Геометрический род

Геометрический род — это базовый бирациональный инвариант^[en] p_g алгебраических многообразий и комплексных многообразий.

ОпределениеПравить

Геометрический род может быть определён для несингулярных^[en] комплексных проективных многообразий и, более общо, для комплексных многообразий, как число Ходжа h^n,0 (равное h^0,n согласно двойственности Серра), то есть, как размерность канонической линейной системы^[en] плюс единица.

Другими словами, для многообразия V комплексной размерности^[en] n это значение равно числу линейно независимых голоморфных n-форм на многообразии V. Это определение как размерность пространства

$H^0(V,{\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}}^n)$$H^{0}(V,\Omega ^{n})$ 

тогда переносится на любое базовое поле, если Ω брать как пучок кэлеровых дифференциалов, а степень равна внешнему произведению, каноническому линейному расслоению^[en].

Геометрический род является первым инвариантом $p_g=P_1$$p_{g}=P_{1}$  последовательности инвариантов $P_n$$P_{n}$ , носящих название плюрижанр^[en] (или кратный род).

Случай кривыхПравить

В случае комплексных многообразий несингулярные кривые являются римановыми поверхностями. Алгебраическое определение рода согласуется с топологическим понятием рода. На несингулярной кривой каноническое линейное расслоение имеет степень $2g-<!--\; -\; -->2$$2g-2$ .

Понятие рода присутствует заметно в утверждении теоремы Римана — Роха (см. также теорему Римана — Роха для поверхностей) и формуле Римана — Гурвица^[en]. По теореме Римана — Роха неприводимая плоская кривая степени d имеет геометрический род

$g=\frac{(d-<!--\; -\; -->1)(d-<!--\; -\; -->2)}{2}-<!--\; -\; -->s,$$g={\frac {(d-1)(d-2)}{2}}-s,$ 

где s — число особых точек, нужным образом подсчитанных.

Если C является неприводимой (и гладкой) поверхностью в проективной плоскости^[en], определяемой полиномиальным уравнением степени d, то её нормальное линейное расслоение является скручивающим пучком Серра $\mathcal{O}(d)$${\mathcal {O}}(d)$ , так что по формуле присоединения^[en] каноническое линейное расслоение поверхности C задаётся равенством ${\mathcal{K}}_C=[{\mathcal{K}}_{{\mathbb{P}}^2}+\mathcal{O}(d){]}_{\mid <!--\; \mid \; -->C}=\mathcal{O}(d-<!--\; -\; -->3{)}_{\mid <!--\; \mid \; -->C}$${\mathcal {K}}_{C}=[{\mathcal {K}}_{\mathbb {P} ^{2}}+{\mathcal {O}}(d)]_{{\mid }C}={\mathcal {O}}(d-3)_{{\mid }C}$ .

Род сингулярных многообразийПравить

Определение геометрического рода переносится классическим образом на сингулярные кривые C путём констатации, что $p_g(C)$$p_{g}(C)$  является геометрическим родом нормализации C′. То есть, поскольку отображение $C^{\mathrm{\prime <!--\; \prime \; -->}}\to <!--\; \to \; -->C$$C^{\prime }\rightarrow C$  является бирациональным, определение расширяется бирациональным инвариантом.

См. такжеПравить

• Арифметический род^[en]
• Инварианты поверхностей

ЛитератураПравить

• Griffiths P., Harris J. Principles of Algebraic Geometry. — Wiley Interscience, 1994. — С. 494. — (Wiley Classics Library). — ISBN 0-471-05059-8.
• Данилов В.И., Шокуров В.В. Алгебраическая геометрия-1. — 1998. — Т. 23. — (Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления.).