Девятигранник

Девятигранник (иногда используется название эннеаэдр) — это многогранник с девятью гранями. Существует 2606 видов выпуклых девятигранников, каждый из которых имеет свою уникальную конфигурацию вершин, рёбер и граней^[1]. Ни один из этих многогранников не является правильным.

Трёхмерный ассоциэдр^[en] как пример девятигранника

ПримерыПравить

Наиболее известными девятигранниками являются восьмиугольная пирамида и семиугольная призма^[en]. Семиугольная призма является однородным многогранником с двумя правильными семиугольными и семью квадратными гранями. Восьмиугольная пирамида имеет восемь равнобедренных треугольных граней вокруг правильного восьмиугольного основания. Два других девятигранника также можно найти среди правильногранных многогранников — это удлинённая четырёхугольная пирамида и удлинённая треугольная бипирамида. Трёхмерный ассоциэдр^[en], почти многогранник Джонсона с семью пятиугольными гранями и тремя четырёхугольными гранями, является девятигранником. Пять правильногранных многогранников имеют девятигранные двойственные тела, это трёхскатный купол, скрученно удлинённая четырёхугольная пирамида, самодвойственная удлинённая четырёхугольная пирамида, трижды наращённая треугольная призма (двойственная ассоциэдру) и трижды отсечённый икосаэдр. Ещё одним девятигранником является урезанный трапецоэдр^[en] с квадратным основанием и 4 дельтоидными и 4 треугольными гранями.

семиугольная призма^[en]	Удлинённая четырёхугольная пирамида	Удлинённая треугольная бипирамида
Тело, двойственное трёхскатному куполу	Тело, двойственное скрученно удлинённой четырёхугольной пирамиде	Тело, двойственное трижды отсечённому икосаэдру
Квадратный урезанный трапецоэдр^[en]	Усечённая треугольная бипирамида, почти многогранник Джонсона, и ассоциэдр^[en].	Девятигранник Хершеля

Граф Хершеля представляет вершины и рёбра девятигранника Хершеля (см. выше), все грани которого четырёхугольны. Это самый простой многогранник без гамильтовова цикла, единственный девятигранник, в котором все грани имеют одинаковое число рёбер, и один из всего трёх двудольных девятигранников.

Два наименьших возможных изоспектральных полиэдральных графов являются графами девятигранников

Наименьшая пара изоспектральных полиэдральных графов представляется девятигранниками с восемью вершинами в каждом^[2].

Заполняющие пространство девятигранникиПравить

Базилика Девы Марии (Маастрихт), верх башни которой образует заполняющий пространство многогранник.

Рассечение ромбододекаэдра пополам через длинные диагонали четырёх его граней даёт самодвойственный девятигранник, квадратный урезанный трапецоэдр^[en] с одной большой квадратной гранью, четырьмя ромбическими гранями и четырьмя равнобедренными треугольными гранями. Подобно самому ромбическому додекаэдру это тело может быть использовано для замощения трёхмерного пространства^[3]. Удлинённый вариант этого тела, остающегося способным замощать пространство, можно видеть на вершине задней стороны башен романской базилики Девы Марии 12-го века. Сами башни с их четырьмя пятиугольными сторонами (стенами), четырьмя гранями крыши и квадратным основанием образуют другой заполняющий пространство девятигранник.

Голдберг^[4] нашёл по меньшей мере 40 топологически различных заполняющих пространство девятигранников^[5].

Топологически различные девятигранникиПравить

Существует 2606 топологически различных выпуклых девятигранников, исключая зеркальные отражения. Они могут быть разбиты на подмножества девятигранников 8, 74, 296, 633, 768, 558, 219, 50 с числом вершин от 7 до 14 соответственно^[6]. Таблицу этих чисел вместе с детальным описанием девятивершинных девятигранников первым опубликовал в 1870-х годах Томас Киркман^[7].

ПримечанияПравить

↑ Steven Dutch: How Many Polyhedra are There? Архивная копия от 7 июня 2010 на Wayback Machine
↑ Hosoya, Nagashima, Hyugaji, 1994, с. 428–431.
↑ Critchlow, 1970, с. 54.
↑ Goldberg, 1982.
↑ Goldberg, 1982, с. 297–306.
↑ Counting polyhedra (англ.). Numericana. Архивировано 20 августа 2020 года.
↑ Biggs, 1981, с. 97–120.

ЛитератураПравить

Haruo Hosoya, Umpei Nagashima, Sachiko Hyugaji. Topological twin graphs. Smallest pair of isospectral polyhedral graphs with eight vertices // Journal of Chemical Information and Modeling. — 1994. — Т. 34, вып. 2. — С. 428–431. — doi:10.1021/ci00018a033.
Keith Critchlow. Order in space: a design source book. — Viking Press, 1970. — С. 54.
Michael Goldberg. On the space-filling enneahedra // Geometriae Dedicata. — 1982. — Т. 12, вып. 3. — С. 297–306. — doi:10.1007/BF00147314.
Biggs N.L. T.P. Kirkman, mathematician // The Bulletin of the London Mathematical Society. — 1981. — Т. 13, вып. 2. — С. 97–120. — doi:10.1112/blms/13.2.97.

СсылкиПравить

Enumeration of Polyhedra by Steven Dutch
Weisstein, Eric W. Nonahedron (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.

[1] Steven Dutch: How Many Polyhedra are There? Архивная копия от 7 июня 2010 на Wayback Machine

[_e52456a8970b4b30-2] Hosoya, Nagashima, Hyugaji, 1994, с. 428–431.

[_69874916ab6a9e10-3] Critchlow, 1970, с. 54.

[_16b79dc00ccdc149-4] Goldberg, 1982.

[_8f86d0ffffd32243-5] Goldberg, 1982, с. 297–306.

[6] Counting polyhedra (англ.). Numericana. Архивировано 20 августа 2020 года.

[_8c8b85c08b5b2260-7] Biggs, 1981, с. 97–120.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]