Градиент

Эта статья о векторе; о способе заливки см. Градиент (компьютерная графика).

Градие́нт (от лат. gradiens — «шагающий, растущий»)  — вектор, своим направлением указывающий направление наискорейшего роста некоторой скалярной величины $\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}$$\varphi$ (значение которой меняется от одной точки пространства к другой, образуя скалярное поле). Обозначается: $\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}$$\mathrm {grad} \ \varphi$. По величине (модулю) градиент равен скорости роста величины $\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}$$\varphi$ в направлении вектора.

Оператор градиента преобразует холм (слева), если смотреть на него сверху, в поле векторов (справа). Видно, что векторы направлены «в горку» и чем они длиннее, тем круче наклон

Например, если взять в качестве $\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}$$\varphi$ высоту поверхности земли над уровнем моря, то её градиент в каждой точке поверхности будет показывать «направление самого крутого подъёма», а своей величиной характеризовать крутизну склона.

Пространство, на котором определена функция и её градиент, может быть, вообще говоря, как обычным трёхмерным пространством, так и пространством любой другой размерности.

Термин впервые появился в метеорологии для исследования изменений температуры и давления атмосферы, а в математику был введён Максвеллом в 1873 г.оду; обозначение $\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}$${\mathrm {grad}}$ тоже предложил Максвелл.

Наряду со стандартным обозначением $(\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->})$$(\mathrm {grad} \,\varphi )$ часто используется компактная запись с использованием оператора набла: $\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}.$$\nabla \varphi .$

Иллюстрация примененияПравить

 

Градиент 2D функции отображен на графике в виде синих стрелок

Пусть температура в комнате задана с помощью скалярного поля T таким образом, что в каждой точке, заданной координатами (x, y, z) температура равняется T(x, y, z) (предположим, что температура не изменяется с течением времени). В каждой точке комнаты градиент функции T будет показывать направление, в котором температура возрастает быстрее всего. Величина градиента определяет, насколько быстро температура возрастает в данном направлении.

Определение и вычислениеПравить

Для случая трёхмерного пространства градиентом дифференцируемой в некоторой области скалярной функции $\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}=\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}(x,y,z)$$\varphi =\varphi (x,y,z)$  координат $x$$x$ , $y$$y$ , $z$$z$  называется векторная функция с компонентами

$\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}x},\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}y},\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}z}.$${\frac {\partial \varphi }{\partial x}},{\frac {\partial \varphi }{\partial y}},{\frac {\partial \varphi }{\partial z}}.$ 

Или, использовав для единичных векторов по осям прямоугольных декартовых координат ${\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{e}}_x,{\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{e}}_y,{\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{e}}_z$$\vec e_x, \vec e_y, \vec e_z$ :

$\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}=\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}=\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}x}{\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{e}}_x+\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}y}{\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{e}}_y+\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}z}{\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{e}}_z.$${\mathrm {grad}}\,\varphi =\nabla \varphi ={\frac {\partial \varphi }{\partial x}}{\vec e}_{x}+{\frac {\partial \varphi }{\partial y}}{\vec e}_{y}+{\frac {\partial \varphi }{\partial z}}{\vec e}_{z}.$ 

Если $\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}$$\varphi$  — функция $n$$n$  переменных $x_1,\dots <!--\; \dots \; -->,x_n$$x_{1},\;\ldots ,\;x_{n}$ , то её градиентом называется $n$$n$ -мерный вектор

$\left(\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{x}_1},\dots <!--\; \dots \; -->,\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{x}_n}\right),$$\left({\frac {\partial \varphi }{\partial x_{1}}},\;\ldots ,\;{\frac {\partial \varphi }{\partial x_{n}}}\right),$ 

компоненты которого равны частным производным $\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}$$\varphi$  по всем её аргументам.

• Размерность вектора градиента определяется, таким образом, размерностью пространства (или многообразия), на котором задано скалярное поле, о градиенте которого идёт речь.
• Оператором градиента называется оператор, действие которого на скалярную функцию (поле) даёт её градиент. Этот оператор иногда коротко называют просто «градиентом».

