Многочлены Лежандра

Многочлен Лежа́ндра — многочлен, который в наименьшей степени отклоняется от нуля в смысле среднего квадратического. Образует ортогональную систему многочленов на отрезке $[-<!--\; -\; -->1,1]$$[-1,\;1]$ в пространстве $L^2$$L^{2}$. Многочлены Лежандра могут быть получены из многочленов $\{1,x,x^2,x^3,\dots <!--\; \dots \; -->\}$$\{1,\;x,\;x^{2},\;x^{3},\;\ldots \}$ ортогонализацией Грама ― Шмидта.

Многочлены Лежандра
Общая информация
Формула	$P_n(z)=\frac{1}{2^{n}n!}\frac{d^n}{d{z}^n}(z^2-<!--\; -\; -->1{)}^n$$P_{n}(z)={\frac {1}{2^{n}n!}}{\frac {d^{n}}{dz^{n}}}(z^{2}-1)^{n}$
Скалярное произведение	$(f,g)=\underset{-<!--\; -\; -->1}{\overset{1}{\int <!--\; \int \; -->}}f(x)g(x)dx$$(f,\;g)=\int \limits _{-1}^{1}{f(x)g(x)\,dx}$
Область определения	$[-<!--\; -\; -->1,1]$$[-1,\;1]$
Дополнительные характеристики
Дифференциальное уравнение	$(1-<!--\; -\; -->z^2)\frac{{\mathrm{d}}^{2}u}{\mathrm{d}{z}^2}-<!--\; -\; -->2z\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}z}+n(n+1)u=0$$(1-z^{2}){\frac {{\mathrm d}^{2}u}{{\mathrm d}z^{2}}}-2z{\frac {{\mathrm d}u}{{\mathrm d}z}}+n(n+1)u=0$
Норма	$\Vert <!--\; \Vert \; -->P_n(x)\Vert <!--\; \Vert \; -->=\sqrt{\frac{2}{2n+1}}$$\|P_{n}(x)\|={\sqrt {\frac {2}{2n+1}}}$
Названы в честь	Лежандр, Адриен Мари

Названы по имени французского математика Адриен Мари Лежандра.

ОпределениеПравить

Полиномы Лежандра и присоединённые функции Лежандра первого и второго родаПравить

Рассмотрим дифференциальное уравнение вида

$(1-<!--\; -\; -->z^2)\frac{{\mathrm{d}}^{2}u}{\mathrm{d}{z}^2}-<!--\; -\; -->2z\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}z}+n(n+1)u=0,$$(1-z^{2}){\frac {{\mathrm d}^{2}u}{{\mathrm d}z^{2}}}-2z{\frac {{\mathrm d}u}{{\mathrm d}z}}+n(n+1)u=0,$

(1)

где $z$$z$  — комплексная переменная. Решения этого уравнения при целых $n$$n$  имеют вид многочленов, называемых многочленами Лежандра. Полином Лежандра степени $n$$n$  можно представить через формулу Родрига в виде

$P_n(z)=\frac{1}{2^{n}n!}\frac{d^n}{d{z}^n}(z^2-<!--\; -\; -->1{)}^n.$$P_{n}(z)={\frac {1}{2^{n}n!}}{\frac {d^{n}}{dz^{n}}}(z^{2}-1)^{n}.$ 

Часто вместо $z$$z$  записывают косинус полярного угла:

$P_n(\cos <!--\; \; -->\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->})=\frac{1}{2^{n}n!}\frac{d^n}{d(\cos <!--\; \; -->\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}{)}^n}({\cos }^2<!--\; \; -->\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}-<!--\; -\; -->1{)}^n.$$P_{n}(\cos \theta )={\frac {1}{2^{n}n!}}{\frac {d^{n}}{d(\cos \theta )^{n}}}(\cos ^{2}\theta -1)^{n}.$ 

Уравнение (1) можно получить из частного случая гипергеометрического уравнения, называемого уравнением Лежандра

$(1-<!--\; -\; -->z^2)\frac{{\mathrm{d}}^{2}u}{\mathrm{d}{z}^2}-<!--\; -\; -->2z\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}z}+\left[\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}(\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}+1)-<!--\; -\; -->\frac{{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}^2}{1-<!--\; -\; -->z^2}\right]u=0,$$(1-z^{2}){\frac {{\mathrm d}^{2}u}{{\mathrm d}z^{2}}}-2z{\frac {{\mathrm d}u}{{\mathrm d}z}}+\left[\nu (\nu +1)-{\frac {\mu ^{2}}{1-z^{2}}}\right]u=0,$

(2)

где $\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}$$\mu$ , $\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}$$\nu$  — произвольные комплексные постоянные. Интерес представляют его решения, являющиеся однозначными и регулярными при $|z|<1$  (в частности, при действительных $z$$z$ ) или когда действительная часть числа $z$$z$  больше единицы. Его решения называют присоединёнными функциями Лежандра или сферическими функциями (гармониками). Подстановка вида $w=(z^2-<!--\; -\; -->1{)}^{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}/2}$$w=(z^{2}-1)^{{\mu /2}}$  в (2) даёт уравнение Гаусса, решение которого в области $|1-z|<2$  принимает вид

