Закон Бернулли

Эта статья об уравнении Бернулли в гидродинамике; о дифференциальном уравнении Бернулли см. Дифференциальное уравнение Бернулли.

Зако́н Берну́лли (также уравне́ние Берну́лли, теоре́ма Берну́лли или интегра́л Берну́лли) устанавливает зависимость между скоростью стационарного потока жидкости и её давлением. Согласно этому закону, если вдоль линии тока давление жидкости повышается, то скорость течения убывает, и наоборот. Количественное выражение закона в виде интеграла Бернулли является результатом интегрирования уравнений гидродинамики идеальной жидкости (то есть без вязкости и теплопроводности).

Рисунок из «Гидродинамики» Д. Бернулли: из-за течения по трубе, компенсирующего расход через правое отверстие О, давление в трубе меньше, чем в сосуде слева.

ИсторияПравить

Для случая несжимаемой жидкости результат, эквивалентный современному уравнению Бернулли, был опубликован в 1738 году Даниилом Бернулли. В современном виде интеграл был опубликован Иоганном Бернулли в 1743 году для случая несжимаемой жидкости, а для некоторых случаев течений сжимаемой жидкости — Эйлером в 1757 году.

Интеграл Бернулли в несжимаемой жидкостиПравить

Полное давление
Размерность	$L^{-<!--\; -\; -->1}M{T}^{-<!--\; -\; -->2}$$L^{-1}MT^{-2}$
Единицы измерения
СИ	Дж/м3 = Па
СГС	эрг/см3
Примечания
Постоянно вдоль линии тока стационарного течения несжимаемой жидкости.

Для стационарного течения несжимаемой жидкости уравнение Бернулли может быть получено как следствие закона сохранения энергии. Закон Бернулли утверждает, что величина $\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}{v}^2/2+\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}gh+p$$\rho v^{2}/2+\rho gh+p$  сохраняет постоянное значение вдоль линии тока:

$\frac{\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}{v}^2}{2}+\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}gh+p=\text{const}.$${\frac {\rho v^{2}}{2}}+\rho gh+p={\text{const}}.$ 

Здесь

$\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}$$\rho$  — плотность жидкости;

$v$$v$  — скорость потока;

$h$$h$  — высота;

$p$$p$  — давление;

$g$$g$  — ускорение свободного падения.

Элементарный вывод уравнения Бернулли из закона сохранения энергии

 

Элементарный вывод уравнения Бернулли из закона сохранения энергии приведён, например, в учебнике Д. В. Сивухина. Рассматривается стационарное движение жидкости вдоль линии тока, изображённое на рисунке. Слева на объем жидкости, первоначально заключённый между двумя сечениями $A_1$$A_{1}$  и $A_2$$A_{2}$ , действует сила $F_1=p_1{A}_1$$F_{1}=p_{1}A_{1}$ , а справа — противоположного направления сила $F_2=-<!--\; -\; -->p_2{A}_2$$F_{2}=-p_{2}A_{2}$ . Скорость $v$$v$  и давление $p$$p$  в сечениях 1 и 2, а также их площади обозначены нижними индексами 1 и 2. За бесконечно малое время $\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}t$$\Delta t$  левая граница этого объёма жидкости сместилась на малое расстояние $s_1=v_1\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}t$$s_{1}=v_{1}\Delta t$ , а правая — на расстояние $s_2=v_2\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}t$$s_{2}=v_{2}\Delta t$ . Работа, совершённая силами давления, равна:

$W=F_1{s}_1+F_2{s}_2=\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}t\left(v_1{A}_1{p}_1-<!--\; -\; -->v_2{A}_2{p}_2\right).$$W=F_{1}s_{1}+F_{2}s_{2}=\Delta t\left(v_{1}A_{1}p_{1}-v_{2}A_{2}p_{2}\right).$ 

