Формула полной вероятности

Формула полной вероятности позволяет вычислить вероятность интересующего события через условные вероятности этого события в предположении неких гипотез, а также вероятностей этих гипотез.

ФормулировкаПравить

Пусть дано вероятностное пространство $(\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->},\mathcal{F},\mathbb{P})$$(\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )$ , и полная группа попарно несовместных событий $\{B_i{\}}_{i=1}^n\subset <!--\; \subset \; -->\mathcal{F}$$\{B_i\}_{i=1}^{n} \subset \mathcal{F}$ , таких что

1. $\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}i\mathbb{P}(B_i)>0;$$\forall i \; \mathbb{P} \; (B_i) > 0 ;$ 
2. $\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}j\ne <!--\; \ne \; -->i{B}_i\cap <!--\; \cap \; -->B_j=\mathrm{\varnothing <!--\; \varnothing \; -->};$$\forall{j \ne i} \; B_i \cap B_j = \varnothing ;$ 
3. $\underset{i=1}{\overset{n}{\bigcup <!--\; \bigcup \; -->}}{B}_i=\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}.$$\bigcup _{i=1}^{n}B_{i}=\Omega .$ 

Пусть $A\in <!--\; \in \; -->\mathcal{F}$$A\in {\mathcal {F}}$  — интересующее нас событие. Тогда получим:

$\mathbb{P}(A)=\underset{i=1}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\mathbb{P}(A\mid <!--\; \mid \; -->B_i)\mathbb{P}(B_i)$$\mathbb{P}(A) = \sum\limits_{i=1}^{n} \mathbb{P}( A \mid B_i) \mathbb{P}(B_i)$ .

ЗамечаниеПравить

Формула полной вероятности также имеет следующую интерпретацию. Пусть $N$$N$  — случайная величина, имеющая распределение

$\mathbb{P}(N=n)=\mathbb{P}(B_n)$$\mathbb{P}(N=n) = \mathbb{P}(B_n)$ .

Тогда

$\mathbb{P}(A)=\mathbb{E}\left[\mathbb{P}(A\mid <!--\; \mid \; -->N)\right]$$\mathbb{P}(A) = \mathbb{E}\left[\mathbb{P}(A\mid N)\right]$ ,

т.е. априорная вероятность события равна среднему его апостериорной вероятности.

См. такжеПравить

• Условная вероятность
• Условное математическое ожидание
• Теорема Байеса