$w=P_{\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}^{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}(z)=\frac{1}{\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}(1-<!--\; -\; -->\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->})}{\left(\frac{z+1}{z-<!--\; -\; -->1}\right)}^{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}/2}F\left(-<!--\; -\; -->\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->},\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}+1;1-<!--\; -\; -->\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->};\frac{1}{2}-<!--\; -\; -->\frac{z}{2}\right),$$w=P_{\nu }^{\mu }(z)={\frac {1}{\Gamma (1-\mu )}}\left({\frac {z+1}{z-1}}\right)^{\mu /2}F\left(-\nu ,\;\nu +1;\;1-\mu ;\;{\frac {1}{2}}-{\frac {z}{2}}\right),$ 

где $F$$F$  — гипергеометрическая функция. Подстановка $w=z^2$$w=z^{2}$  в (2) приводит к решению вида

$w=Q_{\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}^{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}(z)=e^{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}i\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{2}^{-<!--\; -\; -->\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}-<!--\; -\; -->1}\sqrt{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}\frac{\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}(\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}+\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}+1)}{\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}(\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}+3/2)}{z}^{-<!--\; -\; -->\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}-<!--\; -\; -->\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}-<!--\; -\; -->1}(z^2-<!--\; -\; -->1{)}^{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}/2}F\left(\frac{\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}{2}+\frac{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}{2}+1,\frac{\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}{2}+\frac{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}{2}+\frac{1}{2};\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}+\frac{3}{2};z^{-<!--\; -\; -->2}\right),$$w=Q_{\nu }^{\mu }(z)=e^{\mu i\pi }2^{-\nu -1}{\sqrt {\pi }}{\frac {\Gamma (\nu +\mu +1)}{\Gamma (\nu +3/2)}}z^{-\nu -\mu -1}(z^{2}-1)^{\mu /2}F\left({\frac {\nu }{2}}+{\frac {\mu }{2}}+1,\;{\frac {\nu }{2}}+{\frac {\mu }{2}}+{\frac {1}{2}};\;\nu +{\frac {3}{2}};\;z^{-2}\right),$ 

определённым на $|z|>1$$|z|>1$ . Функции $P_{\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}^{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}(z)$$P_{\nu }^{\mu }(z)$  и $Q_{\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}^{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}(z)$$Q_{\nu }^{\mu }(z)$  называют функциями Лежандра первого и второго рода.

Справедливы соотношения

$P_{\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}^{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}(z)=P_{-<!--\; -\; -->\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}-<!--\; -\; -->1}^{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}(z)$$P_{\nu }^{\mu }(z)=P_{{-\nu -1}}^{\mu }(z)$ 

и

$Q_{\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}^{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}(z)\sin <!--\; \; -->\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}(\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}+\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->})-<!--\; -\; -->Q_{-<!--\; -\; -->\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}-<!--\; -\; -->1}^{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}(z)\sin <!--\; \; -->\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}(\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}-<!--\; -\; -->\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->})=\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}{e}^{i\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}\cos <!--\; \; -->(\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->})P_{\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}^{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}(z).$$Q_{\nu }^{\mu }(z)\sin \pi (\nu +\mu )-Q_{{-\nu -1}}^{\mu }(z)\sin \pi (\nu -\mu )=\pi e^{{i\mu \pi }}\cos(\nu \pi )P_{\nu }^{\mu }(z).$ 

Выражение через суммыПравить

Многочлены Лежандра также определяются по следующей формуле:

$P_n(x)=\frac{1}{2^n}\underset{k=0}{\overset{E(n/2)}{\sum <!--\; \sum \; -->}}(-<!--\; -\; -->1{)}^k(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n-<!--\; -\; -->2k}{n})x^{n-<!--\; -\; -->2k}.$$P_{n}(x)={\frac {1}{2^{n}}}\sum _{k=0}^{E(n/2)}(-1)^{k}{\binom {n}{k}}{\binom {2n-2k}{n}}x^{n-2k}.$ 

Рекуррентная формулаПравить

Они также могут быть вычислены по рекуррентной формуле (при $n⩾<!--\; ⩾\; -->1$$n\geqslant 1$ ):

$P_{n+1}(x)=\frac{2n+1}{n+1}x{P}_n(x)-<!--\; -\; -->\frac{n}{n+1}{P}_{n-<!--\; -\; -->1}(x),$$P_{n+1}(x)={\frac {2n+1}{n+1}}xP_{n}(x)-{\frac {n}{n+1}}P_{n-1}(x),$

(3)

причём первые две функции имеют вид

$P_0(x)=1,$$P_{0}(x)=1,$ 

$P_1(x)=x.$$P_{1}(x)=x.$ 

Производная полинома ЛежандраПравить

Вычисляется по формуле

$P_n^{\prime }(x)=\frac{n}{1-<!--\; -\; -->x^2}[P_{n-<!--\; -\; -->1}(x)-<!--\; -\; -->x{P}_n(x)].$$P'_{n}(x)={\frac {n}{1-x^{2}}}[P_{n-1}(x)-xP_{n}(x)].$

(4)

Корни полинома ЛежандраПравить

Вычисляются итеративно по методу Ньютона:

$x_i^{(k+1)}=x_i^{(k)}-<!--\; -\; -->\frac{P_n(x_i^{(k)})}{P_n^{\prime }(x_i^{(k)})},$$x_{i}^{(k+1)}=x_{i}^{(k)}-{\frac {P_{n}(x_{i}^{(k)})}{P'_{n}(x_{i}^{(k)})}},$ 

причём начальное приближение для $i$$i$ -го корня ($i=1,2,\dots <!--\; \dots \; -->,n$$i=1,\;2,\;\ldots ,\;n$ ) берётся по формуле

$x_i^{(0)}=\cos <!--\; \; -->\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}(4i-<!--\; -\; -->1)}{4n+2}.$$x_{i}^{(0)}=\cos {\frac {\pi (4i-1)}{4n+2}}.$ 

Значение полинома можно вычислять, используя рекуррентную формулу для конкретного значения x. Производную также можно вычислять для конкретного значения x, используя формулу для производной.

