Семейство (математика)

Эта статья об индексированных семействах, о понятиях в теории множеств см. статьи: Множество, Класс (математика)

Семейство или индексированное семейство — некоторая совокупность объектов, каждый из которых ассоциирован с индексом из некоторого индексного множества. Более формально, индексированное семейство представляет собой некоторую математическую функцию $x$$x$ вместе с её областью определения $I$$I$ и областью значений $X$$X$. Множество $I$$I$ в таких обозначениях называется индексным (или просто индексом), а $X$$X$ — индексированным множествами семейства.

ОпределениеПравить

Пусть $I$$I$  и $X$$X$  — некоторые множества, а $x$$x$  — сюръективная функция

${\begin{aligned}x\colon I&\to X\\i&\mapsto x_{i}=x(i).\end{aligned}}$ 

Такое описание задаёт семейство элементов $X$$X$  индексированное множеством $I$$I$ , что также обозначается как $\{x_i{\}}_{i\in <!--\; \in \; -->I}$$\{x_{i}\}_{i\in I}$  или просто $\{x_i\}$$\{x_i\}$ . Индексное множество при этом не обязано быть счётным.

ПримерыПравить

Индексная нотацияПравить

При использовании индексной нотации индексированные элементы образуют семейство. Например, в следующем высказывании:

• Векторы $v_1,\dots <!--\; \dots \; -->,v_n$$v_{1},\dots ,v_{n}$  линейно независимы.

Неявно вводится семейство векторов $\{v_i{\}}_{i\in <!--\; \in \; -->\{1,\dots <!--\; \dots \; -->,n\}}$${\textstyle \{v_{i}\}_{i\in \{1,\dots ,n\}}}$ . При этом важно, что речь идёт именно о семействе, а не о множестве, так как множества не упорядочены и говорить об $i$$i$ -м элементе множества было бы бессмысленно без заданной индексации. Кроме того, линейная независимость это свойство всей совокупности объектов, поэтому важно, что речь идёт именно о семействе, а не множестве векторов.

МатрицыПравить

В следующем высказывании:

• Матрица $A$$A$  невырождена если и только если её строки линейно независимы.

Как и в предыдущем высказывании, строки матрицы рассматриваются именно как семейство, а не как множества. Например, для следующей матрицы:

$A={\begin{bmatrix}1&1\\1&1\end{bmatrix}}.$ 

Множество её строк состоит из единственного элемента $(1,1)$$(1,1)$  и является линейно независимым, но матрица вырождена. В то же время семейство строк содержит два элемента и является линейно зависимым.

Прочие примерыПравить

Пусть через $\mathbf{n}$${\bf {n}}$  обозначается конечное множество $\{1,2,\dots <!--\; \dots \; -->,n\}$$\{1,2,\dots ,n\}$ , где $n$$n$  — положительное целое число.

• Пара — это семейство, индексированное двухэлементным множеством $\mathbf{2}=\{1,2\}$${\bf {2}}=\{1,2\}$ .
• Кортеж — это семейство, индексированное множеством $\mathbf{n}$${\bf {n}}$ .
• Последовательность — это семейство, индексированное натуральными числами.
• Матрица — это семейство, индексированно декартовым произведением $\mathbf{n}\times <!--\; \times \; -->\mathbf{m}$${\bf {n}}\times {\bf {m}}$ .
• Направленность — это семейство, индексированное направленным множеством.

Операции над семействамиПравить

Индексированные множества часто используются в суммах и подобных операциях. Например, если $\{a_i{\}}_{i\in <!--\; \in \; -->I}$$\{a_{i}\}_{i\in I}$  — это семейство чисел, то сумма всех таких чисел обозначается как

$\underset{i\in <!--\; \in \; -->I}{\sum <!--\; \sum \; -->}{a}_i.$$\sum _{i\in I}a_{i}.$ 

Если $\{A_i{\}}_{i\in <!--\; \in \; -->I}$$\{A_{i}\}_{i\in I}$  — семейство множеств, то объединение всех элементов семейства обозначается как

$\underset{i\in <!--\; \in \; -->I}{\bigcup <!--\; \bigcup \; -->}{A}_i.$$\bigcup _{i\in I}A_{i}.$ 

Аналогичным образом могут быть записаны пересечения и декартовы произведения всех элементов семейства.

В теории категорийПравить

Основная статья: Диаграмма (теория категорий)

Аналогом семейства в теории категорий являются диаграммы. Диаграмма — это функтор, определяющий семейство объектов категории $C$$C$ , индексированное некоторой другой категорией $J$$J$ , который также индексирует морфизмы категории.

См. такжеПравить

• Последовательность
• Дизъюнктное объединение
• Направленность

ЛитератураПравить

• Mathematical Society of Japan, Encyclopedic Dictionary of Mathematics, 2nd edition, 2 vols., Kiyosi Itô (ed.), MIT Press, Cambridge, MA, 1993. Cited as EDM (volume).