Число с фиксированной запятой

Число с фиксированной запятой (англ. fixed-point number) — формат представления вещественного числа в памяти ЭВМ в виде целого числа. При этом само число x и его целочисленное представление x′ связаны формулой

$x=x^{\prime }\cdot <!--\; \cdot \; -->z$$x=x'\cdot z$,

где z — цена (вес) младшего разряда.

В случае, если $z<1$, для удобства расчётов его делают дольным единице, чтобы целые числа кодировались без погрешности. Другими словами, выбирают целое число u (машинную единицу) и принимают $z=\frac{1}{u}$$z={\frac 1u}$. В случае, если $z>1$$z>1$, его делают целым.

Если не требуется, чтобы какие-либо конкретные дробные числа входили в разрядную сетку, программисты обычно выбирают $z=2^{-<!--\; -\; -->f}$$z=2^{{-f}}$ — это позволяет использовать в операциях умножения и деления битовые сдвиги. Про такую арифметику говорят: «f битов на дробную часть, i=n−f — на целую» и обозначают как «i,f», «i.f» или «Qi.f» (см. числовой формат Q^[en]). Например: арифметика 8,24 отводит на целую часть 8 бит и 24 — на дробную. Соответственно, она способна хранить числа от −128 до 128−z с ценой (весом) младшего разряда $z=2^{-<!--\; -\; -->24}=5,96\cdot <!--\; \cdot \; -->{10}^{-<!--\; -\; -->8}$$z=2^{{-24}}=5{,}96\cdot 10^{{-8}}$.

Для угловых величин зачастую делают $z=2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}\cdot <!--\; \cdot \; -->2^{-<!--\; -\; -->f}$$z=2\pi \cdot 2^{{-f}}$ (особенно если тригонометрические функции вычисляются по таблице).

НазваниеПравить

Название «фиксированная запятая» (или «фиксированная точка»; далее — ФЗ) произошло из-за простой метафоры: между двумя заранее определёнными разрядами ставится запятая для превращения целого числа в дробное. Например, целое число 1234 после вставки запятой превращается в дробное 12,34.

В Великобритании, США и других странах вместо запятой для отделения целой части числа от дробной используется точка, поэтому понятия «фиксированная точка» и «фиксированная запятая» эквивалентны.

ПрименениеПравить

Арифметику с фиксированной запятой часто применяют в тех областях, когда использование чисел с плавающей запятой затратно или невозможно ввиду используемой архитектуры процессоров. Например, видеосопроцессоры приставок PlayStation (Sony), Saturn (Sega), Game Boy Advance (Nintendo), Nintendo DS, GP2X используют арифметику с фиксированной запятой для того, чтобы увеличить пропускную способность на архитектурах без FPU. Стандарт OpenGL ES 1.x включает поддержку чисел с фиксированной запятой, так как он создан для встраиваемых систем, у которых часто нет FPU.

Кроме того, арифметику с фиксированной запятой используют для обеспечения минимальной поддержки дробных чисел на целочисленном процессоре: микроконтроллера, мобильного телефона, приставок вплоть до Playstation и т. д. Если не решаются некорректные задачи и СЛАУ высокого порядка, фиксированной запятой зачастую достаточно — важно только подобрать подходящую цену (вес) младшего разряда для каждой из величин.

Числа с фиксированной запятой используют там, где не нужна высокая точность, но требуется производительность. В большинстве современных процессоров ФЗ аппаратно не реализована, но даже программная ФЗ очень быстра — поэтому она применяется в разного рода игровых движках, растеризаторах и т. д. Например, движок Doom для измерения расстояний использует арифметику Q16.16, для углов — 360°=2³².

Также фиксированную запятую удобно использовать для записи чисел, которые по своей природе имеют постоянную абсолютную погрешность: координаты в программах вёрстки, отметки времени, денежные суммы. Например, и сдачу в супермаркете, и налоги в стране вычисляют с точностью до сотой доли. Файлы метрики шрифтов TeX используют 32-битный знаковый тип с фиксированной запятой Q12.20, библиотека растеризации шрифтов FreeType — Q26.6. На подобные величины можно отдать и плавающую запятую с достаточным количеством знаков мантиссы — но тогда поле порядка становится излишним. Кроме того, фиксированная запятая ведёт себя абсолютно предсказуемо — при подсчёте денег это позволяет наладить разные виды округления, а в играх — наиболее простой способ реализовать многопользовательский режим и запись повторов.