Формулы с разложениямиПравить

Многочлены Лежандра также определяются следующими разложениями:

$(1-<!--\; -\; -->2tx+t^2{)}^{-<!--\; -\; -->\frac{1}{2}}=\underset{n=0}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{P}_n(x)t^n$$(1-2tx+t^{2})^{-{\frac {1}{2}}}=\sum _{n=0}^{\infty }P_{n}(x)t^{n}$    для   $|t|<\min \left|x\pm {\sqrt {x^{2}-1}}\right|,$ 

$(1-<!--\; -\; -->2tx+t^2{)}^{-<!--\; -\; -->\frac{1}{2}}=\underset{n=0}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{P}_n(x)\frac{1}{t^{n+1}}$$(1-2tx+t^{2})^{-{\frac {1}{2}}}=\sum _{n=0}^{\infty }P_{n}(x){\frac {1}{t^{n+1}}}$    для   $|t|>max\left|x\pm <!--\; \pm \; -->\sqrt{x^2-<!--\; -\; -->1}\right|.$$|t|>\max \left|x\pm {\sqrt {x^{2}-1}}\right|.$ 

Следовательно,

$P_n(x)=\frac{(2n)!}{2^n(n!{)}^2}\left[x^n-<!--\; -\; -->\frac{n(n-<!--\; -\; -->1)}{2(2n-<!--\; -\; -->1)}{x}^{n-<!--\; -\; -->2}+\frac{n(n-<!--\; -\; -->1)(n-<!--\; -\; -->2)(n-<!--\; -\; -->3)}{2\cdot <!--\; \cdot \; -->4(2n-<!--\; -\; -->1)(2n-<!--\; -\; -->3)}{x}^{n-<!--\; -\; -->4}-<!--\; -\; -->\dots <!--\; \dots \; -->\right].$$P_{n}(x)={\frac {(2n)!}{2^{n}(n!)^{2}}}\left[x^{n}-{\frac {n(n-1)}{2(2n-1)}}x^{n-2}+{\frac {n(n-1)(n-2)(n-3)}{2\cdot 4(2n-1)(2n-3)}}x^{n-4}-\ldots \right].$ 

Присоединённые многочлены ЛежандраПравить

Присоединённые многочлены Лежандра определяются по формуле

$P_n^m(x)=(1-<!--\; -\; -->x^2{)}^{m/2}\frac{d^m}{d{x}^m}{P}_n(x),$$P_{n}^{m}(x)=(1-x^{2})^{m/2}{\frac {d^{m}}{dx^{m}}}P_{n}(x),$ 

которую также можно представить в виде

$P_n^m(\cos <!--\; \; -->\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->})={\sin }^m<!--\; \; -->\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}\frac{d^m}{d(\cos <!--\; \; -->\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}{)}^m}{P}_n(\cos <!--\; \; -->\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}).$$P_{n}^{m}(\cos \theta )=\sin ^{m}\theta {\frac {d^{m}}{d(\cos \theta )^{m}}}P_{n}(\cos \theta ).$ 

При $m=0$$m=0$  функция $P_n^m$$P_{n}^{m}$  совпадает с $P_n$$P_{n}$ .

Нормировка по правилу ШмидтаПравить

Нормированные по правилу Шмидта полиномы Лежандра выглядят следующим образом:

$S{P}_n^0(x)=P_n^0(x),$$SP_{n}^{0}(x)=P_{n}^{0}(x),$ 

$S{P}_n^m(x)=(-<!--\; -\; -->1{)}^m{\left(\frac{2(n-<!--\; -\; -->m)!}{(n+m)!}\right)}^{1/2}{P}_n^m(x).$$SP_{n}^{m}(x)=(-1)^{m}\left({\frac {2(n-m)!}{(n+m)!}}\right)^{1/2}P_{n}^{m}(x).$ 

Сдвинутые многочлены ЛежандраПравить

Сдвинутые многочлены Лежандра определяются как $\stackrel{~<!--\; ~\; -->}{P_n}(x)=P_n(2x-<!--\; -\; -->1)$${\tilde {P_{n}}}(x)=P_{n}(2x-1)$ , где сдвигающая функция $x\mapsto <!--\; \mapsto \; -->2x-<!--\; -\; -->1$$x\mapsto 2x-1$  (это аффинное преобразование) выбрана так, чтобы однозначно отображать интервал ортогональности многочленов $[-<!--\; -\; -->1,1]$$[-1,\;1]$  на интервал $[0,1]$$[0,\;1]$ , в котором уже ортогональны сдвинутые многочлены $\stackrel{~<!--\; ~\; -->}{P_n}(x)$${\tilde {P_{n}}}(x)$ :

${\int <!--\; \int \; -->}_0^1\stackrel{~<!--\; ~\; -->}{P_m}(x)\stackrel{~<!--\; ~\; -->}{P_n}(x)dx=\frac{1}{2n+1}{\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}}_{mn}.$$\int \nolimits _{0}^{1}{\tilde {P_{m}}}(x){\tilde {P_{n}}}(x)\,dx={\frac {1}{2n+1}}\delta _{mn}.$ 

