Интеграл Коши — Лагранжа

Интеграл Коши — Лагранжа — интеграл уравнений движения идеальной жидкости (уравнений Эйлера) в случае потенциальных течений.

Варианты названияПравить

В русскоязычной литературе наряду с названием интеграл Коши — Лагранжа и интеграл Лагранжа — Коши используются термины интеграл Коши, интеграл Лагранжа. В англоязычной литературе интеграл либо не имеет специального названия, либо считается специальной формой интеграла Бернулли для неустановившихся течений (англ. unsteady Bernoulli equation, Bernoulli's theorem for unsteady potential flow)

Историческая справкаПравить

В общем виде интеграл Коши — Лагранжа был установлен в 1755 году Л.Эйлером. Позже интеграл использовался Лагранжем в работе по теории течений идеальной жидкости и Коши в работе по теории гравитационных волн на поверхности жидкости.

ФормулировкаПравить

Течение несжимаемой жидкости в поле силы тяжестиПравить

В частном случае потенциального течения идеальной несжимаемой жидкости в однородном поле силы тяжести интеграл Коши — Лагранжа имеет вид

$\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}t}+\frac{{\text{grad}}^2\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}{2}+\frac{p}{\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}+gz=f(t),$${\frac {\partial \varphi }{\partial t}}+{\frac {{\text{grad}}^{2}\,\varphi }{2}}+{\frac {p}{\rho }}+gz=f(t),$ 

где $\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}(x,y,z,t)$$\varphi (x,y,z,t)$  — потенциал скорости, $p(x,y,z,t)$$p(x,y,z,t)$  — давление в жидкости, $\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}$$\rho$  — её плотность, $g$$g$  — ускорение свободного падения, $x$$x$ , $y$$y$ , $z$$z$  — декартовы координаты (ось $z$$z$  направлена вертикально вверх, против силы тяжести). Здесь $f(t)$$f(t)$  — некоторая функция времени, которую можно считать тождественно равной нулю, если сделать замену потенциала скорости $\stackrel{~<!--\; ~\; -->}{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}(x,y,z,t)=\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}(x,y,z,t)-<!--\; -\; -->\int <!--\; \int \; -->f(t)dt$${\tilde {\varphi }}(x,y,z,t)=\varphi (x,y,z,t)-\int f(t)\,dt$  (при такой замене поле скоростей, определяемое пространственными производными от потенциала, не меняется).

Общий случайПравить

В общем случае потенциального течения идеальной жидкости интеграл Коши — Лагранжа справедлив, если имеется однозначная связь между плотностью и давлением, $\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}=\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}(p)$$\rho =\rho (p)$  (такой процесс называется баротропным). В этом случае поле массовых сил (действующая на жидкость объемная сила в расчете на единицу массы) обязательно будет потенциальным: $\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{F}=\text{grad}U,$${\vec {F}}={\text{grad}}\,U,$  где $U(x,y,z,t)$$U(x,y,z,t)$  — потенциал массовой силы (не путать с потенциалом скорости $\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}$$\varphi$ ), и интеграл Коши — Лагранжа записывается в форме

$\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}t}+\frac{(\text{grad}\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}{)}^2}{2}+\int <!--\; \int \; -->\frac{dp}{\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}(p)}-<!--\; -\; -->U=f(t).$${\frac {\partial \varphi }{\partial t}}+{\frac {({\text{grad}}\,\varphi )^{2}}{2}}+\int {\frac {dp}{\rho (p)}}-U=f(t).$ 

См. такжеПравить

• Интеграл Бернулли
• Bernoulli equation for unsteady potential flow

ЛитератураПравить

• Лойцянский Л. Г. Механика жидкости и газа. — М.: Дрофа, 2003. — 842 с. — ISBN 5-7107-6327-6.