Гиперболические функции

Гиперболи́ческие фу́нкции — семейство элементарных функций, выражающихся через экспоненту и тесно связанных с тригонометрическими функциями.

ОпределениеПравить

$\mathrm{sh}<!--\; \; -->x$$\operatorname {sh} x$

$\mathrm{ch}<!--\; \; -->x$$\operatorname {ch} x$

Гиперболические функции задаются следующими формулами:

• гиперболический синус:

$\mathrm{sh}<!--\; \; -->x=\frac{e^x-<!--\; -\; -->e^{-<!--\; -\; -->x}}{2}$$\operatorname {sh} x={\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}$ 

(в англоязычной литературе обозначается $\sinh <!--\; \; -->x$$\sinh x$ )

• гиперболический косинус:

$\mathrm{ch}<!--\; \; -->x=\frac{e^x+e^{-<!--\; -\; -->x}}{2}$$\operatorname {ch} x={\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}$ 

(в англоязычной литературе обозначается $\cosh <!--\; \; -->x$$\cosh x$ )

• гиперболический тангенс:

$\mathrm{th}<!--\; \; -->x=\frac{\mathrm{sh}<!--\; \; -->x}{\mathrm{ch}<!--\; \; -->x}=\frac{e^x-<!--\; -\; -->e^{-<!--\; -\; -->x}}{e^x+e^{-<!--\; -\; -->x}}=\frac{e^{2x}-<!--\; -\; -->1}{e^{2x}+1}$$\operatorname {th} x={\frac {\operatorname {sh} x}{\operatorname {ch} x}}={\frac {e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}}={\frac {e^{2x}-1}{e^{2x}+1}}$ 

(в англоязычной литературе обозначается $\tanh <!--\; \; -->x$$\tanh x$ )

• гиперболический котангенс:

$\mathrm{cth}<!--\; \; -->x=\frac{1}{\mathrm{th}<!--\; \; -->x}=\frac{\mathrm{ch}<!--\; \; -->x}{\mathrm{sh}<!--\; \; -->x}=\frac{e^x+e^{-<!--\; -\; -->x}}{e^x-<!--\; -\; -->e^{-<!--\; -\; -->x}}=\frac{e^{2x}+1}{e^{2x}-<!--\; -\; -->1}$$\operatorname {cth} x={\frac {1}{\operatorname {th} x}}={\frac {\operatorname {ch} x}{\operatorname {sh} x}}={\frac {e^{x}+e^{-x}}{e^{x}-e^{-x}}}={\frac {e^{2x}+1}{e^{2x}-1}}$ 

(в англоязычной литературе обозначается $\coth <!--\; \; -->x$$\coth x$ )

• гиперболический секанс:

$\mathrm{sch}<!--\; \; -->x=\frac{1}{\mathrm{ch}<!--\; \; -->x}=\frac{2}{e^x+e^{-<!--\; -\; -->x}}$$\operatorname {sch} x={\frac {1}{\operatorname {ch} x}}={\frac {2}{e^{x}+e^{-x}}}$ 

Гиперболический секанс иногда также обозначается как $\mathrm{sech}<!--\; \; -->x$$\operatorname {sech} x$ .

• гиперболический косеканс:

$\mathrm{csch}<!--\; \; -->x=\frac{1}{\mathrm{sh}<!--\; \; -->x}=\frac{2}{e^x-<!--\; -\; -->e^{-<!--\; -\; -->x}}$$\operatorname {csch} x={\frac {1}{\operatorname {sh} x}}={\frac {2}{e^{x}-e^{-x}}}$ 

Геометрическое определениеПравить

 

Определение гиперболических функций через гиперболу

 

Параметризация гиперболического синуса (анимация).

Ввиду соотношения ${\mathrm{ch}}^2<!--\; \; -->t-<!--\; -\; -->{\mathrm{sh}}^2<!--\; \; -->t=1$$\operatorname {ch} ^{2}t-\operatorname {sh} ^{2}t=1$  гиперболические функции дают параметрическое представление гиперболы $x^2-<!--\; -\; -->y^2=1$$x^{2}-y^{2}=1$  ($x=\mathrm{ch}<!--\; \; -->t$$x=\operatorname {ch} t$ , $y=\mathrm{sh}<!--\; \; -->t$$y=\operatorname {sh} t$ ). При этом аргумент $t=2S$$t=2S$ , где $S$$S$  — площадь криволинейного треугольника $OQR$$OQR$ , взятая со знаком «+», если сектор лежит выше оси $OX$$OX$ , и «−» в противоположном случае. Очевидно, что и гиперболические функции определяются через этот параметр, например, уравнения гиперболического синуса в параметрической форме: $x=t,y=f(t)$$x=t,y=f(t)$ , где $f(t)$$f(t)$  — ордината точки гиперболы, соответствующей площади $t=2S$$t=2S$ . Это определение аналогично определению тригонометрических функций через единичную окружность, которое тоже можно построить подобным образом.

СвойстваПравить

Связь с тригонометрическими функциямиПравить

Гиперболические функции выражаются через тригонометрические функции от мнимого аргумента.

$\mathrm{sh}<!--\; \; -->x=-<!--\; -\; -->i\sin <!--\; \; -->(ix),\mathrm{ch}<!--\; \; -->x=\cos <!--\; \; -->(ix),\mathrm{th}<!--\; \; -->x=-<!--\; -\; -->i\mathrm{tg}<!--\; \; -->(ix)$$\operatorname {sh} x=-i\sin(ix),\quad \operatorname {ch} x=\cos(ix),\quad \operatorname {th} x=-i\operatorname {tg} (ix)$ .

