Функция Доусона

В математике функция Доусона, или интеграл Доусона (названная по имени Генри Гордона Доусона) — неэлементарная функция действительного переменного:

Функция Доусона $F(x)=D_{+}(x)$$F(x)=D_{+}(x)$, вблизи начала координат

Функция Доусона $D_{-<!--\; -\; -->}(x)$$D_{-}(x)$, вблизи начала координат

$F(x)=e^{-<!--\; -\; -->x^2}{\int <!--\; \int \; -->}_0^x{e}^{t^2}dt.$$F(x)=e^{-x^{2}}\int _{0}^{x}e^{t^{2}}\,dt.$

СвойстваПравить

Общие свойства

• Нечётная функция: $F(-<!--\; -\; -->x)=-<!--\; -\; -->F(x)$$F(-x)=-F(x)$ .
• Производная: $\frac{d}{dx}F(x)=1-<!--\; -\; -->2xF(x)$${\frac {d}{dx}}F(x)=1-2xF(x)$ .
• Неопределённый интеграл: $\int <!--\; \int \; -->F(x)dx=\frac{1}{2}{x}^2{}_2{F}_2\left(1,1;\frac{3}{2},2;-<!--\; -\; -->x^2\right)$$\int F(x)\,dx={\frac {1}{2}}x^{2}{}_{2}F_{2}\left(1,1;{\frac {3}{2}},2;-x^{2}\right)$ , где ${}_2{F}_2\left(a,b;c,d;z\right)$${}_{2}F_{2}\left(a,b;c,d;z\right)$  - обобщённая гипергеометрическая функция.
• Является дробной производной обратной экспоненты: $D^{-<!--\; -\; -->1/2}{e}^{-<!--\; -\; -->x}=\frac{2}{\sqrt{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}}F(\sqrt{x})$$D^{{-1/2}}e^{{-x}}={\frac {2}{{\sqrt {\pi }}}}F({\sqrt {x}})$ .
• Имеет максимум в точке, являющейся решением уравнения $1-<!--\; -\; -->\sqrt{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{e}^{-<!--\; -\; -->x^2}x\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{f}\mathrm{i}(x)=0$$1-{\sqrt {\pi }}e^{-x^{2}}x\,\mathrm {erfi} (x)=0$ : $F(0,9241388730)=0,541044246$$F(0,9241388730)=0,541044246$ . Дроби задаются последовательностями цифр последовательность 133841 в OEIS и последовательность 133842 в OEIS.
• Имеет точку перегиба: $F(1,5019752683)=0,4276866160$$F(1,5019752683)=0,4276866160$  (последовательность 133843 в OEIS).
• Раскладывается в цепные дроби:

$F(z)=\frac{1}{1+\frac{2z^2}{3-<!--\; -\; -->\frac{4z^2}{5+\frac{6z^2}{7-<!--\; -\; -->\frac{8z^2}{9+\cdots <!--\; \cdots \; -->}}}}}$$F(z)={\cfrac {1}{1+{\cfrac {2z^{2}}{3-{\cfrac {4z^{2}}{5+{\cfrac {6z^{2}}{7-{\cfrac {8z^{2}}{9+\cdots }}}}}}}}}}$ 

$F(z)=\frac{z}{1+2z^2-<!--\; -\; -->\frac{4z^2}{3+2z^2-<!--\; -\; -->\frac{8z^2}{5+2z^2-<!--\; -\; -->\frac{12z^2}{7+2z^2-<!--\; -\; -->\cdots <!--\; \cdots \; -->}}}}$$F(z)={\cfrac {z}{1+2z^{2}-{\cfrac {4z^{2}}{3+2z^{2}-{\cfrac {8z^{2}}{5+2z^{2}-{\cfrac {12z^{2}}{7+2z^{2}-\cdots }}}}}}}}$ 

Функция ошибок

Функция Доусона тесно связана с интегралом ошибок erf:

$F(x)=\frac{\sqrt{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}}{2}{e}^{-<!--\; -\; -->x^2}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{f}\mathrm{i}(x)=-<!--\; -\; -->\frac{i\sqrt{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}}{2}{e}^{-<!--\; -\; -->x^2}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{f}(ix)$$F(x)={{\sqrt {\pi }} \over 2}e^{{-x^{2}}}{\mathrm {erfi}}(x)=-{i{\sqrt {\pi }} \over 2}e^{{-x^{2}}}{\mathrm {erf}}(ix)$ 

где erfi является мнимой частью функции ошибок, erfi(x) = −i erf(ix).

