Пространственная форма

Пространственная форма — связное полное риманово многообразие постоянной секционной кривизны $k$$k$.

Пространственная форма называется сферической, евклидовой или гиперболической если соответственно $k>0$$k>0$, $k=0$$k=0$, $k<0$.

С помощью перенормировки метрики классификацию пространственных форм можно свести к трём случаям: $k=-<!--\; -\; -->1,0,+1$$k=-1,0,+1$.

ПримерыПравить

• Евклидовы пространственные формы:
  • Евклидово пространство.
  • Плоский тор ${\mathbb{T}}^n={\mathbb{E}}^n/\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}$$\mathbb {T} ^{n}=\mathbb {E} ^{n}/\Gamma$ , где $\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}$$\Gamma$  — $n$$n$ -мерная решётка в ${\mathbb{E}}^n$$\mathbb {E} ^{n}$ ,.
  • Бутылка Клейна с плоской метрикой.
  • При $n=3$$n=3$  имеется $6$$6$  классов ориентируемых и $4$$4$  класса неориентируемых аффинно не эквивалентных компактных евклидовых пространственных форм
  • Двумерная некомпактная евклидова пространственная форма, отличная от ${\mathbb{E}}^2$$\mathbb {E} ^{2}$ , гомеоморфна цилиндру, либо листу Мёбиуса.
• Сферические пространственные формы:
  • Сфера ${\mathbb{S}}^n$${\mathbb {S}}^{n}$  в ${\mathbb{E}}^{n+1}$$\mathbb {E} ^{n+1}$  радиуса $r>0$$r>0$  есть сферическая пространственная форма кривизны $k=1/r^2$$k=1/r^{2}$ .
  • Линзовое пространство с метрикой постоянной кривизны
  • Сфера Пуанкаре с метрикой постоянной кривизны
  • Вещественное проективное пространство с метрикой постоянной кривизны
• Гиперболические пространственные формы:
  • Пространство Лобачевского ${\mathbb{H}}^n$$\mathbb {H} ^{n}$ .
  • Двумерную ориентированную компактную гипрболическую пространственную форму рода $m$$m$  можно склеить из выпуклого $4m$$4m$ -угольника в плоскости Лобачевского с попарно равными сторонами и суммой углов равной $2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}$$2\pi$ . Семейство неизоморфных компактных гиперболических пространственных форм размерности $2$$2$  рода $m$$m$  зависит от $6m-<!--\; -\; -->6$$6m-6$  вещественных параметров.
  • Примеры гиперболических пространственных форм приведены в.

Общие свойстваПравить

• При произвольном $n$$n$  и $k$$k$  существует единственная с точностью до изометрии $n$$n$ -мерная односвязная пространственная форма $M_k^n$$M_{k}^{n}$  кривизны $k$$k$ . Если $k>0$$k>0$  то это $n$$n$ -мерная сфера радиуса $1/\sqrt{k}$$1/{\sqrt {k}}$ , при $k=0$$k=0$  это евклидово пространство и при $k<0$  это $n$$n$ -мерное пространство Лобачевского.
  • Универсальное накрытие любой $n$$n$ -мерной пространственной формы кривизны $k$$k$  с поднятой метрикой изометрично $M_k^n$$M_{k}^{n}$ .
  • Иначе говоря, любая $n$$n$ -мерная пространственная форма кривизны $k$$k$  может быть получена из $M_k^n$$M_{k}^{n}$  факторизацией по дискретной группе $\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}$$\Gamma$  движений, действующих свободно (то есть без неподвижных точек); при этом два пространства $L=M_k^n/\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}$$L=M_{k}^{n}/\Gamma$  и $L^{\prime }=M_k^n/{\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}}^{\prime }$$L'=M_{k}^{n}/\Gamma '$  изометричны в том и только в том случае, когда $\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}$$\Gamma$  и ${\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}}^{\prime }$$\Gamma '$  сопряжены в группе всех движений $M_k^n$$M_{k}^{n}$ . Тем самым проблема классификации пространственных форм сводится к задаче описания всех несопряженных групп движений пространств ${\mathbb{S}}^n$${\mathbb {S}}^{n}$ , ${\mathbb{E}}^n$$\mathbb {E} ^{n}$  и ${\mathbb{H}}^n$$\mathbb {H} ^{n}$ , действующих дискретно и свободно.

Свойства сферических пространственных формПравить

Исчерпывающая классификация сферических пространственных форм получена в

• Если $n$$n$  чётно, то единственным движением сферы ${\mathbb{S}}^n$${\mathbb {S}}^{n}$  без неподвижных точек является центральная симметрия, переводящая каждую точку сферы в диаметрально противоположную. Факторпространство $\mathbb{R}{\mathrm{P}}^n={\mathbb{S}}^n/\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}$$\mathbb {R} \mathrm {P} ^{n}=\mathbb {S} ^{n}/\Gamma$  по группе $\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}$$\Gamma$ , порожденное этим движением, есть вещественная проективная плоскость с метрикой постоянной кривизны (также называется пространство Римана или эллиптическое пространство). В частности
  • Любая сферическая пространственная форма чётной размерности $n$$n$  изометрична либо ${\mathbb{S}}^n$${\mathbb {S}}^{n}$ , либо $\mathbb{R}{\mathrm{P}}^n$$\mathbb {R} \mathrm {P} ^{n}$ .
• Любая конечная циклическая группа может служить фундаментальной группой сферической пространственной формы (см. линзовое пространство).
• Чтобы нециклическая группа порядка $N$$N$  могла служить фундаментальной группой $n$$n$ -мерной сферической пространственной формы, необходимо (но не достаточно), чтобы $N$$N$  было взаимно просто с $n+1$$n+1$  и делилось на квадрат какого-либо целого числа.

