Уравнение Громеки — Лэмба

Уравнение Громеки — Лэмба (уравнение Лэмба) — принятое в русскоязычной литературе название специальной формы записи уравнений движения идеальной жидкости (уравнений Эйлера) с использованием ротора скорости.

Уравнение Громеки — Лэмба имеет вид (квадратные скобки используются для записи векторного произведения)

$\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}\left(\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{v}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}t}+\text{grad}\left(\frac{v^2}{2}\right)+[\text{rot}\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{v},\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{v}]\right)=-<!--\; -\; -->\text{grad}p+\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}F$$\rho \left({\frac {\partial {\vec {v}}}{\partial t}}+{\text{grad}}\left({\frac {v^{2}}{2}}\right)+[{\text{rot}}\,{\vec {v}},{\vec {v}}]\right)=-{\text{grad}}\,p+\rho F$

и получается из обычной формы записи уравнений Эйлера

$\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}\left(\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{v}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}t}+(\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{v}\cdot <!--\; \cdot \; -->\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->})\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{v}\right)=-<!--\; -\; -->\text{grad}p+\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}F$$\rho \left({\frac {\partial {\vec v}}{\partial t}}+({\vec v}\cdot \nabla ){\vec v}\right)=-{\text{grad}}\,p+\rho F$

с использованием тождества

$(\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{v}\cdot <!--\; \cdot \; -->\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->})\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{v}=\text{grad}\left(\frac{v^2}{2}\right)+[\text{rot}\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{v},\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{v}].$$({\vec {v}}\cdot \nabla ){\vec {v}}={\text{grad}}\left({\frac {v^{2}}{2}}\right)+[{\text{rot}}\,{\vec {v}},{\vec {v}}].$

Иногда термин уравнение Громеки — Лэмба применяется для уравнения движения произвольной сплошной среды, в котором сделана аналогичная замена.

Историческая справкаПравить

Приведенное выше векторное тождество было получено Эйлером в 1755 г.. Сами уравнения в форме Громеки — Лэмба в явном виде встречаются ещё у Лагранжа в 1781 г.. Позже эта форма уравнений используется в публикациях И. С. Громеки и Хораса Лэма (H. Lamb, традиционная русская передача имени — Гораций Лэмб или Ламб).

В западной литературе уравнения Громеки — Лэмба специального названия не имеют.

ИспользованиеПравить

Уравнения Громеки — Лэмба бывают в некоторых случаях более удобными, чем обычная запись уравнений Эйлера. В частности, их удобно использовать при получении интеграла Бернулли и интеграла Коши — Лагранжа.

ЗамечанияПравить

Фамилия Громека, являющаяся славянской фамилией на неударяемое -а, в соответствии с нормами русского литературного языка склоняется.