$\mathrm{sh}<!--\; \; -->(ix)=i\sin <!--\; \; -->x,\mathrm{ch}<!--\; \; -->(ix)=\cos <!--\; \; -->x,\mathrm{th}<!--\; \; -->(ix)=i\mathrm{tg}<!--\; \; -->x$$\operatorname {sh} (ix)=i\sin x,\quad \operatorname {ch} (ix)=\cos x,\quad \operatorname {th} (ix)=i\operatorname {tg} x$ .

Функция Гудермана связывает тригонометрические функции и гиперболические функции без привлечения комплексных чисел.

Важные соотношенияПравить

1. ${\mathrm{ch}}^2<!--\; \; -->x-<!--\; -\; -->{\mathrm{sh}}^2<!--\; \; -->x=1.$$\operatorname {ch} ^{2}x-\operatorname {sh} ^{2}x=1.$ 

Доказательство

${\mathrm{ch}}^2<!--\; \; -->x-<!--\; -\; -->{\mathrm{sh}}^2<!--\; \; -->x={\left(\frac{e^x+e^{-<!--\; -\; -->x}}{2}\right)}^2-<!--\; -\; -->{\left(\frac{e^x-<!--\; -\; -->e^{-<!--\; -\; -->x}}{2}\right)}^2=\frac{(e^x+e^{-<!--\; -\; -->x}{)}^2-<!--\; -\; -->(e^x-<!--\; -\; -->e^{-<!--\; -\; -->x}{)}^2}{4}=\frac{e^{2x}+2+e^{-<!--\; -\; -->2x}-<!--\; -\; -->e^{2x}+2-<!--\; -\; -->e^{-<!--\; -\; -->2x}}{4}=\frac{2+2}{4}=1$$\operatorname {ch} ^{2}x-\operatorname {sh} ^{2}x=\left({\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}\right)^{2}-\left({\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}\right)^{2}={\frac {(e^{x}+e^{-x})^{2}-(e^{x}-e^{-x})^{2}}{4}}={\frac {e^{2x}+2+e^{-2x}-e^{2x}+2-e^{-2x}}{4}}={\frac {2+2}{4}}=1$ 

