Интегралы Френеля

Интегралы Френеля S(x) и C(x) — это специальные функции, названные в честь Огюстена Жана Френеля и используемые в оптике. Они возникают при расчёте дифракции Френеля и определяются как

S(x) и C(x). Максимальное значение для C(x) примерно равно 0.977451424. Если использовать $\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}{t}^2/2$$\pi t^{2}/2$ вместо $t^2$$t^{2}$, то график изменит вертикальный и горизонтальный масштаб (см. ниже).

$S(x)=\underset{0}{\overset{x}{\int <!--\; \int \; -->}}\sin <!--\; \; -->(t^2)dt,C(x)=\underset{0}{\overset{x}{\int <!--\; \int \; -->}}\cos <!--\; \; -->(t^2)dt.$$S(x)=\int \limits _{0}^{x}\sin(t^{2})\,dt,\quad C(x)=\int \limits _{0}^{x}\cos(t^{2})\,dt.$

Параметрический график S(x) и C(x) даёт кривую на плоскости, называемую спиралью Корню или клотоидой.

Разложение в рядПравить

 

Нормализованные интегралы Френеля, S(x) и C(x). На этих кривых аргумент подынтегральных тригонометрических функций равен $\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}{t}^2/2$$\pi t^{2}/2$ , а не $t^2$$t^{2}$ , как на рисунке выше.

Интегралы Френеля могут быть представлены степенными рядами, сходящимися при всех x:

$S(x)=\underset{0}{\overset{x}{\int <!--\; \int \; -->}}\sin <!--\; \; -->(t^2)dt=\underset{n=0}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}(-<!--\; -\; -->1{)}^n\frac{x^{4n+3}}{(4n+3)(2n+1)!}=\frac{x^3}{3}-<!--\; -\; -->\frac{x^7}{42}+\frac{x^{11}}{1320}-<!--\; -\; -->\cdots <!--\; \cdots \; -->,$$S(x)=\int \limits _{0}^{x}\sin(t^{2})\,dt=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {x^{4n+3}}{(4n+3)(2n+1)!}}={\frac {x^{3}}{3}}-{\frac {x^{7}}{42}}+{\frac {x^{11}}{1320}}-\cdots ,$ 

$C(x)=\underset{0}{\overset{x}{\int <!--\; \int \; -->}}\cos <!--\; \; -->(t^2)dt=\underset{n=0}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}(-<!--\; -\; -->1{)}^n\frac{x^{4n+1}}{(4n+1)(2n)!}=x-<!--\; -\; -->\frac{x^5}{10}+\frac{x^9}{216}-<!--\; -\; -->\cdots <!--\; \cdots \; -->.$$C(x)=\int \limits _{0}^{x}\cos(t^{2})\,dt=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {x^{4n+1}}{(4n+1)(2n)!}}=x-{\frac {x^{5}}{10}}+{\frac {x^{9}}{216}}-\cdots .$ 

Некоторые авторы используют в качестве аргумента тригонометрических подынтегральных функций $\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{2}{t}^2$${\frac {\pi }{2}}t^{2}$ . Таким образом определенные интегралы Френеля получаются из определённых выше интегралов заменой переменной $t\to <!--\; \to \; -->\sqrt{\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{2}}t$$t\to {\sqrt {\frac {\pi }{2}}}t$  и умножением интегралов на $\sqrt{\frac{2}{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}}$${\sqrt {\frac {2}{\pi }}}$ .

Спираль КорнюПравить

 

Спираль Корню (x,y)=(C(t), S(t)). Спираль стремится к центрам отверстий при $t\to <!--\; \to \; -->\pm <!--\; \pm \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}$$t\rightarrow \pm \infty$ .

Основная статья: Клотоида

Спираль Корню, также известная как клотоида, — это кривая, являющаяся параметрическим графиком S(t) от C(t). Спираль Корню была придумана Мари Альфредом Корню для облегчения расчёта дифракции в прикладных задачах.

Так как

$C{}^{\prime }(t{)}^2+S{}^{\prime }(t{)}^2={\sin }^2<!--\; \; -->(t^2)+{\cos }^2<!--\; \; -->(t^2)=1,$$C\,'(t)^{2}+S\,'(t)^{2}=\sin ^{2}(t^{2})+\cos ^{2}(t^{2})=1,$ 

то в такой параметризации касательный вектор имеет единичную длину, так что t является длиной кривой, измеряемой от точки (0,0). Следовательно, обе ветви спирали имеют бесконечную длину.

Кривизна этой кривой в любой точке пропорциональна длине дуги, заключённой между этой точкой и началом координат. Благодаря этому свойству она применяется в строительстве дорог, так как угловое ускорение машины, движущейся по этой кривой с постоянной скоростью, будет оставаться постоянным.

СвойстваПравить

• $S(x)$$S(x)$  и $C(x)$$C(x)$  — нечётные функции $x$$x$ .

