Ударная адиабата

Уда́рная адиабата, или адиаба́та Гюгонио́, адиабата Рáнкина — Гюгонио́ — математическое соотношение, связывающее термодинамические величины до ударной волны и после. Таким образом, ударная адиабата не описывает сам процесс в ударной волне.

Названо в честь шотландского физика Уильяма Джона Ранкина и французского Пьера-Анри Гюгонио, которые независимо получили это соотношение (опубликовано соответственно в 1870 и 1887—1889 годах).

Ударная адиабата представляет геометрическое место точек конечных состояний вещества за фронтом ударной волны при заданных начальных условиях и описывает эти термодинамические состояния независимо от агрегатного состояния вещества, то есть справедлива для газов, жидкостей и твёрдых тел.

Вывод уравнения ударной адиабатыПравить

Рассмотрим законы сохранения на стационарной ударной волне в такой системе отсчёта, в которой ударный фронт покоится:

${\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}_1{u}_1={\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}_2{u}_2=j,$$\rho _{1}u_{1}=\rho _{2}u_{2}=j,$ 

$p_1+{\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}_1{u}_1^2=p_2+{\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}_2{u}_2^2,$$p_{1}+\rho _{1}u_{1}^{2}=p_{2}+\rho _{2}u_{2}^{2},$ 

$h_1+\frac{1}{2}{u}_1^2=h_2+\frac{1}{2}{u}_2^2.$$h_{1}+{\frac {1}{2}}u_{1}^{2}=h_{2}+{\frac {1}{2}}u_{2}^{2}.$ 

Здесь $\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}$$\rho$  — плотность газа, $u$$u$  — скорость газа относительно ударной волны, $h$$h$  — удельная энтальпия газа, $j$$j$  — поток массы через разрыв, индексами «1» и «2» обозначены состояния до и после ударной волны.

Выразим скорость в последнем равенстве через поток массы $u=j/\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}$$u=j/\rho$ , получим уравнение:

$h_2-<!--\; -\; -->h_1+\frac{j^2}{2}\left(\frac{1}{{\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}_2^2}-<!--\; -\; -->\frac{1}{{\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}_1^2}\right)=0.$$h_{2}-h_{1}+{\frac {j^{2}}{2}}\left({\frac {1}{\rho _{2}^{2}}}-{\frac {1}{\rho _{1}^{2}}}\right)=0.$ 

Исключая из него j с помощью равенства, известного под названием прямая или луч Рэлея — Михельсона (название связано с тем, что это уравнение задаёт прямую линию на плоскости $(p,V)$$(p,V)$ , где $V=1/\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}$$V=1/\rho$  — удельный объём):

$j^2=-<!--\; -\; -->\frac{p_2-<!--\; -\; -->p_1}{V_2-<!--\; -\; -->V_1},$$j^{2}=-{\frac {p_{2}-p_{1}}{V_{2}-V_{1}}},$ 

приходим к соотношению Ранкина — Гюгонио:

$h_2-<!--\; -\; -->h_1-<!--\; -\; -->\frac{\left(p_2-<!--\; -\; -->p_1\right)}{2}\left(V_1+V_2\right)=0.$$h_{2}-h_{1}-{\frac {\left(p_{2}-p_{1}\right)}{2}}\left(V_{1}+V_{2}\right)=0.$

Если выразить энтальпию через внутреннюю энергию $\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}$$\varepsilon$  как $h=\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}+pV$$h=\varepsilon +pV$ , то уравнение Ранкина — Гюгонио переходит в следующее выражение:

${\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}_2-<!--\; -\; -->{\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}_1-<!--\; -\; -->\frac{\left(p_2+p_1\right)}{2}\left(V_1-<!--\; -\; -->V_2\right)=0.$$\varepsilon _{2}-\varepsilon _{1}-{\frac {\left(p_{2}+p_{1}\right)}{2}}\left(V_{1}-V_{2}\right)=0.$ 

