Надстройка (топология)

В топологии, надстройкой над топологическим пространством X называется топологическое пространство SX, являющееся фактором произведения $X\times <!--\; \times \; -->[0,1]$$X\times [0,1]$ по отношению эквивалентности $(x,0)\sim <!--\; \sim \; -->(x^{\prime },0),(x,1)\sim <!--\; \sim \; -->(x^{\prime },1)$$(x,0)\sim (x',0),\quad (x,1)\sim (x',1)$:

$SX=(X\times <!--\; \times \; -->[0,1])/\{\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}{x}_1,x_2\in <!--\; \in \; -->X(x_1,0)\sim <!--\; \sim \; -->(x_2,0),(x_1,1)\sim <!--\; \sim \; -->(x_2,1)\}$$SX=(X\times [0,1])/\{\forall x_{1},x_{2}\in X\quad (x_{1},0)\sim (x_{2},0),\quad (x_{1},1)\sim (x_{2},1)\}$

Надстройка над окружностью. Исходное пространство отмечено синим, верхняя и нижняя точки зелёным.

Грубо говоря, надстройку можно себе представлять как цилиндр над пространством X, у которого отождествили в точку как верхнюю, так и нижнюю границу. Также можно рассматривать надстройку как объединение двух конусов (верхнего и нижнего) над пространством X, склееных по общему основанию.

СвойстваПравить

• Надстройка над пространством X гомеоморфна джойну $X\star <!--\; \star \; -->S^0$$X\star S^{0}$  пространства X и двухточечного множества («нульмерной сферы») $S^0$$S^{0}$ .
• Любое непрерывное отображение $f:X\to <!--\; \to \; -->Y$$f:X\to Y$  продолжается до отображения $Sf:SX\to <!--\; \to \; -->SY$$Sf:SX\to SY$  по правилу $Sf(x,t)=(f(x),t)$$Sf(x,t)=(f(x),t)$ .
• Гомологии надстройки оказываются тесно связаны с гомологиями исходного пространства, грубо говоря, отличаясь (исключая нульмерные) сдвигом на одну размерность. Более точно, приведённые гомологии в точности сдвигаются на одну размерность: ${\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{H}}_k(SX)={\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{H}}_{k-<!--\; -\; -->1}(X)$$\overline {H}_{k}(SX)=\overline {H}_{{k-1}}(X)$  для всех k.

См. такжеПравить

• Теорема о двойной надстройке
• Конус (топология)

СсылкиПравить

• Записки лекций по теории гомологий, М.Э.Казарян