Трижды отсечённый икосаэдр

Три́жды отсечённый икоса́эдр — один из многогранников Джонсона (J₆₃, по Залгаллеру — М₇).

Трижды отсечённый икосаэдр
(3D-модель)
Тип	многогранник Джонсона
Свойства	выпуклый
Комбинаторика
Элементы	8 граней 15 рёбер 9 вершин Χ = 2
Грани	5 треугольников 3 пятиугольника
Конфигурация вершины	2x3(3.52) 3(33.5)
Развёртка
Классификация
Обозначения	J63, М7
Группа симметрии	C3v

Составлен из 8 граней: 5 правильных треугольников и 3 правильных пятиугольников. Каждая пятиугольная грань окружена двумя пятиугольными и тремя треугольными; среди треугольных 1 грань окружена тремя пятиугольными, 1 грань — тремя треугольными, остальные 3 — двумя пятиугольными и треугольной.

Имеет 15 рёбер одинаковой длины. 3 ребра располагаются между двумя пятиугольными гранями, 3 ребра — между двумя треугольными, остальные 9 — между треугольной и пятиугольной.

У трижды отсечённого икосаэдра 9 вершин. В 6 вершинах (расположенных как вершины правильной усечённой треугольной пирамиды) сходятся две пятиугольных грани и одна треугольная; в остальных 3 (расположенных как вершины правильного треугольника) — одна пятиугольная и три треугольных.

Трижды отсечённый икосаэдр можно получить из икосаэдра, отсекши от того три правильных пятиугольных пирамиды (J₂). Вершины полученного многогранника — 9 из 12 вершин икосаэдра, рёбра — 15 из 30 рёбер икосаэдра; отсюда ясно, что у трижды отсечённого икосаэдра тоже существуют описанная и полувписанная сферы, причём они совпадают с описанной и полувписанной сферами исходного икосаэдра.

Трижды отсечённый икосаэдр является вершинной фигурой курносого двадцатичетырёхъячейника.

Метрические характеристикиПравить

Если трижды отсечённый икосаэдр имеет ребро длины $a$$a$ , его площадь поверхности и объём выражаются как

$S=\frac{1}{4}\left(5\sqrt{3}+3\sqrt{25+10\sqrt{5}}\right)a^2\approx <!--\; \approx \; -->\mathrm{7,326}4957a^2,$$S={\frac {1}{4}}\left(5{\sqrt {3}}+3{\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}\right)a^{2}\approx 7{,}3264957a^{2},$ 

$V=\frac{1}{24}\left(15+7\sqrt{5}\right)a^3\approx <!--\; \approx \; -->\mathrm{1,277}1865a^3.$$V={\frac {1}{24}}\left(15+7{\sqrt {5}}\right)a^{3}\approx 1{,}2771865a^{3}.$ 

Радиус описанной сферы (проходящей через все вершины многогранника) при этом будет равен

$R=\frac{1}{4}\sqrt{10+2\sqrt{5}}a\approx <!--\; \approx \; -->\mathrm{0,951}0565a;$$R={\frac {1}{4}}{\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}\;a\approx 0{,}9510565a;$ 

радиус полувписанной сферы (касающейся всех рёбер в их серединах) —

$\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}=\frac{1}{4}\left(1+\sqrt{5}\right)a\approx <!--\; \approx \; -->\mathrm{0,809}0170a.$$\rho ={\frac {1}{4}}\left(1+{\sqrt {5}}\right)a\approx 0{,}8090170a.$ 

СсылкиПравить

• Weisstein, Eric W. Трижды отсечённый икосаэдр (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.