Телесный угол

Теле́сный у́гол — часть пространства, которая является объединением всех лучей, выходящих из данной точки (вершины угла) и пересекающих некоторую поверхность (которая называется поверхностью, стягивающей данный телесный угол). Частными случаями телесного угла являются трёхгранные и многогранные углы. Границей телесного угла является некоторая коническая поверхность. Обозначается телесный угол обычно буквой Ω.

Телесный угол

Телесный угол измеряется отношением площади той части сферы с центром в вершине угла, которая вырезается этим телесным углом, к квадрату радиуса сферы:

$\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}=\frac{S}{R^2}.$$\Omega \,=\,{S \over R^{2}}.$

Стерадиан

Телесные углы измеряются отвлечёнными (безразмерными) величинами. Единицей измерения телесного угла в системе СИ является стерадиан, равный телесному углу, вырезающему из сферы радиуса r поверхность с площадью r². Полная сфера образует телесный угол, равный 4π стерадиан (полный телесный угол), для вершины, расположенной внутри сферы, в частности, для центра сферы; таким же является телесный угол, под которым видна любая замкнутая поверхность из точки, полностью охватываемой этой поверхностью, но не принадлежащей ей. Кроме стерадианов, телесный угол может измеряться в квадратных градусах, квадратных минутах и квадратных секундах, а также в долях полного телесного угла.

Телесный угол имеет нулевую физическую размерность.

Двойственный телесный угол к данному телесному углу Ω определяется как угол, состоящий из лучей, образующих с любым лучом угла Ω неострый угол.

Коэффициенты пересчёта единиц телесного угла.

$\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}$$\Omega$	Стерадиан	Кв. градус	Кв. минута	Кв. секунда	Полный угол
1 стерадиан =	1	(180/π)² ≈ ≈ 3282,806 кв. градусов	(180×60/π)² ≈ ≈ 1,1818103⋅107 кв. минут	(180×60×60/π)² ≈ ≈ 4,254517⋅1010 кв. секунд	1/4π ≈ ≈ 0,07957747 полного угла
1 кв. градус =	(π/180)² ≈ ≈ 3,0461742⋅10−4 стерадиан	1	60² = = 3600 кв. минут	(60×60)² = = 12 960 000 кв. секунд	π/(2×180)² ≈ ≈ 2,424068⋅10−5 полного угла
1 кв. минута =	(π/(180×60))² ≈ ≈ 8,461595⋅10−8 стерадиан	1/60² ≈ ≈ 2,7777778⋅10−4 кв. градусов	1	60² = = 3600 кв. секунд	π/(2×180×60)² ≈ ≈ 6,73352335⋅10−9 полного угла
1 кв. секунда =	(π/(180×60×60))² ≈ ≈ 2,35044305⋅10−11 стерадиан	1/(60×60)² ≈ ≈ 7,71604938⋅10−8 кв. градусов	1/60² ≈ ≈ 2,7777778⋅10−4 кв. минут	1	π/(2×180×60×60)² ≈ ≈ 1,87042315⋅10−12 полного угла
Полный угол =	4π ≈ ≈ 12,5663706 стерадиан	(2×180)²/π ≈ ≈ 41252,96125 кв. градусов	(2×180×60)²/π ≈ ≈ 1,48511066⋅108 кв. минут	(2×180×60×60)²/π ≈ ≈ 5,34638378⋅1011 кв. секунд	1

Вычисление телесных угловПравить

Для произвольной стягивающей поверхности S телесный угол Ω, под которым она видна из начала координат, равен

$\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}=\underset{S}{\int <!--\; \int \; -->}d\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}=\underset{S}{\iint <!--\; \iint \; -->}\sin <!--\; \; -->\mathrm{\vartheta <!--\; \vartheta \; -->}d\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}d\mathrm{\vartheta <!--\; \vartheta \; -->}=\underset{S}{\int <!--\; \int \; -->}\frac{(\mathbf{r}/r)\cdot <!--\; \cdot \; -->\mathbf{n}dS}{r^2},$$\Omega =\int \limits _{S}d\Omega =\iint \limits _{S}\sin \vartheta \,d\varphi \,d\vartheta =\int \limits _{S}{\frac {({\mathbf {r}}/r)\cdot {\mathbf {n}}dS}{r^{2}}},$ 

где $r,\mathrm{\vartheta <!--\; \vartheta \; -->},\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}$$r,\vartheta ,\varphi$  — сферические координаты элемента поверхности $dS,$$dS,$  $\mathbf{r}$$\mathbf {r}$  — его радиус-вектор, $\mathbf{n}$$\mathbf {n}$  — единичный вектор, нормальный к $dS.$$dS.$ 

Свойства телесных угловПравить

1. Полный телесный угол (полная сфера) равен 4π стерадиан.
2. Сумма всех телесных углов, двойственных к внутренним телесным углам выпуклого многогранника, равна полному углу.

