Уравнение Гельмгольца

Уравне́ние Гельмго́льца — это эллиптическое дифференциальное уравнение в частных производных:

$(\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}+k^2)U=f,$$(\Delta +k^{2})U=f,$

где $\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}={\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}}^2$$\Delta =\nabla ^{2}$ — это оператор Лапласа, а неизвестная функция $U$$U$ определена в ${\mathbb{R}}^n$$\mathbb {R} ^{n}$ (на практике уравнение Гельмгольца применяется для $n=1,2,3$$n=1,2,3$).

Вывод уравненияПравить

Как легко заметить, в уравнение Гельмгольца не входят операторы дифференцирования по времени, следовательно, сведение исходной задачи в частных производных к уравнению Гельмгольца может упростить её решение. Рассмотрим волновое уравнение:

$\mathrm{△<!--\; △\; -->}u(\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{x},t)-<!--\; -\; -->\frac{1}{c^2}\frac{{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}^{2}u(\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{x},t)}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{t}^2}=f(\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{x},t).$$\triangle u({\bar {x}},t)-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}u({\bar {x}},t)}{\partial t^{2}}}=f({\bar {x}},t).$ 

Пусть функции $u$$u$  и $f$$f$  допускают разделение переменных: $u(\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{x},t)=U(\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{x})T(t),f(\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{x},t)=F(\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{x})T(t)$$u({\bar {x}},t)=U({\bar {x}})T(t),\ f({\bar {x}},t)=F({\bar {x}})T(t)$ , и пусть $T(t)=e^{i\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}t}$$T(t)=e^{{i\omega t}}$ . Заметим, что в пространстве Фурье-преобразований дифференцирование по времени соответствует умножению на множитель iω. Таким образом, наше уравнение приводится к виду:

$\mathrm{△<!--\; △\; -->}U(\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{x})+\frac{{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}^2}{c^2}U(\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{x})=F(\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{x}),$$\triangle U({\bar {x}})+{\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}U({\bar {x}})=F({\bar {x}}),$ 

где $\frac{{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}^2}{c^2}=k^2$${\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}=k^{2}$  — это квадрат модуля волнового вектора.

Решение уравнения ГельмгольцаПравить

Случай однородного уравненияПравить

Решение уравнения Гельмгольца зависит от вида граничных условий. В двумерном случае уравнение Гельмгольца применяется для решения задачи о колеблющейся мембране, тогда естественным образом задаются однородные граничные условия, что физически соответствует закреплению мембраны на границе. В таком случае решение будет зависеть от формы мембраны. Так, для круглой мембраны радиуса $a$$a$  в полярных координатах ($r,\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}$$r,\,\varphi$ ) уравнение принимает вид:

$U_{rr}+\frac{1}{r}{U}_r+\frac{1}{r^2}{U}_{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}+k^{2}U=0,U(a,\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->})=0.$$U_{{rr}}+{\frac {1}{r}}U_{r}+{\frac {1}{r^{2}}}U_{{\varphi \varphi }}+k^{2}U=0,\qquad U(a,\varphi )=0.$ 

Методом разделения переменных приходим к задаче на собственные значения для части решения, зависящей только от $\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}$$\varphi$ :

$U(r,\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->})=R(r)\mathrm{\Phi <!--\; \Phi \; -->}(\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}),$$U(r,\varphi )=R(r)\Phi (\varphi ),$ 

$\frac{{\mathrm{\Phi <!--\; \Phi \; -->}}^{″}}{\mathrm{\Phi <!--\; \Phi \; -->}}=-<!--\; -\; -->{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}^2,$${\frac {\Phi ''}{\Phi }}=-\lambda ^{2},$ 

а функция, зависящая только от радиуса, будет удовлетворять уравнению:

$r^2{R}^{″}+r{R}^{\prime }+R(r^2{k}^2-<!--\; -\; -->{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}^2)=0.$$\displaystyle r^{2}R''+rR'+R(r^{2}k^{2}-\lambda ^{2})=0.$ 

Фундаментальными решениями этих уравнений являются, соответственно, функции $\sin <!--\; \; -->(\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}),\cos <!--\; \; -->(\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->})$$\scriptstyle \sin(\lambda \varphi ),\ \cos(\lambda \varphi )$  и $J_{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}\left(\frac{{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}_i^{(\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->})}}{a}r\right),$$\scriptstyle J_{\lambda }\left({\frac {\mu _{i}^{{(\lambda )}}}{a}}r\right),$  где ${\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}_i^{(\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->})}$$\mu _{i}^{{(\lambda )}}$  — $i$$i$ -й корень функции Бесселя $\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}$$\lambda$ -го порядка.

