Двурогая кривая

Двурогая кривая, известная также как треуголка ввиду её сходства с двууголкой, — это рациональная кривая четвёртой степени, задаваемая уравнением

Двурогая кривая

$y^2(a^2-<!--\; -\; -->x^2)=(x^2+2ay-<!--\; -\; -->a^2{)}^2.$$y^{2}(a^{2}-x^{2})=(x^{2}+2ay-a^{2})^{2}.$

Кривая имеет два каспа и симметрична относительно оси y.

ИсторияПравить

В 1864 Джеймс Джозеф Сильвестр изучал кривую

$y^4-<!--\; -\; -->x{y}^3-<!--\; -\; -->8x{y}^2+36x^{2}y+16x^2-<!--\; -\; -->27x^3=0$$y^{4}-xy^{3}-8xy^{2}+36x^{2}y+16x^{2}-27x^{3}=0$ 

в связи с классификацией уравнений пятой степени. Он назвал кривую двурогой ввиду наличия двух каспов. Эту кривую позднее изучал Артур Кэли в 1867.

СвойстваПравить

 

Преобразованная двурогая кривая с a = 1

Двурогая кривая является плоской алгебраической кривой четвёртой степени нулевым родом. Кривая имеет две касповых особенности в вещественной плоскости и двойную точку в комплексной проективной плоскости при x=0, z=0. Если мы переносим x=0 и z=0 в начало координат и осуществляем мнимое вращение по x путём подстановки ix/z вместо x и 1/z вместо y, мы получим

$(x^2-<!--\; -\; -->2az+a^2{z}^2{)}^2=x^2+a^2{z}^2.$$(x^{2}-2az+a^{2}z^{2})^{2}=x^{2}+a^{2}z^{2}.\,$ 

Эта кривая, улитка Паскаля, имеет обычную двойную точку в начале координат и две точки пересечения с осями в точках x = ± i и z=1.

Параметрическое уравнение двурогой кривой:

$x=a\sin <!--\; \; -->(\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->})$$x=a\sin(\theta )$  и $y=a\frac{{\cos }^2<!--\; \; -->(\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->})\left(2+\cos <!--\; \; -->(\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->})\right)}{3+{\sin }^2<!--\; \; -->(\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->})}$$y=a{\frac {\cos ^{2}(\theta )\left(2+\cos(\theta )\right)}{3+\sin ^{2}(\theta )}}$  с $-<!--\; -\; -->\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}\le <!--\; \le \; -->\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}\le <!--\; \le \; -->\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}$$-\pi \leq \theta \leq \pi$ 

См. такжеПравить

• Список кривых^[en]