Обобщённые интегралы Френеля

Обобщённые интегралы Френеля (интегралы Бёмера) — специальные функции, обобщающие интегралы Френеля. Введены Петером Бёмером в 1939 году.

Обобщённый косинус Френеля:

$\mathrm{C}<!--\; \; -->(x,y)={\int <!--\; \int \; -->}_x^{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{t}^{y-<!--\; -\; -->1}\cos <!--\; \; -->(t)dt$$\operatorname {C} (x,y)=\int _{x}^{\infty }t^{y-1}\cos(t)\,dt$

Обобщённый синус Френеля:

$\mathrm{S}<!--\; \; -->(x,y)={\int <!--\; \int \; -->}_x^{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{t}^{y-<!--\; -\; -->1}\sin <!--\; \; -->(t)dt$$\operatorname {S} (x,y)=\int _{x}^{\infty }t^{y-1}\sin(t)\,dt$

Соответственно, обычные интегралы Френеля выражаются через интегралы Бёмера следующим образом:

$\mathrm{S}<!--\; \; -->(y)=\frac{1}{2}-<!--\; -\; -->\frac{1}{\sqrt{2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}}\cdot <!--\; \cdot \; -->\mathrm{S}<!--\; \; -->\left(y^2,\frac{1}{2}\right)$$\operatorname {S} (y)={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\cdot \operatorname {S} \left(y^{2},{\frac {1}{2}}\right)$

$\mathrm{C}<!--\; \; -->(y)=\frac{1}{2}-<!--\; -\; -->\frac{1}{\sqrt{2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}}\cdot <!--\; \cdot \; -->\mathrm{C}<!--\; \; -->\left(y^2,\frac{1}{2}\right)$$\operatorname {C} (y)={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\cdot \operatorname {C} \left(y^{2},{\frac {1}{2}}\right)$

Также через обобщённые интегралы Френеля можно выразить интегральный синус и интегральный косинус:

$\mathrm{Si}<!--\; \; -->(x)=\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{2}-<!--\; -\; -->\mathrm{S}<!--\; \; -->(x,0)$$\operatorname {Si} (x)={\frac {\pi }{2}}-\operatorname {S} (x,0)$

$\mathrm{Ci}<!--\; \; -->(x)=\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{2}-<!--\; -\; -->\mathrm{C}<!--\; \; -->(x,0)$$\operatorname {Ci} (x)={\frac {\pi }{2}}-\operatorname {C} (x,0)$

ЛитератураПравить

K. B. Oldham, J. C. Myland,J. Spanier. An atlas of functions (англ.). — 2-е изд. — Springer, 2008. — 748 p.