Свойства eвклидовых пространственных формПравить

Фундаментальные группы компактных eвклидовых пространственных форм являются частным случаем кристаллографических групп.

Теорема Бибербаха о кристаллографической группе приводит к структурной теории компактных евклидовых пространственных форм произвольной размерности:

• Для любого $n\ge <!--\; \ge \; -->2$$n\geq 2$  существует только конечное число разных классов аффинно не эквивалентных компактных евклидовых пространственных форм размерности $n$$n$ .
• Две компактные евклидовы пространственные формы $M={\mathbb{E}}^n/\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}$$M=\mathbb {E} ^{n}/\Gamma$  и $M^{\prime }={\mathbb{E}}^n/{\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}}^{\prime }$$M'=\mathbb {E} ^{n}/\Gamma '$  аффинно эквивалентны, тогда и только тогда, когда их фундаментальные группы $\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}$$\Gamma$  и ${\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}}^{\prime }$$\Gamma '$  изоморфны.
  • Например, любая двумерная компактная евклидова пространственная форма гомеоморфна (а следовательно, аффинно эквивалентна) либо плоскому тору, либо плоской бутылке Клейна.
• Абстрактная группа $\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}$$\Gamma$  тогда и только тогда может служить фундаментальной группой компактной eвклидовой пространственной формы $M^n$$M^{n}$ , когда
  1. $\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}$$\Gamma$  имеет нормальную абелеву подгруппу ${\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}}^{\ast <!--\; \ast \; -->}$$\Gamma ^{*}$  конечного индекса, изоморфную ${\mathbb{Z}}^n$$\mathbb{Z } ^{n}$ ;
  2. ${\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}}^{\ast <!--\; \ast \; -->}$$\Gamma ^{*}$  совпадает со своим централизатором в $\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}$$\Gamma$ ;
  3. $\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}$$\Gamma$  не имеет элементов конечного порядка.
  • Если такая группа $\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}$$\Gamma$  реализована в виде дискретной подгруппы в группе всех движений пространства ${\mathbb{E}}^n$$\mathbb {E} ^{n}$ , то ${\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}}^{\ast <!--\; \ast \; -->}$$\Gamma ^{*}$  совпадает с множеством параллельных сдвигов, принадлежащих $\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}$$\Gamma$ , и имеется нормальное накрытие пространства $M$$M$  плоским тором ${\mathbb{T}}^n={\mathbb{E}}^n/{\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}}^{\ast <!--\; \ast \; -->}$$\mathbb {T} ^{n}=\mathbb {E} ^{n}/\Gamma ^{*}$ .
  • Конечная группа $\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}/{\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}}^{\ast <!--\; \ast \; -->}$$\Gamma /\Gamma ^{*}$  изоморфна группе голономии пространства $M^n$$M^{n}$ .
• Компактная евклидова пространственная форма всегда имеет конечную группу голономии.
  • Справедливо и обратное утверждение: компактное риманово пространство, группа голономии которого конечна, является плоским.
• Любая конечная группа изоморфна группе голономии некоторой компактной евклидовой пространственной формы.
• Любая некомпактная евклидова пространственная форма допускает вещественноаналитическую ретракцию на компактное вполне геодезическое плоское подмногообразие (см. теорема о душе).
  • В частности класс фундаментальных групп некомпактных eвклидовых пространственных форм совпадает с классом фундаментальных групп компактных евклидовых пространственных форм.

Свойства гиперболических пространственных формПравить

• Компактные гиперболические пространственные формы размерности $n\ge <!--\; \ge \; -->3$$n\geq 3$ , имеющие изоморфные фундаментальные группы, изометричны.

ИсторияПравить

Исследование двумерных гиперболических пространственных форм по существу началось в 1888, когда Пуанкаре изучая дискретные группы дробно-линейных преобразований комплексной полуплоскости $Im(z)>0$$Im(z)>0$  — фуксовы группы, заметил, что их можно трактовать как группы движений плоскости Лобачевского.

Проблема классификации $n$$n$ -мерных римановых пространств произвольной постоянной кривизны была сформулирована Киллнигом (нем.), который назвал её проблемой пространственных форм Клиффорда — Клейна; современная формулировка этой проблемы была дана Хопфом (1925).

Вариации и обобщенияПравить

Кроме римановых пространственных форм изучались их обобщения: псевдоримановы, аффинные и комплексные пространственные формы и пространственные формы симметрических пространств.