1. Чётность/нечётность:
   1. $\mathrm{sh}<!--\; \; -->(-<!--\; -\; -->x)=-<!--\; -\; -->\mathrm{sh}<!--\; \; -->x.$$\operatorname {sh} (-x)=-\operatorname {sh} x.$ 
   2. $\mathrm{ch}<!--\; \; -->(-<!--\; -\; -->x)=\mathrm{ch}<!--\; \; -->x.$$\operatorname {ch} (-x)=\operatorname {ch} x.$ 
   3. $\mathrm{th}<!--\; \; -->(-<!--\; -\; -->x)=-<!--\; -\; -->\mathrm{th}<!--\; \; -->x.$$\operatorname {th} (-x)=-\operatorname {th} x.$ 
   4. $\mathrm{cth}<!--\; \; -->(-<!--\; -\; -->x)=-<!--\; -\; -->\mathrm{cth}<!--\; \; -->x.$$\operatorname {cth} (-x)=-\operatorname {cth} x.$ 
   5. $\mathrm{sch}<!--\; \; -->(-<!--\; -\; -->x)=\mathrm{sch}<!--\; \; -->x.$$\operatorname {sch} (-x)=\operatorname {sch} x.$ 
   6. $\mathrm{csch}<!--\; \; -->(-<!--\; -\; -->x)=-<!--\; -\; -->\mathrm{csch}<!--\; \; -->x.$$\operatorname {csch} (-x)=-\operatorname {csch} x.$ 
2. Формулы сложения:
   1. $\mathrm{sh}<!--\; \; -->(x\pm <!--\; \pm \; -->y)=\mathrm{sh}<!--\; \; -->x\mathrm{ch}<!--\; \; -->y\pm <!--\; \pm \; -->\mathrm{sh}<!--\; \; -->y\mathrm{ch}<!--\; \; -->x.$$\operatorname {sh} (x\pm y)=\operatorname {sh} x\,\operatorname {ch} y\pm \operatorname {sh} y\,\operatorname {ch} x.$ 
   2. $\mathrm{ch}<!--\; \; -->(x\pm <!--\; \pm \; -->y)=\mathrm{ch}<!--\; \; -->x\mathrm{ch}<!--\; \; -->y\pm <!--\; \pm \; -->\mathrm{sh}<!--\; \; -->y\mathrm{sh}<!--\; \; -->x.$$\operatorname {ch} (x\pm y)=\operatorname {ch} x\,\operatorname {ch} y\pm \operatorname {sh} y\,\operatorname {sh} x.$ 
   3. $\mathrm{th}<!--\; \; -->(x\pm <!--\; \pm \; -->y)=\frac{\mathrm{th}<!--\; \; -->x\pm <!--\; \pm \; -->\mathrm{th}<!--\; \; -->y}{1\pm <!--\; \pm \; -->\mathrm{th}<!--\; \; -->x\mathrm{th}<!--\; \; -->y}.$$\operatorname {th} (x\pm y)={\frac {\operatorname {th} x\pm \operatorname {th} y}{1\pm \operatorname {th} x\,\operatorname {th} y}}.$ 
   4. $\mathrm{cth}<!--\; \; -->(x\pm <!--\; \pm \; -->y)=\frac{1\pm <!--\; \pm \; -->\mathrm{cth}<!--\; \; -->x\mathrm{cth}<!--\; \; -->y}{\mathrm{cth}<!--\; \; -->x\pm <!--\; \pm \; -->\mathrm{cth}<!--\; \; -->y}.$$\operatorname {cth} (x\pm y)={\frac {1\pm \operatorname {cth} x\,\operatorname {cth} y}{\operatorname {cth} x\pm \operatorname {cth} y}}.$ 
3. Формулы двойного угла:
   1. $\mathrm{sh}<!--\; \; -->2x=2\mathrm{ch}<!--\; \; -->x\mathrm{sh}<!--\; \; -->x=\frac{2\mathrm{th}<!--\; \; -->x}{1-<!--\; -\; -->{\mathrm{th}}^2<!--\; \; -->x}.$$\operatorname {sh} 2x=2\operatorname {ch} x\,\operatorname {sh} x={\frac {2\,\operatorname {th} x}{1-\operatorname {th} ^{2}x}}.$ 
   2. $\mathrm{ch}<!--\; \; -->2x={\mathrm{ch}}^2<!--\; \; -->x+{\mathrm{sh}}^2<!--\; \; -->x=2{\mathrm{ch}}^2<!--\; \; -->x-<!--\; -\; -->1=1+2{\mathrm{sh}}^2<!--\; \; -->x=\frac{1+{\mathrm{th}}^2<!--\; \; -->x}{1-<!--\; -\; -->{\mathrm{th}}^2<!--\; \; -->x}.$$\operatorname {ch} 2x=\operatorname {ch} ^{2}x+\operatorname {sh} ^{2}x=2\operatorname {ch} ^{2}x-1=1+2\operatorname {sh} ^{2}x={\frac {1+\operatorname {th} ^{2}x}{1-\operatorname {th} ^{2}x}}.$ 
   3. $\mathrm{th}<!--\; \; -->2x=\frac{2\mathrm{th}<!--\; \; -->x}{1+{\mathrm{th}}^2<!--\; \; -->x}.$$\operatorname {th} 2x={\frac {2\operatorname {th} x}{1+\operatorname {th} ^{2}x}}.$ 
   4. $\mathrm{cth}<!--\; \; -->2x=\frac{1}{2}(\mathrm{th}<!--\; \; -->x+\mathrm{cth}<!--\; \; -->x).$$\operatorname {cth} 2x={\frac {1}{2}}(\operatorname {th} x+\operatorname {cth} x).$ 
   5. $\mathrm{th}<!--\; \; -->x=\frac{\mathrm{ch}<!--\; \; -->2x-<!--\; -\; -->1}{\mathrm{sh}<!--\; \; -->2x}=\frac{\mathrm{sh}<!--\; \; -->2x}{1+\mathrm{ch}<!--\; \; -->2x}.$$\operatorname {th} x={\frac {\operatorname {ch} 2x-1}{\operatorname {sh} 2x}}={\frac {\operatorname {sh} 2x}{1+\operatorname {ch} 2x}}.$ 
   6. $\mathrm{ch}<!--\; \; -->2x\pm <!--\; \pm \; -->\mathrm{sh}<!--\; \; -->2x=(\mathrm{sh}<!--\; \; -->x\pm <!--\; \pm \; -->\mathrm{ch}<!--\; \; -->x{)}^2.$$\operatorname {ch} 2x\pm \operatorname {sh} 2x=(\operatorname {sh} x\pm \operatorname {ch} x)^{2}.$ 
4. Формулы кратных углов:
   1. $\mathrm{sh}<!--\; \; -->3x=4{\mathrm{sh}}^3<!--\; \; -->x+3\mathrm{sh}<!--\; \; -->x.$$\operatorname {sh} 3x=4\operatorname {sh} ^{3}x+3\operatorname {sh} x.$ 