Особенности ударной адиабатыПравить

Переход вещества через ударную волну является термодинамически необратимым процессом, поэтому при прохождении через вещество ударной волны удельная энтропия увеличивается. Так, для слабых ударных волн в совершенном газе рост энтропии пропорционален кубу относительного роста давления $(p_2-<!--\; -\; -->p_1)/p_1.$$(p_{2}-p_{1})/p_{1}.$ 

Увеличение энтропии означает наличие диссипации (внутри ударной волны, являющейся узкой переходной зоной, существенны, в частности, вязкость и теплопроводность). Это, в частности, приводит к тому, что тело, движущееся в идеальной жидкости с возникновением ударных волн, испытывает силу сопротивления, то есть для такого движения парадокс Д'Аламбера не имеет места.

Часто ударной адиабатой Гюгонио называют кривую в плоскости $(p,V)$$(p,V)$  или $(p,\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->})$$(p,\rho )$ , определяющую зависимость $p_2$$p_{2}$  от ${\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}_2$$\rho _{2}$  при заданных начальных значениях $p_1$$p_{1}$  и ${\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}_1$$\rho _{1}$ . При заданных $p_1$$p_{1}$  и ${\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}_1$$\rho _{1}$  ударная волна, перпендикулярная потоку, определяется всего одним параметром (наклонная ударная волна характеризуется дополнительно значением касательной к её поверхности составляющей скорости): например, если задать $p_2$$p_{2}$ , то по адиабате Гюгонио можно найти ${\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}_2$$\rho _{2}$ , а отсюда с использованием вышеприведённых формул — плотность потока $j$$j$  и скорости $u_1$$u_{1}$  и $u_2$$u_{2}$ , а из уравнения состояния — температуру и т. д.

Ударную адиабату не следует путать с адиабатой Пуассона, описывающей процесс с постоянной энтропией $s$$s$ , то есть такие процессы термодинамически обратимы.

В отличие от адиабаты Пуассона, для которой $s(\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->},p)=\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t}$$s(\rho ,p)=\mathrm {const}$ , уравнение ударной адиабаты нельзя написать в виде $f(\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->},p)=\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t}$$f(\rho ,p)=\mathrm {const}$ , где $f$$f$  — однозначная функция двух аргументов: адиабаты Гюгонио для заданного вещества составляют двухпараметрическое семейство кривых (каждая кривая определяется заданием как $p_1$$p_{1}$ , так и ${\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}_1$$\rho _{1}$ ), тогда как адиабаты Пуассона — однопараметрическое.

ПримерыПравить

Пусть удельная внутренняя энергия имеет выражение как для идеального газа: $\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}=\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}pV$$\varepsilon =\lambda \,p\,V$ , $3/2⩽<!--\; ⩽\; -->\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}⩽<!--\; ⩽\; -->3$$3/2\leqslant \lambda \leqslant 3$  . Величина $\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}$$\lambda$  равна $3/2$$3/2$  для одноатомного идеального газа, $5/2$$5/2$  — для двухатомного, $3$$3$  — для многоатомного. Для смесей возможны также и все промужуточные значения.

Тогда из общего случая легко получить уравнение ударной адиабаты в виде $\left(\frac{p_2}{p_1}+\frac{1}{2\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}+1}\right)\left(\frac{V_2}{V_1}-<!--\; -\; -->\frac{1}{2\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}+1}\right)=1-<!--\; -\; -->\frac{1}{(2\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}+1{)}^2}.$$\left({\frac {p_{2}}{p_{1}}}+{\frac {1}{2\lambda +1}}\right)\left({\frac {V_{2}}{V_{1}}}-{\frac {1}{2\lambda +1}}\right)=1-{\frac {1}{(2\lambda +1)^{2}}}~.$ 