Явное выражение для смещённых многочленов Лежандра задаётся как

$\stackrel{~<!--\; ~\; -->}{P_n}(x)=(-<!--\; -\; -->1{)}^n\underset{k=0}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+k}{k})(-<!--\; -\; -->x{)}^k.$${\tilde {P_{n}}}(x)=(-1)^{n}\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}{\binom {n+k}{k}}(-x)^{k}.$ 

Аналогом формулы Родрига для смещенных многочленов Лежандра является

$\stackrel{~<!--\; ~\; -->}{P_n}(x)=\frac{1}{n!}\frac{d^n}{d{x}^n}\left[(x^2-<!--\; -\; -->x{)}^n\right].$${\tilde {P_{n}}}(x)={\frac {1}{n!}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\left[(x^{2}-x)^{n}\right].$ 

Выражения для некоторых первых сдвинутых многочленов Лежандра:

n	$\stackrel{~<!--\; ~\; -->}{P_n}(x)$${\tilde {P_{n}}}(x)$
0	$1$$1$
1	$2x-<!--\; -\; -->1$$2x-1$
2	$6x^2-<!--\; -\; -->6x+1$$6x^{2}-6x+1$
3	$20x^3-<!--\; -\; -->30x^2+12x-<!--\; -\; -->1$$20x^{3}-30x^{2}+12x-1$
4	$70x^4-<!--\; -\; -->140x^3+90x^2-<!--\; -\; -->20x+1$$70x^{4}-140x^{3}+90x^{2}-20x+1$

Матрица функции многочлена ЛежандраПравить

${\begin{pmatrix}0&0&-2&0&0&\vdots &0&\vdots &0\\0&2&0&-6&0&\vdots &0&\vdots &\vdots \\0&0&6&0&-12&\vdots &0&\vdots &\vdots \\0&0&0&12&0&\vdots &0&\vdots &\vdots \\0&0&0&0&20&\vdots &0&\vdots &\vdots \\\dots &\dots &\dots &\dots &\dots &\ddots &\vdots &\dots &\vdots \\0&0&0&0&0&\dots &k(k+1)&\dots &\vdots \\\dots &\dots &\dots &\dots &\dots &\dots &\dots &\ddots &\vdots \\0&0&0&0&0&\dots &0&\dots &n(n+1)\\\end{pmatrix}}$ 

Эта матрица является верхнетреугольной. Её определитель равен нулю, а собственные значения равны $k(k+1)$$k(k+1)$ , где $k\in <!--\; \in \; -->\{0,1,2,3,\dots <!--\; \dots \; -->,n\}$$k\in \{0,\;1,\;2,\;3,\;\ldots ,\;n\}$ .

ПримерыПравить

 

Первые 6 многочленов Лежандра

Первые многочлены Лежандра в явном виде:

$P_0(x)=1,$$P_{0}(x)=1,$ 

$P_1(x)=x,$$P_{1}(x)=x,$ 

$P_2(x)=\frac{1}{2}(3x^2-<!--\; -\; -->1),$$P_{2}(x)={\frac {1}{2}}(3x^{2}-1),$ 

$P_3(x)=\frac{1}{2}(5x^3-<!--\; -\; -->3x),$$P_{3}(x)={\frac {1}{2}}(5x^{3}-3x),$ 

$P_4(x)=\frac{1}{8}(35x^4-<!--\; -\; -->30x^2+3),$$P_{4}(x)={\frac {1}{8}}(35x^{4}-30x^{2}+3),$ 

$P_5(x)=\frac{1}{8}(63x^5-<!--\; -\; -->70x^3+15x),$$P_{5}(x)={\frac {1}{8}}(63x^{5}-70x^{3}+15x),$ 

$P_6(x)=\frac{1}{16}(231x^6-<!--\; -\; -->315x^4+105x^2-<!--\; -\; -->5),$$P_{6}(x)={\frac {1}{16}}(231x^{6}-315x^{4}+105x^{2}-5),$ 

$P_7(x)=\frac{1}{16}(429x^7-<!--\; -\; -->693x^5+315x^3-<!--\; -\; -->35x),$$P_{7}(x)={\frac {1}{16}}(429x^{7}-693x^{5}+315x^{3}-35x),$ 

$P_8(x)=\frac{1}{128}(6435x^8-<!--\; -\; -->12012x^6+6930x^4-<!--\; -\; -->1260x^2+35),$$P_{8}(x)={\frac {1}{128}}(6435x^{8}-12\,012x^{6}+6930x^{4}-1260x^{2}+35),$ 

$P_9(x)=\frac{1}{128}(12155x^9-<!--\; -\; -->25740x^7+18018x^5-<!--\; -\; -->4620x^3+315x),$$P_{9}(x)={\frac {1}{128}}(12\,155x^{9}-25\,740x^{7}+18\,018x^{5}-4620x^{3}+315x),$ 

$P_{10}(x)=\frac{1}{256}(46189x^{10}-<!--\; -\; -->109395x^8+90090x^6-<!--\; -\; -->30030x^4+3465x^2-<!--\; -\; -->63),$$P_{10}(x)={\frac {1}{256}}(46\,189x^{10}-109\,395x^{8}+90\,090x^{6}-30\,030x^{4}+3465x^{2}-63),$ 

$P_{11}(x)=\frac{1}{256}(88179x^{11}-<!--\; -\; -->230945x^9+218790x^7-<!--\; -\; -->90090x^5+15015x^3-<!--\; -\; -->693x),$$P_{11}(x)={\frac {1}{256}}(88\,179x^{11}-230\,945x^{9}+218\,790x^{7}-90\,090x^{5}+15\,015x^{3}-693x),$ 