Смысл градиента любой скалярной функции $f$$f$  в том, что его скалярное произведение с бесконечно малым вектором перемещения $d\mathbf{x}$$d{\mathbf {x}}$  даёт полный дифференциал этой функции при соответствующем изменении координат в пространстве, на котором определена $f$$f$ , то есть линейную (в случае общего положения она же главная) часть изменения $f$$f$  при смещении на $d\mathbf{x}$$d{\mathbf {x}}$ . Применяя одну и ту же букву для обозначения функции от вектора и соответствующей функции от его координат, можно написать:

$df=\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}f}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{x}_1}d{x}_1+\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}f}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{x}_2}d{x}_2+\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}f}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{x}_3}d{x}_3+\dots <!--\; \dots \; -->=\underset{i}{\sum <!--\; \sum \; -->}\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}f}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{x}_i}d{x}_i=(\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}\mathbf{f}\cdot <!--\; \cdot \; -->d\mathbf{x}).$$df={\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}\,dx_{1}+{\frac {\partial f}{\partial x_{2}}}\,dx_{2}+{\frac {\partial f}{\partial x_{3}}}\,dx_{3}+\ldots =\sum _{i}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}\,dx_{i}=({\mathrm {grad}}\,{\mathbf {f}}\cdot d{\mathbf x}).$ 

Стоит здесь заметить, что поскольку формула полного дифференциала не зависит от вида координат $x_i$$x_{i}$ , то есть от природы параметров x вообще, то полученный дифференциал является инвариантом, то есть скаляром, при любых преобразованиях координат, а поскольку $d\mathbf{x}$$d{\mathbf {x}}$  — это вектор, то градиент, вычисленный обычным образом, оказывается ковариантным вектором, то есть вектором, представленным в дуальном базисе, какой только и может дать скаляр при простом суммировании произведений координат обычного (контравариантного), то есть вектором, записанным в обычном базисе. Таким образом, выражение (вообще говоря — для произвольных криволинейных координат) может быть вполне правильно и инвариантно записано как:

$df=\underset{i}{\sum <!--\; \sum \; -->}({\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}_{i}f)d{x}^i$$df=\sum _{i}(\partial _{i}f)\,dx^{i}$ 

или, опуская по правилу Эйнштейна знак суммы,

$df=({\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}_{i}f)d{x}^i$$df=(\partial _{i}f)\,dx^{i}$ 

(в ортонормированном базисе мы можем писать все индексы нижними, как мы и делали выше). Однако градиент оказывается настоящим ковариантным вектором в любых криволинейных координатах.

Используя интегральную теорему

$\underset{V}{\iiint <!--\; \iiint \; -->}\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}dV=\underset{S}{\iint <!--\; \iint \; -->}\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}d\mathbf{s}$$\iiint \limits _{{V}}\nabla \varphi \,dV=\iint \limits _{{S}}\varphi \,d{\mathbf {s}}$ ,

градиент можно выразить в интегральной форме:

$\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}=\underset{V\to <!--\; \to \; -->0}{lim}\frac{1}{V}\left(\underset{S}{\iint <!--\; \iint \; -->}\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}d\mathbf{s}\right),$$\nabla \varphi =\lim \limits _{V\to 0}{\frac {1}{V}}\left(\iint \limits _{S}\varphi \,d\mathbf {s} \right),$ 

здесь $\mathit{S}$${\it {{S}}}$  — замкнутая поверхность охватывающая объём $\mathit{V}\mathit{,}\mathit{d}\mathbf{s}$${\it {{V},d{\mathbf {s}}}}$  — нормальный элемент этой поверхности.

ПримерПравить

Например, градиент функции $\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}(x,y,z)=2x+3y^2-<!--\; -\; -->\sin <!--\; \; -->z$$\varphi (x,\;y,\;z)=2x+3y^{2}-\sin z$  будет представлять собой:

$\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}=\left(\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}x},\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}y},\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}z}\right)=(2,6y,-<!--\; -\; -->\cos <!--\; \; -->z).$$\nabla \varphi =\left({\frac {\partial \varphi }{\partial x}},\;{\frac {\partial \varphi }{\partial y}},\;{\frac {\partial \varphi }{\partial z}}\right)=(2,\;6y,\;-\cos z).$ 