Правая часть всегда положительна, и левая должна быть положительна, откуда $V_2>\frac{V_1}{2\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}+1}$$V_{2}>{\frac {V_{1}}{2\lambda +1}}$ , то есть такой газ может сжиматься ударной волной только менее чем в $2\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}+1$$2\lambda +1$  раз. Второе начало термодинамики ведёт к тому, что $p_2⩾<!--\; ⩾\; -->p_1$$p_{2}\geqslant p_{1}$ , $V_2⩽<!--\; ⩽\; -->V_1$$V_{2}\leqslant V_{1}$  (для всех ударных адиабат), то есть объём после ударной волны может только уменьшаться, давление — только увеличиваться. (Если $V_2=V_1$$V_{2}=V_{1}$ , то из уравнения следует $p_2=p_1$$p_{2}=p_{1}$ , и наоборот. Это соответствует звуковой волне, а не ударной.)

Для сравнения, уравнение изотермы в аналогичной записи: $\frac{p_2}{p_1}\frac{V_2}{V_1}=1$${\frac {p_{2}}{p_{1}}}{\frac {V_{2}}{V_{1}}}=1$  (закон Бойля — Мариотта).

Примеры для некоторых значений $\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}$$\lambda$ .

При $\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}=3/2:\left(\frac{p_2}{p_1}+\frac{1}{4}\right)\left(\frac{V_2}{V_1}-<!--\; -\; -->\frac{1}{4}\right)=\frac{15}{16}$$\lambda =3/2:\qquad \left({\frac {p_{2}}{p_{1}}}+{\frac {1}{4}}\right)\left({\frac {V_{2}}{V_{1}}}-{\frac {1}{4}}\right)={\frac {15}{16}}$ 

При $\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}=2:\left(\frac{p_2}{p_1}+\frac{1}{5}\right)\left(\frac{V_2}{V_1}-<!--\; -\; -->\frac{1}{5}\right)=\frac{24}{25}$$\lambda =2:\qquad \left({\frac {p_{2}}{p_{1}}}+{\frac {1}{5}}\right)\left({\frac {V_{2}}{V_{1}}}-{\frac {1}{5}}\right)={\frac {24}{25}}$ 

При $\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}=5/2:\left(\frac{p_2}{p_1}+\frac{1}{6}\right)\left(\frac{V_2}{V_1}-<!--\; -\; -->\frac{1}{6}\right)=\frac{35}{36}$$\lambda =5/2:\qquad \left({\frac {p_{2}}{p_{1}}}+{\frac {1}{6}}\right)\left({\frac {V_{2}}{V_{1}}}-{\frac {1}{6}}\right)={\frac {35}{36}}$ 

При $\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}=3:\left(\frac{p_2}{p_1}+\frac{1}{7}\right)\left(\frac{V_2}{V_1}-<!--\; -\; -->\frac{1}{7}\right)=\frac{48}{49}$$\lambda =3:\qquad \left({\frac {p_{2}}{p_{1}}}+{\frac {1}{7}}\right)\left({\frac {V_{2}}{V_{1}}}-{\frac {1}{7}}\right)={\frac {48}{49}}$ 

Правая часть положительна, и левая должна быть положительна. Отсюда следует, что одноатомный идеальный газ сжимается ударной волной менее чем в 4 раза, двухатомный — менее чем в 6 раз, многоатомный — менее чем в 7. При этом в данной модели нет ограничений на повышение давления.

ЛитератураПравить

• Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Гидродинамика. — Издание 4-е, стереотипное. — М.: Наука, 1988. — 736 с. — («Теоретическая физика», том VI). — С. 456—459 (§ 85).
• Крайко А. Н. Краткий курс теоретической газовой динамики. — М.: МФТИ, 2007. — С. 300. — ISBN 978-5-7417-0229-1.
• Ловля С. А. и др. Закон сохранения энергии // Взрывное дело. — Изд. 2-е. — Москва: Недра, 1976. — С. 37.