В начале интервала времени $\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}t$$\Delta t$  объем жидкости, заключённый между двумя поверхностями $A_1$$A_{1}$  и $A_2$$A_{2}$ , состоит из левого голубого элемента и средней синей части, в конце этого интервала сместившийся объём состоит из средней синей части и правого голубого элемента. Так как течение стационарное, вклад синего фрагмента в энергию и массу обсуждаемого объёма жидкости не меняется, а сохранение массы позволяет заключить, что масса левого голубого элемента равна массе правого голубого элемента: $\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}m=\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}t{v}_1{A}_1{\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}_1=\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}t{v}_2{A}_2{\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}_2.$$\Delta m=\Delta tv_{1}A_{1}\rho _{1}=\Delta tv_{2}A_{2}\rho _{2}.$  Поэтому работа сил, выражение для которой можно преобразовать к виду: $\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}W=\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}m\left(\frac{p_1}{{\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}_1}-<!--\; -\; -->\frac{p_2}{{\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}_2}\right),$$\Delta W=\Delta m\left({\frac {p_{1}}{\rho _{1}}}-{\frac {p_{2}}{\rho _{2}}}\right),$  равна изменению энергии, равному, в свою очередь, разности энергий правого голубого элемента $\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}{E}_2$$\Delta E_{2}$  и левого голубого элемента $\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}{E}_1$$\Delta E_{1}$ .

Для несжимаемой жидкости можно, во-первых, в выражении для работы положить ${\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}_1={\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}_2=\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}$$\rho _{1}=\rho _{2}=\rho$  и, во-вторых, в выражении для энергии элемента жидкости ограничиться кинетической и потенциальной энергией: $\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}{E}_1=\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}m\left(\frac{v_1^2}{2}+g{h}_1\right),$$\Delta E_{1}=\Delta m\left({\frac {v_{1}^{2}}{2}}+gh_{1}\right),$  $\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}{E}_2=\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}m\left(\frac{v_2^2}{2}+g{h}_2\right).$$\Delta E_{2}=\Delta m\left({\frac {v_{2}^{2}}{2}}+gh_{2}\right).$  После этого равенство $\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}W=\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}{E}_2-<!--\; -\; -->\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}{E}_1$$\Delta W=\Delta E_{2}-\Delta E_{1}$  даёт: $p_1+\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}g{h}_1+\frac{\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}{v}_1^2}{2}=p_2+\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}g{h}_2+\frac{\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}{v}_2^2}{2}$$p_{1}+\rho gh_{1}+{\frac {\rho v_{1}^{2}}{2}}=p_{2}+\rho gh_{2}+{\frac {\rho v_{2}^{2}}{2}}$ , или $p+\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}gh+\frac{\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}{v}^2}{2}=\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t}$$p+\rho gh+{\frac {\rho v^{2}}{2}}={\rm {const}}$ .

Константа в правой части (может различаться для различных линий тока) иногда называется полным давлением. Могут также использоваться термины «весовое давление» $\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}gh$$\rho gh$ , «статическое давление» $p$$p$  и «динамическое давление» $\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}{v}^2/2$$\rho v^{2}/2$ . По словам Д. В. Сивухина, нерациональность этих понятий отмечалась многими физиками.

Размерность всех слагаемых — единица энергии на единицу объёма. Первое и второе слагаемое в интеграле Бернулли имеют смысл кинетической и потенциальной энергии, приходящейся на единицу объёма жидкости. Третье слагаемое по своему происхождению является работой сил давления (см. приведённый выше вывод уравнения Бернулли), но в гидравлике может называться «энергией давления» и частью потенциальной энергии).

Вывод формулы Торричелли из закона БернуллиПравить

Основная статья: Формула Торричелли

 

Иллюстрация формулы Торричелли

В применении к истечению идеальной несжимаемой жидкости через малое отверстие в боковой стенке или дне широкого сосуда закон Бернулли даёт равенство полных давлений на свободной поверхности жидкости и на выходе из отверстия:

$\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}gh+p_0=\frac{\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}{v}^2}{2}+p_0,$$\rho gh+p_{0}={\frac {\rho v^{2}}{2}}+p_{0},$ 

где

$h$$h$  — высота столба жидкости в сосуде, отсчитанная от уровня отверстия,

$v$$v$  — скорость истечения жидкости,

$p_0$$p_{0}$  — атмосферное давление.