   2. $\mathrm{ch}<!--\; \; -->3x=4{\mathrm{ch}}^3<!--\; \; -->x-<!--\; -\; -->3\mathrm{ch}<!--\; \; -->x.$$\operatorname {ch} 3x=4\operatorname {ch} ^{3}x-3\operatorname {ch} x.$ 
   3. $\mathrm{th}<!--\; \; -->3x=\mathrm{th}<!--\; \; -->x\frac{3+{\mathrm{th}}^2<!--\; \; -->x}{1+3{\mathrm{th}}^2<!--\; \; -->x}.$$\operatorname {th} 3x=\operatorname {th} x{\frac {3+\operatorname {th} ^{2}x}{1+3\operatorname {th} ^{2}x}}.$ 
   4. $\mathrm{sh}<!--\; \; -->5x=16{\mathrm{sh}}^5<!--\; \; -->x+20{\mathrm{sh}}^3<!--\; \; -->x+5\mathrm{sh}<!--\; \; -->x.$$\operatorname {sh} 5x=16\operatorname {sh} ^{5}x+20\operatorname {sh} ^{3}x+5\operatorname {sh} x.$ 
   5. $\mathrm{ch}<!--\; \; -->5x=16{\mathrm{ch}}^5<!--\; \; -->x-<!--\; -\; -->20{\mathrm{ch}}^3<!--\; \; -->x+5\mathrm{ch}<!--\; \; -->x.$$\operatorname {ch} 5x=16\operatorname {ch} ^{5}x-20\operatorname {ch} ^{3}x+5\operatorname {ch} x.$ 
   6. $\mathrm{th}<!--\; \; -->5x=\mathrm{th}<!--\; \; -->x\frac{{\mathrm{th}}^4<!--\; \; -->x+10{\mathrm{th}}^2<!--\; \; -->x+5}{5{\mathrm{th}}^4<!--\; \; -->x+10{\mathrm{th}}^2<!--\; \; -->x+1}.$$\operatorname {th} 5x=\operatorname {th} x{\frac {\operatorname {th} ^{4}x+10\operatorname {th} ^{2}x+5}{5\operatorname {th} ^{4}x+10\operatorname {th} ^{2}x+1}}.$ 
5. Произведения:
   1. $\mathrm{sh}<!--\; \; -->x\mathrm{sh}<!--\; \; -->y=\frac{\mathrm{ch}<!--\; \; -->(x+y)-<!--\; -\; -->\mathrm{ch}<!--\; \; -->(x-<!--\; -\; -->y)}{2}.$$\operatorname {sh} x\,\operatorname {sh} y={\frac {\operatorname {ch} (x+y)-\operatorname {ch} (x-y)}{2}}.$ 
   2. $\mathrm{sh}<!--\; \; -->x\mathrm{ch}<!--\; \; -->y=\frac{\mathrm{sh}<!--\; \; -->(x+y)+\mathrm{sh}<!--\; \; -->(x-<!--\; -\; -->y)}{2}.$$\operatorname {sh} x\,\operatorname {ch} y={\frac {\operatorname {sh} (x+y)+\operatorname {sh} (x-y)}{2}}.$ 
   3. $\mathrm{ch}<!--\; \; -->x\mathrm{ch}<!--\; \; -->y=\frac{\mathrm{ch}<!--\; \; -->(x+y)+\mathrm{ch}<!--\; \; -->(x-<!--\; -\; -->y)}{2}.$$\operatorname {ch} x\,\operatorname {ch} y={\frac {\operatorname {ch} (x+y)+\operatorname {ch} (x-y)}{2}}.$ 
   4. $\mathrm{th}<!--\; \; -->x\mathrm{th}<!--\; \; -->y=\frac{\mathrm{ch}<!--\; \; -->(x+y)-<!--\; -\; -->\mathrm{ch}<!--\; \; -->(x-<!--\; -\; -->y)}{\mathrm{ch}<!--\; \; -->(x+y)+\mathrm{ch}<!--\; \; -->(x-<!--\; -\; -->y)}.$$\operatorname {th} x\,\operatorname {th} y={\frac {\operatorname {ch} (x+y)-\operatorname {ch} (x-y)}{\operatorname {ch} (x+y)+\operatorname {ch} (x-y)}}.$ 
6. Суммы:
   1. $\mathrm{sh}<!--\; \; -->x\pm <!--\; \pm \; -->\mathrm{sh}<!--\; \; -->y=2\mathrm{sh}<!--\; \; -->\frac{x\pm <!--\; \pm \; -->y}{2}\mathrm{ch}<!--\; \; -->\frac{x\mp <!--\; \mp \; -->y}{2}.$$\operatorname {sh} x\pm \operatorname {sh} y=2\operatorname {sh} {\frac {x\pm y}{2}}\operatorname {ch} {\frac {x\mp y}{2}}.$ 
   2. $\mathrm{ch}<!--\; \; -->x+\mathrm{ch}<!--\; \; -->y=2\mathrm{ch}<!--\; \; -->\frac{x+y}{2}\mathrm{ch}<!--\; \; -->\frac{x-<!--\; -\; -->y}{2}.$$\operatorname {ch} x+\operatorname {ch} y=2\operatorname {ch} {\frac {x+y}{2}}\operatorname {ch} {\frac {x-y}{2}}.$ 
   3. $\mathrm{ch}<!--\; \; -->x-<!--\; -\; -->\mathrm{ch}<!--\; \; -->y=2\mathrm{sh}<!--\; \; -->\frac{x+y}{2}\mathrm{sh}<!--\; \; -->\frac{x-<!--\; -\; -->y}{2}.$$\operatorname {ch} x-\operatorname {ch} y=2\operatorname {sh} {\frac {x+y}{2}}\operatorname {sh} {\frac {x-y}{2}}.$ 
   4. $\mathrm{th}<!--\; \; -->x\pm <!--\; \pm \; -->\mathrm{th}<!--\; \; -->y=\frac{\mathrm{sh}<!--\; \; -->(x\pm <!--\; \pm \; -->y)}{\mathrm{ch}<!--\; \; -->x\mathrm{ch}<!--\; \; -->y}.$$\operatorname {th} x\pm \operatorname {th} y={\frac {\operatorname {sh} (x\pm y)}{\operatorname {ch} x\,\operatorname {ch} y}}.$ 
7. Формулы понижения степени:
   1. ${\mathrm{ch}}^2<!--\; \; -->\frac{x}{2}=\frac{\mathrm{ch}<!--\; \; -->x+1}{2}.$$\operatorname {ch} ^{2}{\frac {x}{2}}={\frac {\operatorname {ch} x+1}{2}}.$ 
   2. ${\mathrm{sh}}^2<!--\; \; -->\frac{x}{2}=\frac{\mathrm{ch}<!--\; \; -->x-<!--\; -\; -->1}{2}.$$\operatorname {sh} ^{2}{\frac {x}{2}}={\frac {\operatorname {ch} x-1}{2}}.$ 
8. Производные:

Функция $f(x)$$f(x)$	Производная $f^{\prime }(x)$$f'(x)$	Примечание
$\mathrm{s}\mathrm{h}x$$\mathrm {sh} \ x$	$\mathrm{c}\mathrm{h}x$$\mathrm {ch} \ x$	Доказательство $(sh(x){)}^{\prime }={\left(\frac{e^x-<!--\; -\; -->e^{-<!--\; -\; -->x}}{2}\right)}^{\prime }=\frac{1}{2}\cdot <!--\; \cdot \; -->(e^x-<!--\; -\; -->e^{-<!--\; -\; -->x}{)}^{\prime }=\frac{1}{2}\cdot <!--\; \cdot \; -->(e^x-<!--\; -\; -->e^{-<!--\; -\; -->x}\cdot <!--\; \cdot \; -->(-<!--\; -\; -->1))=\frac{e^x+e^{-<!--\; -\; -->x}}{2}=ch(x)$$(sh(x))'=\left({\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}\right)'={\frac {1}{2}}\cdot (e^{x}-e^{-x})'={\frac {1}{2}}\cdot (e^{x}-e^{-x}\cdot (-1))={\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}=ch(x)$
$\mathrm{c}\mathrm{h}x$$\mathrm {ch} \ x$	$\mathrm{s}\mathrm{h}x$$\mathrm {sh} \ x$	Доказательство $(ch(x){)}^{\prime }={\left(\frac{e^x+e^{-<!--\; -\; -->x}}{2}\right)}^{\prime }=\frac{1}{2}\cdot <!--\; \cdot \; -->(e^x+e^{-<!--\; -\; -->x}{)}^{\prime }=\frac{1}{2}\cdot <!--\; \cdot \; -->(e^x+e^{-<!--\; -\; -->x}\cdot <!--\; \cdot \; -->(-<!--\; -\; -->1))=\frac{e^x-<!--\; -\; -->e^{-<!--\; -\; -->x}}{2}=sh(x)$$(ch(x))'=\left({\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}\right)'={\frac {1}{2}}\cdot (e^{x}+e^{-x})'={\frac {1}{2}}\cdot (e^{x}+e^{-x}\cdot (-1))={\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}=sh(x)$
$\mathrm{t}\mathrm{h}x$$\mathrm {th} \ x$	$\frac{1}{{\mathrm{c}\mathrm{h}}^{2}x}$${\frac {1}{\mathrm {ch} ^{2}\ x}}$	Доказательство $(th(x){)}^{\prime }={\left(\frac{sh(x)}{ch(x)}\right)}^{\prime }=\frac{(sh(x){)}^{\prime }\cdot <!--\; \cdot \; -->ch(x)-<!--\; -\; -->sh(x)\cdot <!--\; \cdot \; -->(ch(x){)}^{\prime }}{c{h}^2(x)}=\frac{ch(x)\cdot <!--\; \cdot \; -->ch(x)-<!--\; -\; -->sh(x)\cdot <!--\; \cdot \; -->sh(x)}{c{h}^2(x)}=\frac{c{h}^2(x)-<!--\; -\; -->s{h}^2(x)}{c{h}^2(x)}=\frac{1}{c{h}^2(x)}$$(th(x))'=\left({\frac {sh(x)}{ch(x)}}\right)'={\frac {(sh(x))'\cdot ch(x)-sh(x)\cdot (ch(x))'}{ch^{2}(x)}}={\frac {ch(x)\cdot ch(x)-sh(x)\cdot sh(x)}{ch^{2}(x)}}={\frac {ch^{2}(x)-sh^{2}(x)}{ch^{2}(x)}}={\frac {1}{ch^{2}(x)}}$
$\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{h}x$$\mathrm {cth} \ x$	$-<!--\; -\; -->\frac{1}{{\mathrm{s}\mathrm{h}}^{2}x}$$-{\frac {1}{\mathrm {sh} ^{2}\ x}}$	Доказательство $(cthx{)}^{\prime }={\left(\frac{ch(x)}{sh(x)}\right)}^{\prime }=\frac{(ch(x){)}^{\prime }\cdot <!--\; \cdot \; -->sh(x)-<!--\; -\; -->ch(x)\cdot <!--\; \cdot \; -->(sh(x){)}^{\prime }}{s{h}^2(x)}=\frac{sh(x)\cdot <!--\; \cdot \; -->sh(x)-<!--\; -\; -->ch(x)\cdot <!--\; \cdot \; -->ch(x)}{s{h}^2(x)}=\frac{s{h}^2(x)-<!--\; -\; -->c{h}^2(x)}{s{h}^2(x)}=-<!--\; -\; -->\frac{1}{s{h}^2(x)}$$(cthx)'=\left({\frac {ch(x)}{sh(x)}}\right)'={\frac {(ch(x))'\cdot sh(x)-ch(x)\cdot (sh(x))'}{sh^{2}(x)}}={\frac {sh(x)\cdot sh(x)-ch(x)\cdot ch(x)}{sh^{2}(x)}}={\frac {sh^{2}(x)-ch^{2}(x)}{sh^{2}(x)}}=-{\frac {1}{sh^{2}(x)}}$
$\mathrm{s}\mathrm{c}\mathrm{h}x$$\mathrm {sch} \ x$	$-<!--\; -\; -->\frac{sh(x)}{c{h}^2(x)}$$-{\frac {sh(x)}{ch^{2}(x)}}$	Доказательство $(sch(x){)}^{\prime }={\left(\frac{1}{ch(x)}\right)}^{\prime }=\frac{(1{)}^{\prime }\cdot <!--\; \cdot \; -->ch(x)-<!--\; -\; -->1\cdot <!--\; \cdot \; -->(ch(x){)}^{\prime }}{c{h}^2(x)}=-<!--\; -\; -->\frac{sh(x)}{c{h}^2(x)}$$(sch(x))'=\left({\frac {1}{ch(x)}}\right)'={\frac {(1)'\cdot ch(x)-1\cdot (ch(x))'}{ch^{2}(x)}}=-{\frac {sh(x)}{ch^{2}(x)}}$
$\mathrm{c}\mathrm{s}\mathrm{c}\mathrm{h}x$$\mathrm {csch} \ x$	$-<!--\; -\; -->\frac{ch(x)}{s{h}^2(x)}$$-{\frac {ch(x)}{sh^{2}(x)}}$	Доказательство $(csch(x){)}^{\prime }={\left(\frac{1}{sh(x)}\right)}^{\prime }=\frac{(1{)}^{\prime }\cdot <!--\; \cdot \; -->sh(x)-<!--\; -\; -->1\cdot <!--\; \cdot \; -->(sh(x){)}^{\prime }}{s{h}^2(x)}=-<!--\; -\; -->\frac{ch(x)}{s{h}^2(x)}$$(csch(x))'=\left({\frac {1}{sh(x)}}\right)'={\frac {(1)'\cdot sh(x)-1\cdot (sh(x))'}{sh^{2}(x)}}=-{\frac {ch(x)}{sh^{2}(x)}}$

