Уравнение пятой степени

Уравнением пятой степени называют уравнение вида: $a{x}^5+b{x}^4+c{x}^3+d{x}^2+ex+f=0$$ax^{5}+bx^{4}+cx^{3}+dx^{2}+ex+f=0$

Теорема Виета для уравнения пятой степениПравить

Корни уравнения пятой степени $x_1,x_2,x_3,x_4,x_5$$x_{1},\,x_{2},\,x_{3},\,x_{4},\,x_{5}$  связаны с коэффициентами $a,b,c,d,e,f$$a,\,b,\,c,\,d,\,e,\,f$  следующим образом:

$x_1+x_2+x_3+x_4+x_5=-<!--\; -\; -->\frac{b}{a},$$x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}+x_{5}=-{\frac {b}{a}},$ 

$x_1{x}_2+x_1{x}_3+x_1{x}_4+x_1{x}_5+x_2{x}_3+x_2{x}_4+x_2{x}_5+x_3{x}_4+x_3{x}_5+x_4{x}_5=\frac{c}{a},$$x_{1}\,x_{2}+x_{1}\,x_{3}+x_{1}\,x_{4}+x_{1}\,x_{5}+x_{2}\,x_{3}+x_{2}\,x_{4}+x_{2}\,x_{5}+x_{3}\,x_{4}+x_{3}\,x_{5}+x_{4}\,x_{5}={\frac {c}{a}},$ 

$x_1{x}_2{x}_3+x_1{x}_2{x}_4+x_1{x}_2{x}_5+x_1{x}_3{x}_4+x_1{x}_3{x}_5+x_1{x}_4{x}_5+x_2{x}_3{x}_4+x_2{x}_3{x}_5+x_2{x}_4{x}_5+x_3{x}_4{x}_5=-<!--\; -\; -->\frac{d}{a},$$x_{1}\,x_{2}\,x_{3}+x_{1}\,x_{2}\,x_{4}+x_{1}\,x_{2}\,x_{5}+x_{1}\,x_{3}\,x_{4}+x_{1}\,x_{3}\,x_{5}+x_{1}\,x_{4}\,x_{5}+x_{2}\,x_{3}\,x_{4}+x_{2}\,x_{3}\,x_{5}+x_{2}\,x_{4}\,x_{5}+x_{3}\,x_{4}\,x_{5}=-{\frac {d}{a}},$ 

$x_1{x}_2{x}_3{x}_4+x_1{x}_2{x}_3{x}_5+x_1{x}_2{x}_4{x}_5+x_1{x}_3{x}_4{x}_5+x_2{x}_3{x}_4{x}_5=\frac{e}{a},$$x_{1}\,x_{2}\,x_{3}\,x_{4}+x_{1}\,x_{2}\,x_{3}\,x_{5}+x_{1}\,x_{2}\,x_{4}\,x_{5}+x_{1}\,x_{3}\,x_{4}\,x_{5}+x_{2}\,x_{3}\,x_{4}\,x_{5}={\frac {e}{a}},$ 

$x_1{x}_2{x}_3{x}_4{x}_5=-<!--\; -\; -->\frac{f}{a}.$$x_{1}\,x_{2}\,x_{3}\,x_{4}\,x_{5}=-{\frac {f}{a}}.$ 

РешениеПравить

Точной формулы решения уравнения пятой степени не существует. Если $a=1,f=0$$a=1,f=0$ , то уравнение имеет вид:

$x^5+b{x}^4+c{x}^3+d{x}^2+ex=0$$x^{5}+bx^{4}+cx^{3}+dx^{2}+ex=0$ , где $x$$x$  выносим за скобки (см. Сводное уравнение)

$x(x^4+b{x}^3+c{x}^2+dx+e)=0$$x(x^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e)=0$ , где один из корней равен нулю.

В скобках уравнение четвертой степени.

