Пара (математика)

Пара в математике может быть определена с различных точек зрения.

Определение пары в формальной математикеПравить

Пусть $\mathbf{T}$${\mathbf T}$  и $\mathbf{U}$${\mathbf U}$  — термы и $\mathrm{\complement <!--\; \complement \; -->}$$\complement$  — субстантивный знак веса 2, тогда знакосочетание $\mathrm{\complement <!--\; \complement \; -->}TU$$\complement TU$  также является термом и обозначается $(\mathbf{T}\mathbf{U})$$({\mathbf {TU}})$ . Подробнее: соотношение $(\mathrm{\exists <!--\; \exists \; -->}x)(\mathrm{\exists <!--\; \exists \; -->}y)(z=(x,y))$$(\exists x)(\exists y)(z=(x,\;y))$  обозначают словами «$z$$z$  есть пара».

Имеет место так называемая аксиома пары.

Аксиома парыПравить

$\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}x\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}y\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}{x}^{\prime }\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}{y}^{\prime }((x,y)=(x^{\prime },y^{\prime })\to <!--\; \to \; -->x=x^{\prime }\wedge <!--\; \wedge \; -->y=y^{\prime }).$$\forall x\forall y\forall x'\forall y'((x,\;y)=(x',\;y')\to x=x'\land y=y').$ 

Определение пары в теории множествПравить

См. также: Теория множеств

Число элементов множества $A$$A$  равно 1, или $A$$A$  состоит из одного элемента $a$$a$ , тогда и только тогда, когда при вычитании из него множества $\{a\}$$\{a\}$  получается пустое множество: $A\setminus <!--\; \setminus \; -->\{a\}=\mathrm{\varnothing <!--\; \varnothing \; -->}$$A\setminus \{a\}=\varnothing$ .

Непустое множество $A$$A$  называется множеством из двух элементов, или парой: $A=\{a,b\}$$A=\{a,\;b\}$ , если после вычитания из него множества, состоящего только из одного элемента $a\in <!--\; \in \; -->A$$a\in A$ , останется множество, которое состоит также из одного элемента $b\in <!--\; \in \; -->A$$b\in A$ . При таком определении пары (как и вообще множества, состоящего из любого числа элементов) не зависит от выбора и порядка следования указанного элемента $a\in <!--\; \in \; -->A$$a\in A$ .

Упорядоченная параПравить

Основная статья: Кортеж (математика)

Если задана пара $\{a,b\}$$\{a,\;b\}$ , то множество $\{\{a\},\{a,b\}\}$$\{\{a\},\{a,\;b\}\}$  называется упорядоченной парой и обозначается $(a,b)$$(a,\;b)$ . При этом элемент $a$$a$  называется первым элементом, а элемент $b$$b$  — вторым элементом пары.

В формальной математике первый элемент упорядоченной пары $A=(a,b)$$A=(a,\;b)$  называется также первой координатой или первой проекцией и обозначается ${\mathrm{p}\mathrm{r}}_{1}A$${\mathrm {pr}}_{1}A$ . Аналогично второй элемент пары $A$$A$  называется второй координатой или второй проекцией и обозначается ${\mathrm{p}\mathrm{r}}_{2}A$${\mathrm {pr}}_{2}A$ .