1. Интегралы:

   См. также: Список интегралов от гиперболических функций, Список интегралов от обратных гиперболических функций

   1. $\int <!--\; \int \; -->\mathrm{sh}<!--\; \; -->xdx=\mathrm{ch}<!--\; \; -->x+C.$$\int \operatorname {sh} x\,dx=\operatorname {ch} x+C.$ 
   2. $\int <!--\; \int \; -->\mathrm{ch}<!--\; \; -->xdx=\mathrm{sh}<!--\; \; -->x+C.$$\int \operatorname {ch} x\,dx=\operatorname {sh} x+C.$ 
   3. $\int <!--\; \int \; -->\mathrm{th}<!--\; \; -->xdx=\ln <!--\; \; -->\mathrm{ch}<!--\; \; -->x+C.$$\int \operatorname {th} x\,dx=\ln \operatorname {ch} x+C.$ 
   4. $\int <!--\; \int \; -->\frac{1}{{\mathrm{ch}}^2<!--\; \; -->x}dx=\mathrm{th}<!--\; \; -->x+C.$$\int {\frac {1}{\operatorname {ch} ^{2}x}}\,dx=\operatorname {th} x+C.$ 
   5. $\int <!--\; \int \; -->\frac{1}{{\mathrm{sh}}^2<!--\; \; -->x}dx=-<!--\; -\; -->\mathrm{cth}<!--\; \; -->x+C.$$\int {\frac {1}{\operatorname {sh} ^{2}x}}\,dx=-\operatorname {cth} x+C.$ 
   6. $\mathrm{sh}<!--\; \; -->x=\underset{0}{\overset{x}{\int <!--\; \int \; -->}}\mathrm{ch}<!--\; \; -->tdt.$$\operatorname {sh} x=\int \limits _{0}^{x}\operatorname {ch} tdt.$ 
   7. $\mathrm{ch}<!--\; \; -->x=1+\underset{0}{\overset{x}{\int <!--\; \int \; -->}}\mathrm{sh}<!--\; \; -->tdt.$$\operatorname {ch} x=1+\int \limits _{0}^{x}\operatorname {sh} tdt.$ 
   8. $\mathrm{th}<!--\; \; -->x=\underset{0}{\overset{x}{\int <!--\; \int \; -->}}\frac{dt}{{\mathrm{ch}}^2<!--\; \; -->t}.$$\operatorname {th} x=\int \limits _{0}^{x}{\frac {dt}{\operatorname {ch} ^{2}t}}.$ 
2. Представление через гиперболический тангенс половинного угла:
   1. $\mathrm{sh}<!--\; \; -->x=\frac{2\mathrm{th}<!--\; \; -->\frac{x}{2}}{1-<!--\; -\; -->{\mathrm{th}}^2<!--\; \; -->\frac{x}{2}}$$\operatorname {sh} x={\frac {2\operatorname {th} {\frac {x}{2}}}{1-\operatorname {th} ^{2}{\frac {x}{2}}}}$ 
   2. $\mathrm{ch}<!--\; \; -->x=\frac{1+{\mathrm{th}}^2<!--\; \; -->\frac{x}{2}}{1-<!--\; -\; -->{\mathrm{th}}^2<!--\; \; -->\frac{x}{2}}$$\operatorname {ch} x={\frac {1+\operatorname {th} ^{2}{\frac {x}{2}}}{1-\operatorname {th} ^{2}{\frac {x}{2}}}}$ 
   3. $\mathrm{th}<!--\; \; -->x=\frac{2\mathrm{th}<!--\; \; -->\frac{x}{2}}{1+{\mathrm{th}}^2<!--\; \; -->\frac{x}{2}}$$\operatorname {th} x={\frac {2\operatorname {th} {\frac {x}{2}}}{1+\operatorname {th} ^{2}{\frac {x}{2}}}}$ 
   4. $\mathrm{cth}<!--\; \; -->x=\frac{1+{\mathrm{th}}^2<!--\; \; -->\frac{x}{2}}{2\mathrm{th}<!--\; \; -->\frac{x}{2}}$$\operatorname {cth} x={\frac {1+\operatorname {th} ^{2}{\frac {x}{2}}}{2\operatorname {th} {\frac {x}{2}}}}$ 
   5. $\mathrm{sch}<!--\; \; -->x=\frac{1-<!--\; -\; -->{\mathrm{th}}^2<!--\; \; -->\frac{x}{2}}{1+{\mathrm{th}}^2<!--\; \; -->\frac{x}{2}}$$\operatorname {sch} x={\frac {1-\operatorname {th} ^{2}{\frac {x}{2}}}{1+\operatorname {th} ^{2}{\frac {x}{2}}}}$ 
   6. $\mathrm{csch}<!--\; \; -->x=\frac{1-<!--\; -\; -->{\mathrm{th}}^2<!--\; \; -->\frac{x}{2}}{2\mathrm{th}<!--\; \; -->\frac{x}{2}}$$\operatorname {csch} x={\frac {1-\operatorname {th} ^{2}{\frac {x}{2}}}{2\operatorname {th} {\frac {x}{2}}}}$ 

