Бюджетное множество

Бюджетное множество — понятие, используемое в микроэкономике (в теории потребительского поведения), обозначающее подмножество множества допустимых альтернатив (потребительских наборов) с учётом экономических (бюджетных) ограничений, под которыми понимаются ограничения расходов потребителя его доходами и (или) первоначальными запасами экономических благ.

Формальное определениеПравить

Пусть $X$$X$  — множество (потенциально) допустимых альтернатив (потребительских наборов), $p$$p$  — неотрицательный вектор цен экономических благ, $R$$R$  — доход потребителя. Тогда бюджетное множество определяется как множество альтернатив $x\in <!--\; \in \; -->X$$x\in X$ , для которых выполнено неравенство $px⩽<!--\; ⩽\; -->R$$px\leqslant R$ , то есть:

$B(p,R)=\{x\in <!--\; \in \; -->X|px⩽<!--\; ⩽\; -->R\}$$B(p,R)=\{x\in X|px\leqslant R\}$ 

Бюджетное ограничение может быть связано с начальным запасом благ $x_0$$x_{0}$ , то есть доходом в данном случае может быть только доход от продажи каких-то начальных запасов. Тогда бюджетное множество определяется следующим образом:

$B^{\ast <!--\; \ast \; -->}(p,x_0)=\{x\in <!--\; \in \; -->X|px⩽<!--\; ⩽\; -->p{x}_0\}=\{x\in <!--\; \in \; -->X|p(x-<!--\; -\; -->x_0)⩽<!--\; ⩽\; -->0\}$$B^{*}(p,x_{0})=\{x\in X|px\leqslant px_{0}\}=\{x\in X|p(x-x_{0})\leqslant 0\}$ 

То есть стоимость покупок не превышает стоимость продаж.

Естественно, возможно также совмещение, то есть доход может быть как внешним, так и связанным с начальными запасами.

СвойстваПравить

В первую очередь бюджетные множества предполагаются непустыми. В случае бюджетного множества $B(p,R)$$B(p,R)$  для этого достаточно, чтобы доход $R$$R$  был больше минимально необходимого для приобретения хотя бы одного допустимого набора, то есть $R>\underset{x\in <!--\; \in \; -->X}{inf}px$$R>\inf _{x\in X}px$ . В случае бюджетного множества $B^{\ast <!--\; \ast \; -->}(p,x_0)$$B^{*}(p,x_{0})$  это условие означает лишь то, что начальный вектор принадлежит допустимому множеству $X$$X$ , что изначально предполагается.

Бюджетное множество является замкнутым, ограниченным) и выпуклым множеством. Для ограниченности формально необходимо (и достаточно), чтобы вектор цен был строго больше нуля (то есть все цены должны быть положительными). Замкнутость и ограниченность бюджетного множества обеспечивают существование решения задачи потребителя (см. ниже).

Бюджетное множество $B(p,R)$$B(p,R)$  является «однородным нулевой степени», то есть если цены и доход умножить на одно и то же число, то получим то же бюджетное множество. В случае бюджетного множества $B^{\ast <!--\; \ast \; -->}(p,x_0)$$B^{*}(p,x_{0})$  это означает «однородность нулевой степени» по вектору цен.

При фиксированном векторе цен бюджетное множество с меньшим доходом является подмножеством бюджетного множества с большим доходом. При фиксированном доходе бюджетное множество с большими ценами является подмножеством бюджетного множества с меньшими ценами.

Задача потребителяПравить

Основная статья: Задача потребителя

Бюджетное множество используется в так называемой прямой (маршаллианской) задаче потребителя, заключающейся в максимизации функции полезности $u(x)$$u(x)$  на бюджетном множестве альтернатив $B$$B$ :

$\{\begin{array}{l}u(x)\to <!--\; \to \; -->max\\ x\in <!--\; \in \; -->B\subset <!--\; \subset \; -->X\end{array}$${\begin{cases}u(x)\rightarrow \max \\x\in B\subset X\end{cases}}$ 

В частности, для бюджетного ограничения по доходу задача имеет вид:

$\{\begin{array}{l}u(x)\to <!--\; \to \; -->max\\ px⩽<!--\; ⩽\; -->R,x\in <!--\; \in \; -->X\end{array}$${\begin{cases}u(x)\rightarrow \max \\px\leqslant R,x\in X\end{cases}}$ 

При непрерывной функции полезности с учётом свойств компактности (ограниченности и замкнутости) бюджетного множества задача потребителя всегда имеет решение.

См. такжеПравить

• Функция полезности
• Модель Эрроу-Дебрё

ЛитератураПравить

• Бусыгин В.П., Е.В. Желободько, А.А. Цыплаков. Микроэкономика - третий уровень. — Новосибирск, 2003.
• Черемных Ю.Н. Микроэкономика. Продвинутый уровень. — М.: ИНФРА-М, 2008. — 844 с.(Учебники экономического факультета МГУ и. М.В. Ломоносова)
• Фридман А. А. Лекции по курсу микроэкономики продвинутого уровня. — М.: Издательский дом ГУ ВШЭ, 2007. — ISBN 978-5-7598-0335-5.