Отсюда: $v=\sqrt{2gh}$$v={\sqrt {2gh}}$ . Это — формула Торричелли. Она показывает, что при истечении жидкость приобретает скорость, какую получило бы тело, свободно падающее с высоты $h$$h$ . Или, если истекающую из малого отверстия в сосуде струю направить вверх, в верхней точке (в пренебрежении потерями) струя достигнет уровня свободной поверхности в сосуде.

Другие проявления и применения закона БернуллиПравить

 

Закон Бернулли объясняет эффект Вентури: в узкой части трубы скорость течения жидкости выше, а давление меньше, чем в широкой части

Приближение несжимаемой жидкости, а с ним и закон Бернулли справедливы и для ламинарных течений газа, если только скорости течения малы по сравнению со скоростью звука.

Основная статья: Эффект Вентури

Вдоль горизонтальной трубы координата $z$$z$  постоянна и уравнение Бернулли принимает вид $\frac{\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}{v}^2}{2}+p=\text{const}$${\frac {\rho v^{2}}{2}}+p={\text{const}}$ . Отсюда следует, что при уменьшении сечения потока из-за возрастания скорости давление падает. Эффект понижения давления при увеличении скорости потока лежит в основе работы расходомера Вентури и струйного насоса.

Закон Бернулли объясняет, почему суда, движущиеся параллельным курсом, могут притягиваться друг к другу (например, такой инцидент произошёл с лайнером «Олимпик»).

Применение в гидравликеПравить

Основные статьи: Гидравлика, Гидравлические потери и Напор

Последовательное применение закона Бернулли привело к появлению технической гидромеханической дисциплины — гидравлики. Для технических приложений часто уравнение Бернулли записывается в виде, в котором все члены разделены на «удельный вес» $\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}g$$\rho g$ :

$H=h+\frac{p}{\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}g}+\frac{v^2}{2g}=\text{const},$$H=h+{\frac {p}{\rho g}}+{\frac {v^{2}}{2g}}={\text{const}},$ 

где имеющие размерность длины члены в этом уравнении могут иметь следующие названия:

Напор
Размерность	$L$$L$
Единицы измерения
СИ	метр
Примечания
Полное давление, делённое на удельный вес.

$H$$H$  — гидравлическая высота или напор,

$h$$h$  — нивелирная высота,

$\frac{p}{\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}g}$${\frac {p}{\rho g}}$  — пьезометрическая высота или (в сумме с нивелирной высотой) гидростатический напор,

$\frac{v^2}{2g}$${\frac {v^{2}}{2g}}$  — скоростная высота или скоростной напор.

Закон Бернулли справедлив только для идеальных жидкостей, в которых отсутствуют потери на вязкое трение. Для описания течений реальных жидкостей в технической гидромеханике (гидравлике) используют интеграл Бернулли с добавлением слагаемых, приближённо учитывающих различные «гидравлические потери напора».

Интеграл Бернулли в баротропных теченияхПравить

Основная статья: Баротропность

Уравнение Бернулли может быть выведено и из уравнения движения жидкости. При этом течение предполагается стационарным и баротропным. Последнее означает, что плотность жидкости или газа не обязательно постоянна (как у предполагавшейся ранее несжимаемой жидкости), но является функцией только давления: $\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}=\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}(p)$$\rho =\rho (p)$ , что позволяет ввести функцию давления $\mathcal{P}=\int <!--\; \int \; -->\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}(p)}.$${\mathcal {P}}=\int {\frac {\mathrm {d} p}{\rho (p)}}.$  В этих предположениях величина

$\frac{v^2}{2}+gh+\mathcal{P}=\text{const}$${\frac {v^{2}}{2}}+gh+{\mathcal {P}}={\text{const}}$ 

постоянна вдоль любой линии тока и любой вихревой линии. Соотношение справедливо для течения в любом потенциальном поле, при этом $gh$$gh$  заменяется на потенциал массовой силы $\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}$$\varphi$ .