НеравенстваПравить

Для всех $x\in <!--\; \in \; -->\mathbb{R}$$x\in \mathbb {R}$  выполняется:

1. $0\leq \operatorname {ch} x-1\leq |\operatorname {sh} x|<\operatorname {ch} x$ 
2. $|\operatorname {th} x|<1$ 

Разложение в степенные рядыПравить

$\mathrm{sh}x=x+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}+\frac{x^7}{7!}+\dots <!--\; \dots \; -->=\underset{n=0}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}$$\operatorname {sh} \,x=x+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}+{\frac {x^{7}}{7!}}+\ldots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)!}}$ 

$\mathrm{ch}x=1+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}+\frac{x^6}{6!}+\dots <!--\; \dots \; -->=\underset{n=0}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\frac{x^{2n}}{(2n)!}$$\operatorname {ch} \,x=1+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+{\frac {x^{6}}{6!}}+\ldots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n}}{(2n)!}}$ 

$\operatorname {th} \,x=x-{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {2x^{5}}{15}}-{\frac {17x^{7}}{315}}+\ldots =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2^{2n}(2^{2n}-1)B_{2n}x^{2n-1}}{(2n)!}},\quad |x|<{\frac {\pi }{2}}$ 

$\operatorname {cth} \,x={\frac {1}{x}}+{\frac {x}{3}}-{\frac {x^{3}}{45}}+{\frac {2x^{5}}{945}}+\ldots ={\frac {1}{x}}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2^{2n}B_{2n}x^{2n-1}}{(2n)!}},\quad 0<|x|<\pi$  (Ряд Лорана)

$\mathrm{sch}x=\frac{1}{\mathrm{ch}x}=\underset{n=0}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\frac{E_{2n}{x}^{2n}}{(2n)!}$$\operatorname {sch} \,x={\frac {1}{\operatorname {ch} \,x}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {E_{2n}\,x^{2n}}{(2n)!}}$ 

Здесь $B_{2n}$$B_{2n}$  — числа Бернулли, $E_{2n}$$E_{2n}$  — числа Эйлера.

ГрафикиПравить

 

sh(x), ch(x), th(x), cth(x)

 

sh, ch и th

 

csch, sech и cth

Аналитические свойстваПравить

Гиперболический синус и гиперболический косинус аналитичны во всей комплексной плоскости, за исключением существенно особой точки на бесконечности. Гиперболический тангенс аналитичен везде, кроме полюсов в точках $z=i\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}(n+1/2)$$z=i\pi (n+1/2)$ , где $n$$n$  — целое. Вычеты во всех этих полюсах равны единице. Гиперболический котангенс аналитичен везде, кроме точек $z=i\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}n$$z=i\pi n$ , вычеты его в этих полюсах также равны единице.

Обратные гиперболические функцииПравить

Основная статья: Обратные гиперболические функции

Иначе называются ареа-функциями: к названиям соответствующих гиперболических функций добавляется префикс «ареа-» — от лат. «area» — «площадь». Главные значения ареа-функций определяются следующими выражениями.

