Двоично-рациональное число

Двоично-рациональные числа — рациональные числа, знаменатель которых представляет собой степень двойки. Иначе говоря, числа вида $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ${\tfrac {m}{2^{n}}}$ ${\tfrac {m}{2^{n}}}$ , где $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $m$ $m$ целое число, а $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $n$ $n$ натуральное. Например, 1/2 и 3/8 двоично-рациональны, а 1/3 нет. Именно эти числа имеют конечные представления в двоичной системе счисления.

Двоично-рациональные числа в интервале от 0 до 1.

СвойстваПравить

Двоично-рациональные числа замкнуты относительно сложения, вычитания, и умножения, но не деления.
- В частности, двоично-рациональные числа образуют подкольцо рациональных чисел.
Двоично-рациональные числа образуют всюду плотное множество на вещественной прямой.

Дюйм обычно подразделяется двоично-рациональными числами.
Древние египтяне использовали двоично-рациональные числа, со знаменателями до 64^[1].
Размер в Западной музыкальной нотации традиционно записывают двоично-рациональными числами (например: 2/2, 4/4, 6/8...).
- Другие варианты, так называемые «иррациональные» размеры были введены композиторами в XX веке, не соответствуют иррациональным числам, потому что они по-прежнему состоят из соотношений целых чисел. По-настоящему иррациональный размер используется редко, но один пример, $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ${\sqrt {42}}/1$ , появляется у Нанкарроу в «Этюдах для механического пианино»^[en].

В качестве типа данных, используемых компьютерами, числа с плавающей запятой часто определяются как целые числа, умноженные на положительные или отрицательные степени двойки, и таким образом все числа, которые могут быть представлены, например, в формате IEEE с плавающей точкой являются двоично-рациональными.
- То же самое верно для большинства типов данных с фиксированной точкой.

↑ Curtis, Lorenzo J. (1978), Concept of the exponential law prior to 1900, American Journal of Physics Т. 46 (9): 896–906, DOI 10.1119/1.11512 .