• Асимптотики интегралов Френеля при $x\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}$$x\to \infty$  даются формулами

$S(x)=\sqrt{\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{2}}\left(\frac{\text{sign}(x)}{2}-<!--\; -\; -->\frac{\cos <!--\; \; -->(x^2)}{x\sqrt{2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}}\left[1+O(x^{-<!--\; -\; -->4})\right]-<!--\; -\; -->\frac{\sin <!--\; \; -->(x^2)}{x^3\sqrt{8\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}}\left[1+O(x^{-<!--\; -\; -->4})\right]\right),$$S(x)={\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\left({\frac {{\mbox{sign}}{(x)}}{2}}-{\frac {\cos {(x^{2})}}{x{\sqrt {2\pi }}}}\left[1+O(x^{-4})\right]-{\frac {\sin {(x^{2})}}{x^{3}{\sqrt {8\pi }}}}\left[1+O(x^{-4})\right]\right),$ 

$C(x)=\sqrt{\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{2}}\left(\frac{\text{sign}(x)}{2}+\frac{\sin <!--\; \; -->(x^2)}{x\sqrt{2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}}\left[1+O(x^{-<!--\; -\; -->4})\right]-<!--\; -\; -->\frac{\cos <!--\; \; -->(x^2)}{x^3\sqrt{8\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}}\left[1+O(x^{-<!--\; -\; -->4})\right]\right).$$C(x)={\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\left({\frac {{\mbox{sign}}{(x)}}{2}}+{\frac {\sin {(x^{2})}}{x{\sqrt {2\pi }}}}\left[1+O(x^{-4})\right]-{\frac {\cos {(x^{2})}}{x^{3}{\sqrt {8\pi }}}}\left[1+O(x^{-4})\right]\right).$ 

• Используя разложение в ряд, можно построить аналитическое продолжение интегралов Френеля на всю комплексную плоскость. Комплексные интегралы Френеля выражаются через функцию ошибок как

$S(x)=\frac{\sqrt{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}}{4}\left(\sqrt{i}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{f}(\sqrt{i}x)+\sqrt{-<!--\; -\; -->i}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{f}(\sqrt{-<!--\; -\; -->i}x)\right)$$S(x)={\frac {\sqrt {\pi }}{4}}\left({\sqrt {i}}\,\mathrm {erf} ({\sqrt {i}}\,x)+{\sqrt {-i}}\,\mathrm {erf} ({\sqrt {-i}}\,x)\right)$ 

$C(x)=\frac{\sqrt{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}}{4}\left(\sqrt{-<!--\; -\; -->i}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{f}(\sqrt{i}x)+\sqrt{i}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{f}(\sqrt{-<!--\; -\; -->i}x)\right)$$C(x)={\frac {\sqrt {\pi }}{4}}\left({\sqrt {-i}}\,\mathrm {erf} ({\sqrt {i}}\,x)+{\sqrt {i}}\,\mathrm {erf} ({\sqrt {-i}}\,x)\right)$ .

• Интегралы Френеля не выражаются через элементарные функции, кроме частных случаев. Предел этих функций при $x\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}$$x\rightarrow \infty$  равен

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\int <!--\; \int \; -->}}\cos <!--\; \; -->t^{2}dt=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\int <!--\; \int \; -->}}\sin <!--\; \; -->t^{2}dt=\frac{\sqrt{2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}}{4}=\sqrt{\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{8}}.$$\int \limits _{0}^{\infty }\cos t^{2}\,dt=\int \limits _{0}^{\infty }\sin t^{2}\,dt={\frac {\sqrt {2\pi }}{4}}={\sqrt {\frac {\pi }{8}}}.$ 

ВычислениеПравить

 

Контур, используемый для вычисления предельного значения интегралов Френеля.

Пределы функций C и S при $x\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}$$x\rightarrow \infty$  могут быть найдены с помощью контурного интегрирования. Для этого берётся контурный интеграл функции

$e^{-<!--\; -\; -->\frac{1}{2}{t}^2}$$e^{-{\frac {1}{2}}t^{2}}$ 

по границе сектора на комплексной плоскости, образованного осью абсцисс, лучом $y=x$$y=x$ , $x⩾<!--\; ⩾\; -->0$$x \geqslant 0$  и окружностью радиуса R с центром в начале координат.

При $R\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}$$R\rightarrow \infty$  интеграл по дуге стремится к 0, интеграл по вещественной оси стремится к значению интеграла Пуассона

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\int <!--\; \int \; -->}}{e}^{-<!--\; -\; -->\frac{1}{2}{t}^2}dt=\sqrt{\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{2}},$$\int \limits _{0}^{\infty }e^{-{\frac {1}{2}}t^{2}}dt={\sqrt {\frac {\pi }{2}}},$ 

и, после некоторых преобразований, интеграл вдоль оставшегося луча может быть выражен через предельное значение интеграла Френеля.

См. такжеПравить

• Дифракция Френеля
• Функция Доусона
• Обобщённые интегралы Френеля

ПримечанияПравить

• Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, eds. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. — New York: Dover, 1972. (См. часть 7)  (англ.)

СсылкиПравить

• Weisstein, Eric W. Fresnel Integrals (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.  (англ.)
• Weisstein, Eric W. Cornu Spiral (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.  (англ.)
• R. Nave, The Cornu spiral, Hyperphysics (2002) (Использует πt²/2 вместо t².)  (англ.)
• Roller Coaster Loop Shapes  (неопр.). Дата обращения: 13 августа 2008. Архивировано из оригинала 4 марта 2006 года.  (англ.).