$P_{12}(x)=\frac{1}{1024}(676039x^{12}-<!--\; -\; -->1939938x^{10}+2078505x^8-<!--\; -\; -->1021020x^6+225225x^4-<!--\; -\; -->18018x^2+231),$$P_{12}(x)={\frac {1}{1024}}(676\,039x^{12}-1\,939\,938x^{10}+2\,078\,505x^{8}-1\,021\,020x^{6}+225\,225x^{4}-18\,018x^{2}+231),$ 

$P_{13}(x)=\frac{1}{1024}(1300075x^{13}-<!--\; -\; -->4056234x^{11}+4849845x^9-<!--\; -\; -->2771340x^7+765765x^5-<!--\; -\; -->90090x^3+3003x),$$P_{13}(x)={\frac {1}{1024}}(1\,300\,075x^{13}-4\,056\,234x^{11}+4\,849\,845x^{9}-2\,771\,340x^{7}+765\,765x^{5}-90\,090x^{3}+3003x),$ 

$P_{14}(x)=\frac{1}{2048}(5014575x^{14}-<!--\; -\; -->16900975x^{12}+22309287x^{10}-<!--\; -\; -->14549535x^8+4849845x^6-<!--\; -\; -->765765x^4+45045x^2-<!--\; -\; -->429),$$P_{14}(x)={\frac {1}{2048}}(5\,014\,575x^{14}-16\,900\,975x^{12}+22\,309\,287x^{10}-14\,549\,535x^{8}+4\,849\,845x^{6}-765\,765x^{4}+45\,045x^{2}-429),$ 

$P_{15}(x)=\frac{1}{2048}(9694845x^{15}-<!--\; -\; -->35102025x^{13}+50702925x^{11}-<!--\; -\; -->37182145x^9+14549535x^7-<!--\; -\; -->2909907x^5+255255x^3-<!--\; -\; -->6435x),$$P_{15}(x)={\frac {1}{2048}}(9\,694\,845x^{15}-35\,102\,025x^{13}+50\,702\,925x^{11}-37\,182\,145x^{9}+14\,549\,535x^{7}-2\,909\,907x^{5}+255\,255x^{3}-6435x),$ 

$P_{16}(x)=\frac{1}{32768}(300540195x^{16}-<!--\; -\; -->1163381400x^{14}+1825305300x^{12}-<!--\; -\; -->1487285800x^{10}+669278610x^8-<!--\; -\; -->162954792x^6+19399380x^4-<!--\; -\; -->875160x^2+6435),$$P_{16}(x)={\frac {1}{32768}}(300540195x^{16}-1163381400x^{14}+1825305300x^{12}-1487285800x^{10}+669278610x^{8}-162954792x^{6}+19399380x^{4}-875160x^{2}+6435),$ 

$P_{17}(x)=\frac{1}{32768}(583401555x^{17}-<!--\; -\; -->2404321560x^{15}+4071834900x^{13}-<!--\; -\; -->3650610600x^{11}+1859107250x^9-<!--\; -\; -->535422888x^7+81477396x^5-<!--\; -\; -->5542680x^3+109395x).$$P_{17}(x)={\frac {1}{32768}}(583\,401\,555x^{17}-2\,404\,321\,560x^{15}+4\,071\,834\,900x^{13}-3\,650\,610\,600x^{11}+1\,859\,107\,250x^{9}-535\,422\,888x^{7}+81\,477\,396x^{5}-5\,542\,680x^{3}+109\,395x).$ 

Поскольку $P_n(1)=1$$P_{n}(1)=1$ , то

$P_n(x)=\frac{{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}_0+{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}_{1}x+{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}_2{x}^2+\dots <!--\; \dots \; -->+{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}_n{x}^n}{{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}_0+{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}_1+\dots <!--\; \dots \; -->+{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}_n}=\frac{\underset{i=0}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}_i{x}^i}{\underset{i=0}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}_i}.$$P_{n}(x)={\frac {\lambda _{0}+\lambda _{1}x+\lambda _{2}x^{2}+\ldots +\lambda _{n}x^{n}}{\lambda _{0}+\lambda _{1}+\ldots +\lambda _{n}}}={\frac {\sum \limits _{i=0}^{n}\lambda _{i}x^{i}}{\sum \limits _{i=0}^{n}\lambda _{i}}}.$ 

СвойстваПравить

• Если $n\ne <!--\; \ne \; -->0$$n \neq 0$ , то $\forall x\in (-1,\;1)\quad |P_{n}(x)|<1.$ 
• Для $n\ne <!--\; \ne \; -->0$$n \neq 0$  степень $P_n$$P_{n}$  равна $n$$n$ .
• Сумма коэффициентов многочлена Лежандра $P_n(x)$$P_n(x)$  равна 1.
• Уравнение $P_n(x)=0$$P_{n}(x)=0$  имеет ровно $n$$n$  различных корней на отрезке $[-<!--\; -\; -->1,1].$$[-1,\;1].$ 
• Пусть $\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}n\in <!--\; \in \; -->\mathbb{N}{U}_n(x)=(x^2-<!--\; -\; -->1{)}^n$$\forall n\in \mathbb {N} \quad U_{n}(x)=(x^{2}-1)^{n}$ . Тогда