Если $b=d=0$$b=d=0$ , уравнение биквадратное. Один из корней равен нулю, остальные корни ищут по формуле

$\pm <!--\; \pm \; -->\sqrt{-<!--\; -\; -->c\pm <!--\; \pm \; -->\frac{\sqrt{c^2-<!--\; -\; -->4e}}{2}}$${\textstyle \pm {\sqrt {-c\pm {\frac {\sqrt {c^{2}-4e}}{2}}}}}$ .

Если $b=e=0$$b=e=0$ , уравнение в скобках имеет вид

$x^4+c{x}^2+dx=0$$x^{4}+cx^{2}+dx=0$ , где выносим за скобки:

$x(x^3+cx+d)=0$$x(x^{3}+cx+d)=0$ , где один из корней ноль, остальные три корня ищем по формуле Кардано.

ПримерПравить

Решите уравнение

$x^5+5x=0$$x^{5}+5x=0$ .

Решение. Выносим $x$$x$  за скобки:

$x(x^4+5)=0$$x(x^{4}+5)=0$ .

Раскладываем $x^4+5$$x^{4}+5$  на множители:

$x(x-<!--\; -\; -->\frac{\sqrt[4]{5}}{\sqrt{2}}-<!--\; -\; -->\frac{\sqrt[4]{5}}{\sqrt{2}}i)(x+\frac{\sqrt[4]{5}}{\sqrt{2}}-<!--\; -\; -->\frac{\sqrt[4]{5}}{\sqrt{2}}i)(x+\frac{\sqrt[4]{5}}{\sqrt{2}}+\frac{\sqrt[4]{5}}{\sqrt{2}}i)(x-<!--\; -\; -->\frac{\sqrt[4]{5}}{\sqrt{2}}+\frac{\sqrt[4]{5}}{\sqrt{2}}i)=0$$x(x-{\frac {\sqrt[{4}]{5}}{\sqrt {2}}}-{\frac {\sqrt[{4}]{5}}{\sqrt {2}}}i)(x+{\frac {\sqrt[{4}]{5}}{\sqrt {2}}}-{\frac {\sqrt[{4}]{5}}{\sqrt {2}}}i)(x+{\frac {\sqrt[{4}]{5}}{\sqrt {2}}}+{\frac {\sqrt[{4}]{5}}{\sqrt {2}}}i)(x-{\frac {\sqrt[{4}]{5}}{\sqrt {2}}}+{\frac {\sqrt[{4}]{5}}{\sqrt {2}}}i)=0$ .

Уравнение имеет пять корней:

$x_1=0$$x_{1}=0$ , $x_2=\frac{\sqrt[4]{5}}{\sqrt{2}}+\frac{\sqrt[4]{5}}{\sqrt{2}}i$$x_{2}={\frac {\sqrt[{4}]{5}}{\sqrt {2}}}+{\frac {\sqrt[{4}]{5}}{\sqrt {2}}}i$ , $x_3=-<!--\; -\; -->\frac{\sqrt[4]{5}}{\sqrt{2}}+\frac{\sqrt[4]{5}}{\sqrt{2}}i$$x_{3}=-{\frac {\sqrt[{4}]{5}}{\sqrt {2}}}+{\frac {\sqrt[{4}]{5}}{\sqrt {2}}}i$ , $x_4=-<!--\; -\; -->\frac{\sqrt[4]{5}}{\sqrt{2}}-<!--\; -\; -->\frac{\sqrt[4]{5}}{\sqrt{2}}i$$x_{4}=-{\frac {\sqrt[{4}]{5}}{\sqrt {2}}}-{\frac {\sqrt[{4}]{5}}{\sqrt {2}}}i$ , $x_5=\frac{\sqrt[4]{5}}{\sqrt{2}}-<!--\; -\; -->\frac{\sqrt[4]{5}}{\sqrt{2}}i$$x_{5}={\frac {\sqrt[{4}]{5}}{\sqrt {2}}}-{\frac {\sqrt[{4}]{5}}{\sqrt {2}}}i$ .

СсылкиПравить

• О решении уравнения пятой степени
• О решении уравнений высших степеней