Случай неоднородного уравненияПравить

Рассмотрим уравнение Гельмгольца в пространстве обобщённых функций:

$\mathrm{△<!--\; △\; -->}U+k^{2}U=\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}(x).$$\triangle U+k^{2}U=\delta (x).$ 

Покажем, что в трёхмерном случае $(x=(x_1,x_2,x_3))$$(x=(x_{1},x_{2},x_{3}))$  фундаментальными решениями этого уравнения являются функции:

$U_1^{(3)}(x)=-<!--\; -\; -->\frac{e^{ik|x|}}{4\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}|x|},U_2^{(3)}=-<!--\; -\; -->\frac{e^{-<!--\; -\; -->ik|x|}}{4\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}|x|}.$$U_{1}^{{(3)}}(x)=-{\frac {e^{{ik|x|}}}{4\pi |x|}},\qquad U_{2}^{{(3)}}=-{\frac {e^{{-ik|x|}}}{4\pi |x|}}.$ 

В самом деле, воспользуемся равенствами:

$\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{x}_j}\frac{1}{|x|}=-<!--\; -\; -->\frac{x_j}{|x{|}^3}$${\frac {\partial }{\partial x_{j}}}{\frac {1}{|x|}}=-{\frac {x_{j}}{|x|^{3}}}$ 

$\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{x}_j}{e}^{ik|x|}=\frac{ik{x}_j}{|x|}{e}^{ik|x|}$${\frac {\partial }{\partial x_{j}}}e^{{ik|x|}}={\frac {ikx_{j}}{|x|}}e^{{ik|x|}}$ 

$\mathrm{△<!--\; △\; -->}{e}^{ik|x|}=\left(\frac{2ik}{|x|}-<!--\; -\; -->k^2\right)e^{ik|x|}$$\triangle e^{{ik|x|}}=\left({\frac {2ik}{|x|}}-k^{2}\right)e^{{ik|x|}}$ 

и формулой, доказываемой в курсе математической физики:

$\mathrm{△<!--\; △\; -->}\frac{1}{|x|}=-<!--\; -\; -->\frac{2{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}^{3/2}}{\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}(3/2)}\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}(x).$$\triangle {\frac {1}{|x|}}=-{\frac {2\pi ^{{3/2}}}{\Gamma (3/2)}}\delta (x).$ 

Получаем:

$(\mathrm{△<!--\; △\; -->}+k^2)\frac{1}{|x|}{e}^{ik|x|}=e^{ik|x|}\mathrm{△<!--\; △\; -->}\frac{1}{|x|}+2\left(\mathrm{grad}{e}^{ik|x|},\mathrm{grad}<!--\; \; -->\frac{1}{|x|}\right)+\frac{1}{|x|}\mathrm{△<!--\; △\; -->}{e}^{ik|x|}+\frac{k^2}{|x|}{e}^{ik|x|}=$$(\triangle +k^{2}){\frac {1}{|x|}}e^{{ik|x|}}=e^{{ik|x|}}\triangle {\frac {1}{|x|}}+2\left(\operatorname {grad}\,\,e^{{ik|x|}},\operatorname {grad}{\frac {1}{|x|}}\right)+{\frac {1}{|x|}}\triangle e^{{ik|x|}}+{\frac {k^{2}}{|x|}}e^{{ik|x|}}=$ 

$=-<!--\; -\; -->4\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}{e}^{ik|x|}\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}(x)+\left(-<!--\; -\; -->\frac{2ik}{|x{|}^2}+\frac{2ik}{|x{|}^2}-<!--\; -\; -->\frac{k^2}{|x|}+\frac{k^2}{|x|}\right)e^{ik|x|}=-<!--\; -\; -->4\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}(x).$$=-4\pi e^{{ik|x|}}\delta (x)+\left(-{\frac {2ik}{|x|^{2}}}+{\frac {2ik}{|x|^{2}}}-{\frac {k^{2}}{|x|}}+{\frac {k^{2}}{|x|}}\right)e^{{ik|x|}}=-4\pi \delta (x).$ 

Прямыми вычислениями также проверяется, что в двумерном случае фундаментальным решением будут функции Ханкеля первого и второго рода:

$U_1^{(2)}=-<!--\; -\; -->\frac{i}{4}{H}_0^{(1)}(k|x|),U_2^{(2)}=\frac{i}{4}{H}_0^{(2)}(k|x|),$$U_{1}^{{(2)}}=-{\frac {i}{4}}H_{0}^{{(1)}}(k|x|),\qquad U_{2}^{{(2)}}={\frac {i}{4}}H_{0}^{{(2)}}(k|x|),$ 

а в одномерном:

$U_1^{(1)}(x)=\frac{e^{ik|x|}}{2ik},U_2^{(1)}=-<!--\; -\; -->\frac{e^{-<!--\; -\; -->ik|x|}}{2ik}.$$U_{1}^{{(1)}}(x)={\frac {e^{{ik|x|}}}{2ik}},\qquad U_{2}^{{(1)}}=-{\frac {e^{{-ik|x|}}}{2ik}}.$ 

ЛитератураПравить

• Владимиров В. С., Жаринов В. В. Уравнения математической физики. — М.: Физматлит, 2004. — ISBN 5-9221-0310-5.