Вывод интеграла Бернулли для баротропного течения

Уравнение Громеки — Лэмба (квадратные скобки обозначают векторное произведение) имеет вид:

$\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{v}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}t}+\mathrm{grad}<!--\; \; -->\left(\frac{v^2}{2}\right)+\left[\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{t}\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{v},\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{v}\right]=-<!--\; -\; -->\frac{1}{\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}\mathrm{grad}<!--\; \; -->p+\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{F}$${\frac {\partial {\vec {v}}}{\partial t}}+\operatorname {grad} \left({\frac {v^{2}}{2}}\right)+\left[\mathrm {rot} \,{\vec {v}},{\vec {v}}\right]=-{\frac {1}{\rho }}\operatorname {grad} p+{\vec {F}}$ 

В силу сделанных предположений $\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{v}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}t}=0,$${\frac {\partial {\vec {v}}}{\partial t}}=0,$  $\frac{\mathrm{grad}<!--\; \; -->p}{\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}=\mathrm{grad}<!--\; \; -->\mathcal{P}$${\frac {\operatorname {grad} p}{\rho }}=\operatorname {grad} {\cal {P}}$  и $\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{F}=-<!--\; -\; -->\mathrm{grad}<!--\; \; -->\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}$${\vec {F}}=-\operatorname {grad} \varphi$  (в частном случае однородной силы тяжести её потенциал равен $\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}=gh$$\varphi =g\,h$ ), так что уравнение Громеки — Лэмба принимает вид:

$\mathrm{grad}<!--\; \; -->\left(\frac{v^2}{2}+\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}+\mathcal{P}\right)+\left[\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{t}\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{v},\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{v}\right]=0$$\operatorname {grad} \left({\frac {v^{2}}{2}}+\varphi +{\cal {P}}\right)+\left[\mathrm {rot} \,{\vec {v}},{\vec {v}}\right]=0$ 

Скалярное произведение этого уравнения на единичный вектор $\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{l}=\frac{\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{v}}{v},$${\vec {l}}={\frac {\vec {v}}{v}},$  касательный к линии тока, даёт:

$\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}l}\left(\frac{v^2}{2}+\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}+\mathcal{P}\right)=0$${\frac {\partial }{\partial l}}\left({\frac {v^{2}}{2}}+\varphi +{\cal {P}}\right)=0$ 

так как произведение градиента на единичный вектор даёт производную по направлению $\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}l}$${\frac {\partial }{\partial l}}$ , а векторное произведение перпендикулярно направлению скорости. Следовательно, вдоль линии тока $\frac{v^2}{2}+\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}+\mathcal{P}=\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t}.$${\frac {v^{2}}{2}}+\varphi +{\cal {P}}=\mathrm {const} .$  Такое соотношение справедливо и для вихревой линии, касательный вектор к которой в каждой точке направлен по $\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{t}\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{v}.$$\mathrm {rot} \,{\vec {v}}.$ 

Для безвихревых баротропных течений, скорость которых может быть выражена в виде градиента потенциала скорости $\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{v}=\mathrm{grad}<!--\; \; -->\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}$${\vec {v}}=\operatorname {grad} \psi$ , интеграл Бернулли в виде $\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}t}+\frac{{\left(\mathrm{grad}<!--\; \; -->\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}\right)}^2}{2}+gh+\mathcal{P}=\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t}$${\frac {\partial \psi }{\partial t}}+{\frac {\left(\operatorname {grad} \psi \right)^{2}}{2}}+gh+{\cal {P}}=\mathrm {const}$  сохраняется также в нестационарных течениях, причём постоянная в правой части имеет одинаковое значение для всего течения.

