, которые локально ненасыщаемы по первому аргументу.

См. такжеПравить

• Квазивыпуклая функция