Образ меры под действием отображения

Образ меры — естественная конструкция дающая меру на области значений отображения по мере на области определения. Если представлять себе меру как распределение массы, а отображение как перенос точкек из одного пространства в другое, то масса множества это суммарная масса попадающих в него точек.

Образ меры $\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}$$\mu$ отображения $f$$f$ обычно обозначается $f_{\ast <!--\; \ast \; -->}\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}$$f_{*}\mu$, но иногда используется обозначение $f_{\mathrm{\#<!--\; \#\; -->}}\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}$$f_{\#}\mu$.

ОпределениеПравить

Пусть задано измеримое отображение $f:(X,{\mathrm{\Sigma <!--\; \Sigma \; -->}}_1)\to <!--\; \to \; -->(Y,{\mathrm{\Sigma <!--\; \Sigma \; -->}}_2)$$f:(X,\Sigma _{1})\to (Y,\Sigma _{2})$  измеримых пространств и мера $\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}$$\mu$  на $(X,{\mathrm{\Sigma <!--\; \Sigma \; -->}}_1)$$(X,\Sigma _{1})$ , её образом под действием $f$$f$  называется мера $f_{\ast <!--\; \ast \; -->}\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}$$f_{*}\mu$  на $(Y,{\mathrm{\Sigma <!--\; \Sigma \; -->}}_2)$$(Y,\Sigma _{2})$ , определённая как

$(f_{\ast <!--\; \ast \; -->}\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->})(A)=\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}(f^{-<!--\; -\; -->1}(A))\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}A\subset <!--\; \subset \; -->Y,A\in <!--\; \in \; -->{\mathrm{\Sigma <!--\; \Sigma \; -->}}_2.$$(f_{*}\mu )(A)=\mu (f^{-1}(A))\quad \forall A\subset Y,\,A\in \Sigma _{2}.$ 

СвойстваПравить

Для функции $f:<!--\; :\; -->X\to <!--\; \to \; -->Y$$f\colon X\to Y$  между метрическими пространствами, снабжённых борелевскими $\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}$$\sigma$ -алгебрами, меру можно рассматриваеть как функционал на непрерывных ограниченных функциях. В этом случае определение образа меры может быть переписано как

$\underset{Y}{\int <!--\; \int \; -->}\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}d(f_{\ast <!--\; \ast \; -->}\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->})=\underset{X}{\int <!--\; \int \; -->}\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}\circ <!--\; \circ \; -->fd\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}.$$\int \limits _{Y}\varphi \,d(f_{*}\mu )=\int \limits _{X}\varphi \circ f\,d\mu .$ 

для любой непрерывной функции $\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}$$\varphi$  с компактым носителем.

См. такжеПравить

• Инвариантная мера