Формула Сен-Венана — ВанцеляПравить

Если в течении совершенного газа выполняется адиабатический закон

$p=\frac{p_0}{{\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}_0^{\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}}}{\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}^{\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}},\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}=\frac{{\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}_0}{p_0^{1/\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}}}{p}^{1/\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}},\mathcal{P}=-<!--\; -\; -->\frac{\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}}{\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}-<!--\; -\; -->1}\frac{p_0}{{\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}_0}\left[1-<!--\; -\; -->{\left(\frac{p}{p_0}\right)}^{(\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}-<!--\; -\; -->1)/\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}}\right],$$p={\frac {p_{0}}{\rho _{0}^{\gamma }}}\rho ^{\gamma },\qquad \rho ={\frac {\rho _{0}}{p_{0}^{1/\gamma }}}p^{1/\gamma },\qquad {\cal {P}}=-{\frac {\gamma }{\gamma -1}}{\frac {p_{0}}{\rho _{0}}}\left[1-\left({\frac {p}{p_{0}}}\right)^{(\gamma -1)/\gamma }\right],$ 

то уравнение Бернулли выражается так (вкладом от силы тяжести обычно можно пренебречь):

$\frac{v^2}{2}-<!--\; -\; -->\frac{\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}}{\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}-<!--\; -\; -->1}\frac{p_0}{{\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}_0}\left[1-<!--\; -\; -->{\left(\frac{p}{p_0}\right)}^{(\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}-<!--\; -\; -->1)/\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}}\right]=\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t}$${\frac {v^{2}}{2}}-{\frac {\gamma }{\gamma -1}}{\frac {p_{0}}{\rho _{0}}}\left[1-\left({\frac {p}{p_{0}}}\right)^{(\gamma -1)/\gamma }\right]=\mathrm {const}$  вдоль линии тока или вихревой линии. Здесь

$\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}=\frac{C_p}{C_V}$$\gamma ={\frac {C_{p}}{C_{V}}}$  — показатель адиабаты газа, выражающийся через теплоёмкости при постоянном давлении и при постоянном объёме,

$p,\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}$$p,\ \rho$  — давление и плотность газа,

$p_0,{\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}_0$$p_{0},\ \rho _{0}$  — условно выбранные постоянные (одинаковые для всего течения) значения давления и плотности.

С помощью полученной формулы находят скорость газа, вытекающего из сосуда с высоким давлением через малое отверстие. Удобно давление и плотность газа в сосуде, скорость газа в котором равна нулю, принять за $p_0,{\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}_0,$$p_{0},\ \rho _{0},$  тогда скорость истечения выражается через внешнее давление $p$$p$  по формуле Сен-Венана — Ванцеля:

$v^2=\frac{2\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}}{\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}-<!--\; -\; -->1}\frac{p_0}{{\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}_0}\left[1-<!--\; -\; -->{\left(\frac{p}{p_0}\right)}^{(\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}-<!--\; -\; -->1)/\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}}\right].$$v^{2}={\frac {2\gamma }{\gamma -1}}{\frac {p_{0}}{\rho _{0}}}\left[1-\left({\frac {p}{p_{0}}}\right)^{(\gamma -1)/\gamma }\right].$ 

Термодинамика закона БернуллиПравить

Основная статья: Энтальпия

Из термодинамики следует, что вдоль линии тока любого стационарного течения идеальной жидкости

$\frac{v^2}{2}+w+\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}=\text{const},s=\text{const},$${\frac {v^{2}}{2}}+w+\varphi ={\text{const}},\quad s={\text{const}},$ 

где $w$$w$  — энтальпия единицы массы, $\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}$$\varphi$  — гравитационный потенциал (равный $gz$$gz$  для однородной силы тяжести), $s$$s$  — энтропия единицы массы.

Вывод закона Бернулли из уравнения Эйлера и термодинамических соотношений

1. Уравнение Эйлера для стационарного ($\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{v}/\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}t=0$$\partial {\vec {v}}/\partial t=0$ ) движения идеальной жидкости в поле силы тяжести имеет вид

$(\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{v}\cdot <!--\; \cdot \; -->\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->})\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{v}=-<!--\; -\; -->\frac{1}{\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}p+\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{g},$$({\vec {v}}\cdot \nabla ){\vec {v}}=-{\frac {1}{\rho }}\nabla p+{\vec {g}},$ 

где ускорение силы тяжести можно выразить через гравитационный потенциал $\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{g}=-<!--\; -\; -->\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}$${\vec {g}}=-\nabla \varphi$  (для однородного поля $\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}=gh$$\varphi =gh$ ), точка между векторами в круглых скобках означает их скалярное произведение.