Величины некоторых телесных угловПравить

• Треугольник с координатами вершин ${\mathbf{r}}_1$${\mathbf {r}}_{1}$ , ${\mathbf{r}}_2$${\mathbf {r}}_{2}$ , ${\mathbf{r}}_3$${\mathbf {r}}_{3}$  виден из начала координат под телесным углом

$\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}=2\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}\frac{({\mathbf{r}}_1{\mathbf{r}}_2{\mathbf{r}}_3)}{r_1{r}_2{r}_3+({\mathbf{r}}_1\cdot <!--\; \cdot \; -->{\mathbf{r}}_2)r_3+({\mathbf{r}}_2\cdot <!--\; \cdot \; -->{\mathbf{r}}_3)r_1+({\mathbf{r}}_3\cdot <!--\; \cdot \; -->{\mathbf{r}}_1)r_2},$$\Omega =2\,{\mathrm {arctg}}\,{\frac {({\mathbf {r}}_{1}{\mathbf {r}}_{2}{\mathbf {r}}_{3})}{r_{1}r_{2}r_{3}+({\mathbf {r}}_{1}\cdot {\mathbf {r}}_{2})r_{3}+({\mathbf {r}}_{2}\cdot {\mathbf {r}}_{3})r_{1}+({\mathbf {r}}_{3}\cdot {\mathbf {r}}_{1})r_{2}}},$ 

где $({\mathbf{r}}_1{\mathbf{r}}_2{\mathbf{r}}_3)$$({\mathbf {r}}_{1}{\mathbf {r}}_{2}{\mathbf {r}}_{3})$  — смешанное произведение данных векторов, $({\mathbf{r}}_i\cdot <!--\; \cdot \; -->{\mathbf{r}}_j)$$({\mathbf {r}}_{i}\cdot {\mathbf {r}}_{j})$  — скалярные произведения соответствующих векторов, полужирным шрифтом обозначены векторы, нормальным шрифтом — их длины. Используя эту формулу, можно вычислять телесные углы, стянутые произвольными многоугольниками с известными координатами вершин (для этого достаточно разбить многоугольник на непересекающиеся треугольники).

• Телесный угол при вершине прямого кругового конуса с углом раствора α равен $\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}=2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}\left(1-<!--\; -\; -->\cos <!--\; \; -->\frac{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}{2}\right).$$\Omega =2\pi \left(1-\cos {\frac {\alpha }{2}}\right).$  Если известны радиус основания $R$$R$  и высота $H$$H$  конуса, то $\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}=2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}\left(1-<!--\; -\; -->\frac{H}{\sqrt{R^2+H^2}}\right).$$\Omega =2\pi \left(1-{\frac {H}{\sqrt {R^{2}+H^{2}}}}\right).$  Когда угол раствора конуса мал, $\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}\approx <!--\; \approx \; -->\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}^2}{4}$$\Omega \approx {\frac {\pi \alpha ^{2}}{4}}$  (угол $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}$$\alpha$  выражен в радианах), или $\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}\approx <!--\; \approx \; -->\mathrm{0,000}239{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}^2$$\Omega \approx 0{,}000239\alpha ^{2}$  (угол $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}$$\alpha$  выражен в градусах). Так, телесный угол, под которым с Земли видны Луна и Солнце (их угловой диаметр примерно равен 0,5°), составляет около 6⋅10⁻⁵ стерадиан, или ≈0,0005 % площади небесной сферы (то есть полного телесного угла).
• Телесный угол двугранного угла в стерадианах равен удвоенному значению двугранного угла в радианах.
• Телесный угол трёхгранного угла выражается по теореме Люилье через его плоские углы ${\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}_a,{\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}_b,{\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}_c$$\theta _{a},\theta _{b},\theta _{c}$  при вершине, как:

$\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}=4\mathrm{arctg}<!--\; \; -->\sqrt{\mathrm{tg}<!--\; \; -->\left(\frac{{\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}_s}{2}\right)\mathrm{tg}<!--\; \; -->\left(\frac{{\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}_s-<!--\; -\; -->{\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}_a}{2}\right)\mathrm{tg}<!--\; \; -->\left(\frac{{\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}_s-<!--\; -\; -->{\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}_b}{2}\right)\mathrm{tg}<!--\; \; -->\left(\frac{{\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}_s-<!--\; -\; -->{\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}_c}{2}\right)},$$\Omega =4\,\operatorname {arctg}{\sqrt {\operatorname {tg}\left({\frac {\theta _{s}}{2}}\right)\operatorname {tg}\left({\frac {\theta _{s}-\theta _{a}}{2}}\right)\operatorname {tg}\left({\frac {\theta _{s}-\theta _{b}}{2}}\right)\operatorname {tg}\left({\frac {\theta _{s}-\theta _{c}}{2}}\right)}},$  где ${\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}_s=\frac{{\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}_a+{\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}_b+{\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}_c}{2}$$\theta _{s}={\frac {\theta _{a}+\theta _{b}+\theta _{c}}{2}}$  — полупериметр.

Через двугранные углы $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->},\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->},\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}$$\alpha ,\beta ,\gamma$  телесный угол выражается как:

$\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}=\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}+\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}+\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}-<!--\; -\; -->\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}.$$\Omega =\alpha +\beta +\gamma -\pi .$ 

• Телесный угол при вершине куба (или любого другого прямоугольного параллелепипеда) равен $\frac{1}{8}$${\frac {1}{8}}$  полного телесного угла, или $\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{2}$${\frac {\pi }{2}}$  стерадиан.
• Телесный угол, под которым видна грань правильного N-гранника из его центра, равна $\frac{1}{N}$${\frac {1}{N}}$  полного телесного угла, или $\frac{4\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{N}$${\frac {4\pi }{N}}$  стерадиан.
•  

  Телесный угол при вершине наклонного кругового конуса
  Телесный угол, под которым виден круг радиусом R из произвольной точки пространства (то есть телесный угол при вершине произвольного кругового конуса, не обязательно прямого) вычисляется с использованием полных эллиптических интегралов 1-го и 3-го рода:

$\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}=2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}+\frac{2H}{L}\left(\frac{r-<!--\; -\; -->R}{r+R}\mathrm{\Pi <!--\; \Pi \; -->}({\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}^2,k)-<!--\; -\; -->K(k)\right)$$\Omega =2\pi +{\frac {2H}{L}}\left({\frac {r-R}{r+R}}\,\Pi (\alpha ^{2},k)-K(k)\right)$  при $r\le <!--\; \le \; -->R,$$r\leq R,$ 

$\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}=\frac{2H}{L}\left(\frac{r-<!--\; -\; -->R}{r+R}\mathrm{\Pi <!--\; \Pi \; -->}({\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}^2,k)-<!--\; -\; -->K(k)\right)$$\Omega ={\frac {2H}{L}}\left({\frac {r-R}{r+R}}\,\Pi (\alpha ^{2},k)-K(k)\right)$  при $r>R,$$r>R,$ 

где $K(k)$$K(k)$  и $\mathrm{\Pi <!--\; \Pi \; -->}({\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}^2,k)$$\Pi (\alpha ^{2},k)$  — полные нормальные эллиптические интегралы Лежандра 1-го и 3-го рода, соответственно;

$r$$r$  — расстояние от центра основания конуса до проекции вершины конуса на плоскость основания;

$H$$H$  — высота конуса;

$L=\sqrt{H^2+(r+R{)}^2}$$L={\sqrt {H^{2}+(r+R)^{2}}}$  — длина максимальной образующей конуса;

$k=\frac{\sqrt{4rR}}{L};$$k={\frac {\sqrt {4rR}}{L}};$ 

$\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}=\frac{\sqrt{4rR}}{r+R}.$$\alpha ={\frac {\sqrt {4rR}}{r+R}}.$ 

ЛитератураПравить

• Hopf H. Selected Chapters of Geometry // ETH Zürich lecture, pp. 1—2, 1940.
• Van Oosterom A., Strackee J. The Solid Angle of a Plane Triangle (англ.) // IEEE Transactions on Biomedical Engineering. — 1983. — Vol. 30. — P. 125—126. — ISSN 0018-9294. — doi:10.1109/TBME.1983.325207. — PMID 6832789. [исправить]
• Weisstein E. W. Solid Angle. From MathWorld--A Wolfram Web Resource.
• Gardner R.P., Verghese K. On the solid angle subtended by a circular disc (англ.) // Nuclear Instruments and Methods. — 1971. — Vol. 93. — P. 163—167. — doi:10.1016/0029-554X(71)90155-8. — Bibcode: 1971NucIM..93..163G. [исправить]

См. такжеПравить

• Угол
• Двугранный угол
• Трёхгранный угол
• Многогранный угол