  $U_{n+1}^{\prime }(x)-<!--\; -\; -->2(n+1)x{U}_n(x)=0,$$U'_{n+1}(x)-2(n+1)xU_{n}(x)=0,$ 

  $(x^2-<!--\; -\; -->1)U_n^{\prime }(x)-<!--\; -\; -->2nx{U}_n(x)=0.$$(x^{2}-1)U'_{n}(x)-2nxU_{n}(x)=0.$ 

• Присоединённые многочлены Лежандра являются решениями дифференциального уравнения

  $\frac{d}{dx}\left[(1-<!--\; -\; -->x^2)\frac{d}{dx}{P}_n(x)\right]-<!--\; -\; -->\frac{m^2}{(1-<!--\; -\; -->x^2)}{P}_n(x)+n(n+1)P_n(x)=0.$${\frac {d}{dx}}\left[(1-x^{2}){\frac {d}{dx}}P_{n}(x)\right]-{\frac {m^{2}}{(1-x^{2})}}P_{n}(x)+n(n+1)P_{n}(x)=0.$ 

При $m=0$$m=0$  уравнение принимает вид

$P_{n+1}^{\prime }(x)=x{P}_n^{\prime }(x)+(n+1)P_n(x).$$P'_{n+1}(x)=xP'_{n}(x)+(n+1)P_{n}(x).$ 

• Производящая функция для многочленов Лежандра равна

  $\underset{n=0}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{P}_n(z)x^n=\frac{1}{\sqrt{1-<!--\; -\; -->2xz+x^2}}.$$\sum _{n=0}^{\infty }P_{n}(z)x^{n}={\frac {1}{\sqrt {1-2xz+x^{2}}}}.$ 

• Условие ортогональности этих полиномов на отрезке $[-<!--\; -\; -->1,1]$$[-1,\;1]$ :

  $\underset{-<!--\; -\; -->1}{\overset{1}{\int <!--\; \int \; -->}}{P}_k(x)P_l(x)dx=\frac{2}{2k+1}{\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}}_{kl},$$\int \limits _{-1}^{1}P_{k}(x)P_{l}(x)\,dx={\frac {2}{2k+1}}\delta _{kl},$ 

где ${\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}}_{kl}$$\delta _{{kl}}$  — символ Кронекера.

• Для $n\in <!--\; \in \; -->\mathbb{N}$$n\in \mathbb {N}$  норма $P_n$$P_{n}$  равна

  $\Vert <!--\; \Vert \; -->P_n\Vert <!--\; \Vert \; -->=\sqrt{\underset{-<!--\; -\; -->1}{\overset{1}{\int <!--\; \int \; -->}}{P}_n^2(x)dx}=\sqrt{\frac{2}{2n+1}}.$$\|P_{n}\|={\sqrt {\int \limits _{-1}^{1}P_{n}^{2}(x)\,dx}}={\sqrt {\frac {2}{2n+1}}}.$ 

• Нормированная функция многочленов Лежандра связана с нормой $P_n$$P_{n}$  следующим соотношением:

  ${\stackrel{~<!--\; ~\; -->}{P}}_n(x)=\frac{P_n(x)}{\Vert <!--\; \Vert \; -->P_n\Vert <!--\; \Vert \; -->}=\sqrt{\frac{2n+1}{2}}{P}_n(x).$${\tilde {P}}_{n}(x)={\frac {P_{n}(x)}{\|P_{n}\|}}={\sqrt {\frac {2n+1}{2}}}P_{n}(x).$ 

• При каждом $m>0$$m>0$  система присоединённых функций Лежандра $P_n^m(x),n=m,m+1,\dots <!--\; \dots \; -->$$P_{n}^{m}(x),\ n=m,\;m+1,\;\ldots$  полна в $L_2(-<!--\; -\; -->1,1)$$L_{2}(-1,\;1)$ .
• В зависимости от $m$$m$  и $n$$n$  присоединённые многочлены Лежандра могут быть как чётными, так и нечётными функциями:

  $P_n^m(-<!--\; -\; -->x)=(-<!--\; -\; -->1{)}^{m+n}{P}_n^m(x).$$P_{n}^{m}(-x)=(-1)^{{m+n}}P_{n}^{m}(x).$ 

  $P_{2n}$$P_{2n}$  — чётная функция,

  $P_{2n+1}$$P_{2n+1}$  — нечётная функция.

• $P_n(1)=1.$$P_{n}(1)=1.$ 
• $P_n(-<!--\; -\; -->1)=(-<!--\; -\; -->1{)}^n.$$P_{n}(-1)=(-1)^{n}.$ 
• $P_{2n}(0)=\frac{1}{2^{2n}}\underset{k=0}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}(-<!--\; -\; -->1{)}^k(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n}{k})(\genfrac{}{}{0ex}{}{4n-<!--\; -\; -->2k}{2n})0^{2n-<!--\; -\; -->2k}=\frac{1}{2^{2n}}(-<!--\; -\; -->1{)}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n}{n})$$P_{2n}(0)={\frac {1}{2^{2n}}}\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{\binom {2n}{k}}{\binom {4n-2k}{2n}}0^{2n-2k}={\frac {1}{2^{2n}}}(-1)^{n}{\binom {2n}{n}}$ , поскольку $\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}k\ne <!--\; \ne \; -->n{0}^{2n-<!--\; -\; -->2k}=0$$\forall k\neq n\quad 0^{2n-2k}=0$ , а $0^{2n-<!--\; -\; -->2n}=1$$0^{2n-2n}=1$ .
• Для $n\ne <!--\; \ne \; -->0$$n \neq 0$  выполняется $P_{2n}(0)⩽<!--\; ⩽\; -->\frac{1}{\sqrt{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}n}}$$P_{2n}(0)\leqslant {\frac {1}{\sqrt {\pi n}}}$ .
• $\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}x\in <!--\; \in \; -->[-<!--\; -\; -->1,1],\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}n\in <!--\; \in \; -->{\mathbb{N}}^{\ast <!--\; \ast \; -->}|P_n(x)|⩽<!--\; ⩽\; -->\sqrt{\frac{2}{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}n(1-<!--\; -\; -->x^2)}}.$$\forall x\in [-1,\;1],\;\forall n\in \mathbb {N} ^{*}\quad |P_{n}(x)|\leqslant {\sqrt {\frac {2}{\pi n(1-x^{2})}}}.$ 