Асимптотика

Для |x|, близких к нулю, F(x) ≈ x, а для |x| больших, F(x) ≈ 1/(2x). Более точно, вблизи начала координат имеет место разложение в ряд:

$F(x)=\underset{k=0}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\frac{(-<!--\; -\; -->1{)}^k{2}^k}{(2k+1)!!}{x}^{2k+1}=x-<!--\; -\; -->\frac{2}{3}{x}^3+\frac{4}{15}{x}^5-<!--\; -\; -->\cdots <!--\; \cdots \; -->$$F(x)=\sum _{{k=0}}^{{\infty }}{\frac {(-1)^{k}\,2^{k}}{(2k+1)!!}}\,x^{{2k+1}}=x-{\frac {2}{3}}x^{3}+{\frac {4}{15}}x^{5}-\cdots$ 

$F(x)=\underset{n=0}{\overset{+\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\frac{(-<!--\; -\; -->2{)}^n}{1\cdot <!--\; \cdot \; -->3\cdot <!--\; \cdot \; -->5\cdots <!--\; \cdots \; -->(2n+1)}{x}^{2n+1}=x-<!--\; -\; -->\frac{2}{3}{x}^3+\frac{4}{15}{x}^5-<!--\; -\; -->\dots <!--\; \dots \; -->$$F(x)=\sum _{{n=0}}^{{+\infty }}{\frac {(-2)^{{n}}}{1\cdot 3\cdot 5\cdots (2n+1)}}\,x^{{2n+1}}=x-{\frac 23}x^{3}+{\frac 4{15}}x^{5}-\dots$ 

(этот степенной ряд сходится при всех x) и, около $+\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}$$+\infty$ , имеется асимптотическое разложение:

$F(x)=\frac{1}{2x}+\frac{1}{4x^3}+\frac{3}{8x^5}+\cdots <!--\; \cdots \; -->+\frac{1\cdot <!--\; \cdot \; -->3\cdot <!--\; \cdot \; -->5\cdots <!--\; \cdots \; -->(2n-<!--\; -\; -->1)}{2^{n+1}{x}^{2n+1}}+o(x^{-<!--\; -\; -->2n-<!--\; -\; -->2})$$F(x)={\frac {1}{2x}}+{\frac {1}{4x^{3}}}+{\frac {3}{8x^{5}}}+\dots +{\frac {1\cdot 3\cdot 5\cdots (2n-1)}{2^{{n+1}}x^{{2n+1}}}}+o(x^{{-2n-2}})$ 

(которое, напротив, для всех x представляет собой расходящийся ряд).

Альтернативное определение

F(x) удовлетворяет обыкновенному дифференциальному уравнению

$\frac{dF}{dx}+2xF=1$${\frac {dF}{dx}}+2xF=1$ 

с начальным условием F (0) = 0.

ОбобщенияПравить

Иногда используют другое обозначение для функции Доусона: $D_{+}(x)=e^{-<!--\; -\; -->x^2}{\int <!--\; \int \; -->}_0^x{e}^{t^2}dt$$D_{+}(x)=e^{-x^{2}}\int _{0}^{x}e^{t^{2}}\,dt$ , тогда вводят "симметричную" её в нотации: $D_{-<!--\; -\; -->}(x)=e^{x^2}{\int <!--\; \int \; -->}_0^x{e}^{-<!--\; -\; -->t^2}dt$$D_{-}(x)=e^{x^{2}}\int _{0}^{x}e^{-t^{2}}\,dt$  ; в таких обозначениях:

$D_{+}(x)=\frac{\sqrt{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}}{2}{e}^{-<!--\; -\; -->x^2}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{f}\mathrm{i}(x)$$D_{+}(x)={{\sqrt {\pi }} \over 2}e^{{-x^{2}}}{\mathrm {erfi}}(x)$  и

$D_{-<!--\; -\; -->}(x)=\frac{\sqrt{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}}{2}{e}^{x^2}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{f}(x)$$D_{-}(x)={{\sqrt {\pi }} \over 2}e^{{x^{2}}}{\mathrm {erf}}(x)$ .

См. такжеПравить

• Интеграл Френеля
• Функция ошибок

ЛитератураПравить

• Temme, N. M. (2010), «Error Functions, Dawson’s and Fresnel Integrals», in Olver, Frank W. J.; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F. et al., NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, ISBN 978-0521192255

СсылкиПравить

• Cephes — Библиотека математических функций на C и C++
• Weisstein, Eric W. Интеграл Доусона (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Функция ошибок
• Реализации функции Доусона