2. Скалярное произведение этого уравнения на единичный вектор $\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{l}=\frac{\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{v}}{v},$${\vec {l}}={\frac {\vec {v}}{v}},$  касательный к линии тока даёт

$\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}l}\left(\frac{v^2}{2}+\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}\right)=-<!--\; -\; -->\frac{1}{\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}p}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}l},$${\frac {\partial }{\partial l}}\left({\frac {v^{2}}{2}}+\varphi \right)=-{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial p}{\partial l}},$ 

так как произведение градиента на единичный вектор даёт производную по направлению $\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}l}.$${\frac {\partial }{\partial l}}.$ 

3. Термодинамическое дифференциальное соотношение

$\mathrm{d}w=\frac{1}{\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}\mathrm{d}p+T\mathrm{d}s,$$\mathrm {d} w={\frac {1}{\rho }}\mathrm {d} p+T\mathrm {d} s,$ 

где $w$$w$  — энтальпии единицы массы, $T$$T$  — температура и $s$$s$  — энтропия единицы массы, даёт

$\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}w}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}l}=\frac{1}{\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}p}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}l}+T\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}s}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}l},$${\frac {\partial w}{\partial l}}={\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial p}{\partial l}}+T{\frac {\partial s}{\partial l}},\quad$  так что $\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}l}\left(\frac{v^2}{2}+w+\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}\right)=T\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}s}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}l}.$${\frac {\partial }{\partial l}}\left({\frac {v^{2}}{2}}+w+\varphi \right)=T{\frac {\partial s}{\partial l}}.$ 

В стационарном течении идеальной жидкости все частицы, движущиеся вдоль данной линии тока, имеют одинаковую энтропию ($\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}s/\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}l=0$$\partial s/\partial l=0$ ), поэтому вдоль линии тока:

$s=\text{const},\frac{v^2}{2}+w+\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}=\text{const}.$$s={\text{const}},\quad {\frac {v^{2}}{2}}+w+\varphi ={\text{const}}.$ 

Интеграл Бернулли применяют в инженерных расчётах, в том числе для сред, весьма далёких по своим свойствам от идеального газа, например для водяного пара, используемого в качестве теплоносителя в паровых турбинах. При этом могут использоваться так называемые диаграммы Молье, представляющие удельную энтальпию (по оси ординат) как функцию удельной энтропии (по оси абсцисс), и, например, давления (или температуры) в виде семейства изобар (изотерм). В этом случае последовательность состояний вдоль линии тока лежит на некоторой вертикальной линии ($s=\text{const}$$s={\text{const}}$ ). Длина отрезка этой линии, отсекаемого двумя изобарами, соответствующими начальному и конечному давлению теплоносителя, равна половине изменения квадрата скорости.

Обобщения интеграла БернуллиПравить

Интеграл Бернулли также сохраняется при переходе потока через фронт ударной волны, в системе отсчета, в которой ударная волна покоится. Однако при таком переходе энтропия среды не остаётся постоянной (возрастает), поэтому соотношение Бернулли является лишь одним из трёх соотношений Гюгонио, наряду с законами сохранения массы и импульса, связывающих состояние среды за фронтом с состоянием среды перед фронтом и со скоростью ударной волны.

Известны обобщения интеграла Бернулли для некоторых классов течений вязкой жидкости (например, для плоскопараллельных течений), в магнитной гидродинамике, феррогидродинамике. В релятивистской гидродинамике, когда скорости течения становятся сравнимыми со скоростью света $c$$c$ , интеграл формулируется в терминах релятивистски инвариантных удельной энтальпии и удельной энтропии.