Некоторые примененияПравить

Геометрический смыслПравить

Рассмотрим семейство линий уровня функции $\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}$$\varphi$ :

$\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}(h)=\{(x_1,\dots <!--\; \dots \; -->,x_n)\mid <!--\; \mid \; -->\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}(x_1,\dots <!--\; \dots \; -->,x_n)=h\}.$$\gamma (h)=\{(x_{1},\;\ldots ,\;x_{n})\mid \varphi (x_{1},\;\ldots ,\;x_{n})=h\}.$ 

Нетрудно показать, что градиент функции $\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}$$\varphi$  в точке $\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{x}{}^0$${\vec {x}}{\,}^{0}$  перпендикулярен её линии уровня, проходящей через эту точку. Модуль градиента показывает максимальную скорость изменения функции в окрестности $\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{x}{}^0$${\vec {x}}{\,}^{0}$ , то есть частоту линий уровня. Например, линии уровня высоты изображаются на топографических картах, при этом модуль градиента показывает крутизну спуска или подъёма в данной точке.

В физикеПравить

В различных отраслях физики используется понятие градиента различных физических полей.

Например, напряжённость электростатического поля есть минус градиент электростатического потенциала, напряжённость гравитационного поля (ускорение свободного падения) в классической теории гравитации есть минус градиент гравитационного потенциала. Консервативная сила в классической механике есть минус градиент потенциальной энергии.

В других естественных наукахПравить

Понятие градиента находит применение не только в физике, но и в смежных и даже сравнительно далёких от физики науках (иногда это применение носит количественный, а иногда и просто качественный характер).

Например, градиент концентрации — нарастание или уменьшение по какому-либо направлению концентрации растворённого вещества, градиент температуры — увеличение или уменьшение по какому-то направлению температуры среды и т. д.

Градиент таких величин может быть вызван различными причинами, например, механическим препятствием, действием электромагнитных, гравитационных или других полей или различием в растворяющей способности граничащих фаз.

В экономикеПравить

В экономической теории понятие градиента используется для обоснования некоторых выводов и для оптимизации. В частности, используемые для нахождения оптимума потребителя метод множителей Лагранжа и условия Куна — Таккера (позаимствованные из естественных наук) основаны на сопоставлении градиентов функции полезности и функции бюджетного ограничения.

Связь с производной по направлениюПравить

Используя правило дифференцирования сложной функции, нетрудно показать, что производная функции $\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}$$\varphi$  по направлению $\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{e}=(e_1,\dots <!--\; \dots \; -->,e_n)$${\vec {e}}=(e_{1},\;\ldots ,\;e_{n})$  равняется скалярному произведению градиента $\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}$$\varphi$  на единичный вектор $\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{e}$$\vec{e}$ :

$\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{e}}=\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{x}_1}{e}_1+\dots <!--\; \dots \; -->+\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{x}_n}{e}_n=(\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->},\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{e}).$${\frac {\partial \varphi }{\partial {\vec {e}}}}={\frac {\partial \varphi }{\partial x_{1}}}e_{1}+\ldots +{\frac {\partial \varphi }{\partial x_{n}}}e_{n}=(\nabla \varphi ,\;{\vec {e}}).$ 

Таким образом, для вычисления производной скалярной функции векторного аргумента по любому направлению достаточно знать градиент функции, то есть вектор, компоненты которого являются её частными производными.

Градиент в ортогональных криволинейных координатахПравить

$\mathrm{grad}U(q_1,q_2,q_3)=\frac{1}{H_1}\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}U}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{q}_1}{\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{e}}_1+\frac{1}{H_2}\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}U}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{q}_2}{\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{e}}_2+\frac{1}{H_3}\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}U}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{q}_3}{\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{e}}_3,$$\operatorname {grad}\,U(q_{1},\;q_{2},\;q_{3})={\frac {1}{H_{1}}}{\frac {\partial U}{\partial q_{1}}}{\vec {e}}_{1}+{\frac {1}{H_{2}}}{\frac {\partial U}{\partial q_{2}}}{\vec {e}}_{2}+{\frac {1}{H_{3}}}{\frac {\partial U}{\partial q_{3}}}{\vec {e}}_{3},$ 

где $H_i$$H_i$  — коэффициенты Ламе.