НедостаткиПравить

Недостаток фиксированной запятой — очень узкий диапазон чисел, с угрозой переполнения на одном конце диапазона и потерей точности вычислений на другом. В сложных вычислениях приходится постоянно вписываться в этот диапазон с помощью перемасштабирования — использования разных форматов фиксированной запятой для величин времени, координаты, скорости… Эта проблема и привела к изобретению плавающей запятой. Например: если нужна точность в 3 значащих цифры, 4-байтовая фиксированная запятая даёт диапазон в 6 порядков (то есть, разница приблизительно 10⁶ между самым большим и самым маленьким числом), 4-байтовое число одинарной точности — в 70 порядков.

РеализацииПравить

Немногие языки программирования предоставляют встроенную поддержку чисел с фиксированной запятой, поскольку для большинства применений двоичное или десятичное представление чисел с плавающей запятой проще и достаточно точно. Числа с плавающей запятой проще из-за их большего динамического диапазона, для них не нужно предварительно задавать количество цифр после запятой. Если же потребуется арифметика с фиксированной запятой, она может быть реализована программистом на используемом им языке.

Числа с фиксированной запятой в формате BCD часто используются для хранения денежных величин — неточности от форматов с плавающей запятой недопустимы, а простеньким микроконтроллерам платёжных терминалов BCD предпочтительнее двоичного представления. Исторически числа с фиксированной точкой часто использовались для десятичных типов данных, например в языках PL/I и COBOL. Язык программирования Ada 2012 включает встроенную поддержку чисел с фиксированной запятой (как двоичных, так и десятичных) и чисел с плавающей запятой. JOVIAL и Coral 66 предоставляли оба формата.

Стандарт ISO/IEC TR 18037 добавляет поддержку чисел с фиксированной запятой в язык C. Разработчики компилятора GCC уже реализовали эту поддержку.

Практически все СУБД и язык SQL поддерживают арифметику с фиксированной запятой и хранение таких данных. Например, PostgreSQL имеет специальный численный тип для точного хранения чисел до 1000 цифр.

ОперацииПравить

• Сложение и вычитание чисел с фиксированной запятой — это обычные сложение и вычитание: $(x\pm <!--\; \pm \; -->y{)}^{\prime }=x^{\prime }\pm <!--\; \pm \; -->y^{\prime }$$(x\pm y)'=x'\pm y'$ .
• Аналогично с умножением и делением на целочисленную константу: $(cx{)}^{\prime }=c\cdot <!--\; \cdot \; -->x^{\prime }$$(cx)' = c\cdot x'$ .
• Умножение и деление отличаются от целочисленных на константу.

  $(x\cdot <!--\; \cdot \; -->y{)}^{\prime }=\left[x^{\prime }\cdot <!--\; \cdot \; -->y^{\prime }\cdot <!--\; \cdot \; -->z\right]=\left[\frac{x^{\prime }\cdot <!--\; \cdot \; -->y^{\prime }}{u}\right]$$(x\cdot y)'=\left[x'\cdot y'\cdot z\right]=\left[{\frac {x'\cdot y'}u}\right]$ 

  ${\left(\frac{x}{y}\right)}^{\prime }=\left[\frac{x^{\prime }}{z\cdot <!--\; \cdot \; -->y^{\prime }}\right]=\left[\frac{x^{\prime }\cdot <!--\; \cdot \; -->u}{y^{\prime }}\right]$$\left({\frac xy}\right)'=\left[{\frac {x'}{z\cdot y'}}\right]=\left[{\frac {x'\cdot u}{y'}}\right]$ ,

  где [ ] — операция округления до целого. В частности, если в дробной части f бит:

  $(x\cdot <!--\; \cdot \; -->y{)}^{\prime }=(x^{\prime }\cdot <!--\; \cdot \; -->y^{\prime })\mathrm{shr}f,{\left(\frac{x}{y}\right)}^{\prime }=\frac{x^{\prime }\mathrm{shl}f}{y^{\prime }}$$(x\cdot y)'=(x'\cdot y')\,\operatorname {shr}\,f,\,\,\,\,\left({\frac xy}\right)'={\frac {x'\,\operatorname {shl}\,f}{y'}}$ .

• Для других операций, помимо обычных рядов Тейлора и итерационных методов, широко применяются вычисления по таблице.

Если операнды и результат имеют разную цену (вес) младшего разряда, формулы более сложны — но иногда такое приходится делать из-за большой разницы в порядке величин.

Для перевода чисел из формата с фиксированной запятой в человекочитаемый формат и наоборот применяются обычные правила перевода дробных чисел из одной позиционной системы счисления в другую.