ЛитератураПравить

• Бэтчелор Дж. Введение в динамику жидкости / Пер. с англ. под ред. Г. Ю. Степанова. — М.: Мир, 1973. — 760 с.
• Вишневецкий С. Л. Бернулли уравнение // Физическая энциклопедия / Гл. ред. А. М. Прохоров. — М.: Советская энциклопедия, 1988. — Т. 1: Ааронова-Бома эффект — Длинные линии. — С. 187. — 704 с.
• Гольдштейн Р. В., Городцов В. А. Механика сплошных сред. Часть 1. — М.: Физматлит, 2000. — 256 с. — ISBN 5-02-015555-1.
• Зубарев, Д. Н. Релятивистская термодинамика // Физическая энциклопедия / Гл. ред. А. М. Прохоров. — М.: Большая российская энциклопедия, 1994. — Т. 4: Пойнтинга-Робертсона эффект — Стримеры. — С. 333—334. — 704 с. — ISBN 5-85270-087-8.
• Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Гидродинамика. — Издание 5-е, стереотипное. — М.: Физматлит, 2001. — 736 с. — («Теоретическая физика», том VI). — ISBN 5-9221-0121-8.
• Лойцянский Л. Г. Механика жидкости и газа. — М.: Дрофа, 2003. — 842 с. — ISBN 5-7107-6327-6.
• Милн-Томсон Л. М. Теоретическая гидродинамика. — М.: Мир, 1964. — 656 с.
• Михайлов Г. К. Становление гидравлики и гидродинамики в трудах петербургских академиков (XVIII) // Известия Академии наук, серия Механика жидкости и газа : журнал. — 1999. — Вып. 6. — С. 7–25.
• Напор // Физическая энциклопедия / Гл. ред. А. М. Прохоров. — М.: Большая российская энциклопедия, 1992. — Т. 3: Магнитоплазменный компрессор — Пойнтинга теорема. — С. 242. — 672 с. — ISBN 5-85270-019-3.
• Поль Р. В. Механика, акустика и учение о теплоте. — Рипол Классик, 2013. — 490 с. — ISBN 5458431251, 9785458431255.
• Седов Л. И. Механика сплошной среды. — М.: Наука, 1970. — Т. 2. — 568 с.
• Сивухин Д. В. Общий курс физики. — Издание 3-е, исправленное и дополненное. — М.: Наука, 1989. — Т. I. Механика. — 576 с. — ISBN 5-02-014054-6.
• Титьенс О., Прандтль Л. Гидро- и аэромеханика. — М.-Л.: ГТТИ, 1933. — Т. 1. — 224 с.
• Трусделл К. Очерки по истории механики. — М. — Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2002. — 316 с. — ISBN 5-93972-192-3.
• Фабер Т. Е. Гидроаэродинамика / Пер. с англ. под ред. А. А. Павельева. — М.: Постмаркет, 2001. — 560 с. — ISBN 5-901095-04-9.
• Чёрный Г. Г. Газовая динамика. — М.: Наука, 1988. — 424 с. — ISBN 5-02-013814-2.
• §182. Закон Бернулли // Элементарный учебник физики / Под ред. Г. С. Ландсберга. — М.: Наука, 1985. — Т. 1. Механика. Теплота. Молекулярная физика.
• Darrigol O. Worlds of flow. A history of hydrodynamics from the Bernoullis to Prandtl. — Oxford: Oxford University Press, 2005. — 356 с. — ISBN 978-0-19-856843-8.
• Euler L. Continuation des recherches sur la théorie du mouvement des fluides // Mémoires de l'Académie royale des sciences et belles lettres. — Berlin, 1755 (1757). — Т. 11. — С. 316—361.
• Truesdell, Clifford Ambrose. Rational fluid mechanics, 1687–1765. Editor’s introduction to Euleri Opera omnia II 12 // Leonardi Euleri. Opera Omnia. — Lausanne: Auctoritate et Impensis, Societas Scientiarum Naturalium Helveticae, 1954. — Т. 12. — С. I—CXXV. — (II).

СсылкиПравить

• Русский перевод трактата Даниила Бернулли, в котором впервые появляется интеграл (закон) Бернулли