Полярные координаты (на плоскости)Править

Коэффициенты Ламе:

$\begin{array}{c}{H}_1=1\\ H_2=r\end{array}.$${\begin{matrix}H_{1}=1\\H_{2}=r\end{matrix}}.$ 

Отсюда:

$\mathrm{grad}U(r,\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->})=\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}U}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}r}\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{e_r}+\frac{1}{r}\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}U}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{e_{\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}}.$$\operatorname {grad}\,U(r,\;\theta )={\frac {\partial U}{\partial r}}{\vec {e_{r}}}+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial U}{\partial \theta }}{\vec {e_{\theta }}}.$ 

Цилиндрические координатыПравить

Коэффициенты Ламе:

$\begin{array}{c}{H}_1=1\\ H_2=r\\ H_3=1\end{array}.$${\begin{matrix}H_{1}=1\\H_{2}=r\\H_{3}=1\end{matrix}}.$ 

Отсюда:

$\mathrm{grad}U(r,\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->},z)=\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}U}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}r}\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{e_r}+\frac{1}{r}\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}U}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{e_{\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}}+\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}U}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}z}\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{e_z}.$$\operatorname {grad}\,U(r,\;\theta ,\;z)={\frac {\partial U}{\partial r}}{\vec {e_{r}}}+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial U}{\partial \theta }}{\vec {e_{\theta }}}+{\frac {\partial U}{\partial z}}{\vec {e_{z}}}.$ 

Сферические координатыПравить

Коэффициенты Ламе:

$\begin{array}{c}{H}_1=1\\ H_2=r\\ H_3=r\sin <!--\; \; -->\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}\end{array}.$${\begin{matrix}H_{1}=1\;\;\;\;\;\;\\H_{2}=r\;\;\;\;\;\;\\H_{3}=r\sin {\theta }\end{matrix}}.$ 

Отсюда:

$\mathrm{grad}U(r,\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->},\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->})=\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}U}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}r}\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{e_r}+\frac{1}{r}\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}U}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{e_{\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}}+\frac{1}{r\sin <!--\; \; -->\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}U}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{e_{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}}.$$\operatorname {grad}\,U(r,\;\theta ,\;\varphi )={\frac {\partial U}{\partial r}}{\vec {e_{r}}}+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial U}{\partial \theta }}{\vec {e_{\theta }}}+{\frac {1}{r\sin {\theta }}}{\frac {\partial U}{\partial \varphi }}{\vec {e_{\varphi }}}.$ 

Вариации и обобщенияПравить

Пусть $u:<!--\; :\; -->X\to <!--\; \to \; -->Y$$u\colon X\to Y$  — отображение между метрическими пространствами. Борелева функция $\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}:<!--\; :\; -->X\to <!--\; \to \; -->\mathbb{R}$$\rho \colon X\to \mathbb {R}$  называется верхним градиентом $u$$u$  если следующее неравенство

$|u(p)-<!--\; -\; -->u(q){|}_Y\le <!--\; \le \; -->\underset{\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}}{\int <!--\; \int \; -->}\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}$$|u(p)-u(q)|_{Y}\leq \int \limits _{\gamma }\rho$ 

выполняется для произвольной спрямляемой кривой $\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}$$\gamma$ , соединяющей $p$$p$  и $q$$q$  в $X$$X$ .

См. такжеПравить

• 4-градиент
• Векторный анализ
• Градиент концентрации
• Градиентные методы
• Оператор Кэнни
• Теорема Остроградского — Гаусса
• Формулы векторного анализа

ЛитератураПравить

• Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия. Методы и приложения: уч. пособие для физико-математических специальностей университетов. — М.: Наука, 1986. — 759 с.
• Кочин Н. Е. Векторное исчисление и начала тензорного исчисления. — 9-е изд. — М. : Наука, 1965.
• Купцов Л. П. Градиент // Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М.: Советская Энциклопедия, 1977. — Т. 1. — Стб. 1080. — 1152 с.
• Рашєвский П. К. Риманова геометрия и тензорный анализ. — 3-е изд. — М. : Наука, 1967.

СсылкиПравить

• Что такое градиент на YouTube
• Weisstein, Eric W. Gradient (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.