Ряды многочленов ЛежандраПравить

См. также: Сумма ряда

Разложение липшицевой функции в ряд многочленов ЛежандраПравить

Липшицевая функция $f$$f$  является функцией со свойством

$|f(x)-<!--\; -\; -->f(y)|⩽<!--\; ⩽\; -->L|x-<!--\; -\; -->y|$$|f(x)-f(y)|\leqslant L|x-y|$ , где $L>0$$L>0$ .

Эта функция разлагается в ряд многочленов Лежандра.

Пусть $\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}(I)$$\varepsilon (I)$  — пространство непрерывных отображений на отрезке $I=[-<!--\; -\; -->1,1]$$I=[-1,\;1]$ , $f\in <!--\; \in \; -->\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}(I)$$f\in \varepsilon (I)$ , и $n\in <!--\; \in \; -->\mathbb{N}$$n\in \mathbb {N}$ .

Пусть

$c_n(f)=\underset{-<!--\; -\; -->1}{\overset{1}{\int <!--\; \int \; -->}}f(x){\stackrel{~<!--\; ~\; -->}{P}}_n(x)dx,$$c_{n}(f)=\int \limits _{-1}^{1}f(x){\tilde {P}}_{n}(x)\,dx,$ 

тогда $c_n(f)$$c_{n}(f)$  удовлетворяет следующему условию:

$\underset{n\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{lim}{c}_n(f)=0.$$\lim _{n\to \infty }c_{n}(f)=0.$ 

Пусть $S_{n}f=\underset{k=0}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{c}_k(f){\stackrel{~<!--\; ~\; -->}{P}}_k$$S_{n}f=\sum _{k=0}^{n}c_{k}(f){\tilde {P}}_{k}$  и $S_{n}f$$S_{n}f$  удовлетворяет следующим условиям:

1. $\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}x\in <!--\; \in \; -->I{S}_{n}f(x)=\underset{-<!--\; -\; -->1}{\overset{1}{\int <!--\; \int \; -->}}{K}_n(x,y)f(y)dy$$\forall x\in I\quad S_{n}f(x)=\int \limits _{-1}^{1}K_{n}(x,\;y)f(y)\,dy$ , где $K_n(x,y)=\frac{n+1}{2}\frac{P_{n+1}(x)P_n(y)-<!--\; -\; -->P_{n+1}(y)P_n(x)}{x-<!--\; -\; -->y};$$K_{n}(x,\;y)={\frac {n+1}{2}}{\frac {P_{n+1}(x)P_{n}(y)-P_{n+1}(y)P_{n}(x)}{x-y}};$ 
2. $S_{n}f(x)-<!--\; -\; -->f(x)=\underset{-<!--\; -\; -->1}{\overset{1}{\int <!--\; \int \; -->}}{K}_n(x,y)(f(y)-<!--\; -\; -->f(x))dy;$$S_{n}f(x)-f(x)=\int \limits _{-1}^{1}K_{n}(x,\;y){\big (}f(y)-f(x){\big )}\,dy;$ 
3. $\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}x\in <!--\; \in \; -->[-<!--\; -\; -->1,1]\underset{n\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{lim}{S}_{n}f(x)=f(x).$$\forall x\in [-1,1]\quad \lim _{n\to \infty }S_{n}f(x)=f(x).$ 

Липшицеву функцию $f$$f$  можно записать следующим образом:

$f=\underset{n=0}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{c}_n(f){\stackrel{~<!--\; ~\; -->}{P}}_n.$$f=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}(f){\tilde {P}}_{n}.$ 

Разложение голоморфной функцииПравить

Всякая функция $f$$f$ , голоморфная внутри эллипса с фокусами −1 и +1, может быть представлена в виде ряда:

$f(x)=\underset{n=0}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}_n{P}_n(x).$$f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }\lambda _{n}P_{n}(x).$ 

Теорема сложенияПравить

Для величин, удовлетворяющих условиям $0\leqslant \psi _{1}<\pi$ , $0\leqslant \psi _{2}<\pi$ , $\psi _{1}+\psi _{2}<\pi$ , $\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}$$\varphi$  — действительное число, можно записать теорему сложения для полиномов Лежандра первого рода:

$P_k(\cos <!--\; \; -->{\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}_1\cos <!--\; \; -->{\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}_2+\sin <!--\; \; -->{\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}_1\sin <!--\; \; -->{\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}_2\cos <!--\; \; -->\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->})=P_k(\cos <!--\; \; -->{\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}_1)P_k(\cos <!--\; \; -->{\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}_2)+2\underset{m=1}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}(-<!--\; -\; -->1{)}^m{P}_k^{-<!--\; -\; -->m}(\cos <!--\; \; -->{\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}_1)P_k^m(\cos <!--\; \; -->{\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}_2)\cos <!--\; \; -->m\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->},$$P_{k}(\cos \psi _{1}\cos \psi _{2}+\sin \psi _{1}\sin \psi _{2}\cos \varphi )=P_{k}(\cos \psi _{1})P_{k}(\cos \psi _{2})+2\sum \limits _{m=1}^{\infty }(-1)^{m}P_{k}^{-m}(\cos \psi _{1})P_{k}^{m}(\cos \psi _{2})\cos m\varphi ,$ 

или, в альтернативной форме через гамма-функцию:

$P_k(\cos <!--\; \; -->{\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}_1\cos <!--\; \; -->{\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}_2+\sin <!--\; \; -->{\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}_1\sin <!--\; \; -->{\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}_2\cos <!--\; \; -->\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->})=P_k(\cos <!--\; \; -->{\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}_1)P_k(\cos <!--\; \; -->{\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}_2)+2\underset{m=1}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\frac{\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}(k-<!--\; -\; -->m+1)}{\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}(k+m+1)}{P}_k^m(\cos <!--\; \; -->{\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}_1)P_k^m(\cos <!--\; \; -->{\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}_2)\cos <!--\; \; -->m\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}.$$P_{k}(\cos \psi _{1}\cos \psi _{2}+\sin \psi _{1}\sin \psi _{2}\cos \varphi )=P_{k}(\cos \psi _{1})P_{k}(\cos \psi _{2})+2\sum \limits _{m=1}^{\infty }{\frac {\Gamma (k-m+1)}{\Gamma (k+m+1)}}P_{k}^{m}(\cos \psi _{1})P_{k}^{m}(\cos \psi _{2})\cos m\varphi .$ 

Для полиномов Лежандра второго рода теорема сложения выглядит как

$Q_k(\cos <!--\; \; -->{\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}_1\cos <!--\; \; -->{\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}_2+\sin <!--\; \; -->{\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}_1\sin <!--\; \; -->{\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}_2\cos <!--\; \; -->\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->})=P_k(\cos <!--\; \; -->{\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}_1)Q_k(\cos <!--\; \; -->{\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}_2)+2\underset{m=1}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}(-<!--\; -\; -->1{)}^m{P}_k^{-<!--\; -\; -->m}(\cos <!--\; \; -->{\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}_1)Q_k^m(\cos <!--\; \; -->{\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}_2)\cos <!--\; \; -->m\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}$$Q_{k}(\cos \psi _{1}\cos \psi _{2}+\sin \psi _{1}\sin \psi _{2}\cos \varphi )=P_{k}(\cos \psi _{1})Q_{k}(\cos \psi _{2})+2\sum \limits _{m=1}^{\infty }(-1)^{m}P_{k}^{-m}(\cos \psi _{1})Q_{k}^{m}(\cos \psi _{2})\cos m\varphi$ 

при условиях $0\leqslant \psi _{1}<\pi /2$ , $0\leqslant \psi _{2}<\pi$ , $\psi _{1}+\psi _{2}<\pi$ , $\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}$$\varphi$ .

Функции ЛежандраПравить

Основная статья: Сферические функции

Многочлены Лежандра (вместе с присоединёнными функциями Лежандра $P_{n,m}(x)$$P_{{n,\;m}}(x)$ ) естественно возникают в теории потенциала.

Шаровые функции — это функции (в сферических координатах $r,\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->},\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}$$r,\;\theta ,\;\varphi$ ) вида (с точностью до константы)

$r^n{P}_n^m(\cos <!--\; \; -->\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->})\cos <!--\; \; -->m\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}$$r^{n}P_{n}^{m}(\cos \theta )\cos m\varphi$  и $r^n{P}_n^m(\cos <!--\; \; -->\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->})\sin <!--\; \; -->m\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->},$$r^{n}P_{n}^{m}(\cos \theta )\sin m\varphi ,$ 

где $P_n^m$$P_{n}^{m}$  — присоединённые многочлены Лежандра. Они также представимы в виде $r^n{Y}_{nm}$$r^{n}Y_{nm}$ , где $Y_{nm}$$Y_{nm}$  — сферические функции.

Шаровые функции удовлетворяют уравнению Лапласа всюду в ${\mathbb{R}}^3$$\mathbb {R} ^{3}$ .

ЛитератураПравить

• Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции = Higher Transcendental Functions / Пер. Н. Я. Виленкина. — Изд. 2-е,. — М.: Наука, 1973. — Т. 1. — 296 с. — 14 000 экз.
• Владимиров В. С., Жаринов В. В. Уравнения математической физики. — М.: Физматлит, 2004. — ISBN 5-9221-0310-5.
• Градштейн И. С., Рыжик И. М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. — Изд. 4-е, перераб. — М.: Государственное издательство физико-математической литературы, 1963. — 19 000 экз.
• Кампе де Ферье Ж., Кемпбелл Р., Петьо Г., Фогель Т. Функции математической физики. — М.: Физматлит, 1963.
• Никольский С. М. Квадратурные формулы. — М.: Наука, 1988.
• Цимринг Ш. Е. Специальные функции и определенные интегралы. Алгоритмы. Программы для микрокалькуляторов: Справочник. — М.: Радио и связь, 1988.

СсылкиПравить

• Legendre Polynomials — University of Rochester, 2010.