• $\mathrm{arsh}<!--\; \; -->x=\ln <!--\; \; -->(x+\sqrt{x^2+1})$$\operatorname {arsh} x=\ln(x+{\sqrt {x^{2}+1}})$  — обратный гиперболический синус, ареа-синус.
• $\mathrm{arch}<!--\; \; -->x=\ln <!--\; \; -->\left(x+\sqrt{x^2-<!--\; -\; -->1}\right);x\ge <!--\; \ge \; -->1$$\operatorname {arch} x=\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right);x\geq 1$  — обратный гиперболический косинус, ареа-косинус.
• $\operatorname {arth} x=\ln {\frac {\sqrt {1-x^{2}}}{1-x}}={\frac {1}{2}}\ln {\frac {1+x}{1-x}};|x|<1$  — обратный гиперболический тангенс, ареа-тангенс.
• $\mathrm{arcth}<!--\; \; -->x=\ln <!--\; \; -->\frac{\sqrt{x^2-<!--\; -\; -->1}}{x-<!--\; -\; -->1}=\frac{1}{2}\ln <!--\; \; -->\frac{x+1}{x-<!--\; -\; -->1};|x|>1$$\operatorname {arcth} x=\ln {\frac {\sqrt {x^{2}-1}}{x-1}}={\frac {1}{2}}\ln {\frac {x+1}{x-1}};|x|>1$  — обратный гиперболический котангенс, ареа-котангенс.
• $\operatorname {arsch} x=\ln {\frac {1+{\sqrt {1-x^{2}}}}{x}};0<x\leq 1$  — обратный гиперболический секанс, ареа-секанс. Заметим, что решение $y=-<!--\; -\; -->\ln <!--\; \; -->\frac{1+\sqrt{1-<!--\; -\; -->x^2}}{x}$$y=-\ln {\frac {1+{\sqrt {1-x^{2}}}}{x}}$  также удовлетворяет уравнению $\mathrm{sch}<!--\; \; -->y=x$$\operatorname {sch} y=x$ , однако главные значения ареа-функций являются однозначными функциями.
• $\operatorname {arcsch} x=\ln {\frac {1+\operatorname {sgn} x{\sqrt {1+x^{2}}}}{x}}=\left\{{\begin{array}{l}\ln {\frac {1-{\sqrt {1+x^{2}}}}{x}},\quad x<0\\\ln {\frac {1+{\sqrt {1+x^{2}}}}{x}},\quad x>0\end{array}}\right.$  — обратный гиперболический косеканс, ареа-косеканс.

ГрафикиПравить

 

arsh(x), arch(x), arth(x), arcth(x)

Связь между некоторыми обратными гиперболическими и обратными тригонометрическими функциями:

$\mathrm{Arsh}<!--\; \; -->x=-<!--\; -\; -->i\mathrm{Arcsin}<!--\; \; -->(-<!--\; -\; -->ix),$$\operatorname {Arsh} x=-i\operatorname {Arcsin} (-ix),$ 

$\mathrm{Arsh}<!--\; \; -->(ix)=i\mathrm{Arcsin}<!--\; \; -->x,$$\operatorname {Arsh} (ix)=i\operatorname {Arcsin} x,$ 

$\mathrm{Arcsin}<!--\; \; -->x=-<!--\; -\; -->i\mathrm{Arsh}<!--\; \; -->(ix),$$\operatorname {Arcsin} x=-i\operatorname {Arsh} (ix),$ 

$\mathrm{Arcsin}<!--\; \; -->(ix)=-<!--\; -\; -->i\mathrm{Arsh}<!--\; \; -->(-<!--\; -\; -->x),$$\operatorname {Arcsin} (ix)=-i\operatorname {Arsh} (-x),$ 

$\mathrm{Arccos}<!--\; \; -->x=-<!--\; -\; -->i\mathrm{Arch}<!--\; \; -->x,$$\operatorname {Arccos} \ x=-i\ \operatorname {Arch} \ x,$ 

где i — мнимая единица.

Эти функции имеют следующее разложение в ряд:

$\operatorname {arsh} x=x-\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {x^{3}}{3}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {x^{5}}{5}}-\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {x^{7}}{7}}+\ldots =\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {(-1)^{n}(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}\right){\frac {x^{2n+1}}{2n+1}},\quad \left\vert x\right\vert <1;$ 

$\mathrm{arch}<!--\; \; -->x=\ln <!--\; \; -->(2x)-<!--\; -\; -->\left(\left(\frac{1}{2}\right)\frac{x^{-<!--\; -\; -->2}}{2}+\left(\frac{1\cdot <!--\; \cdot \; -->3}{2\cdot <!--\; \cdot \; -->4}\right)\frac{x^{-<!--\; -\; -->4}}{4}+\left(\frac{1\cdot <!--\; \cdot \; -->3\cdot <!--\; \cdot \; -->5}{2\cdot <!--\; \cdot \; -->4\cdot <!--\; \cdot \; -->6}\right)\frac{x^{-<!--\; -\; -->6}}{6}+\dots <!--\; \dots \; -->\right)=\ln <!--\; \; -->(2x)-<!--\; -\; -->\underset{n=1}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\left(\frac{(-<!--\; -\; -->1{)}^n(2n)!}{2^{2n}(n!{)}^2}\right)\frac{x^{-<!--\; -\; -->2n}}{2n},x>1;$$\operatorname {arch} x=\ln(2x)-\left(\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {x^{-2}}{2}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {x^{-4}}{4}}+\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {x^{-6}}{6}}+\ldots \right)=\ln(2x)-\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {(-1)^{n}(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}\right){\frac {x^{-2n}}{2n}},\quad x>1;$ 

$\operatorname {arth} x=x+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{5}}+{\frac {x^{7}}{7}}+\ldots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n+1}}{2n+1}},\quad |x|<1.$ 

В зарубежной литературе обратные гиперболические функции часто обозначают посредством знака минус первой степени: например, $\mathrm{Arth}x$$\operatorname {Arth} \,x$  пишут как ${\tanh }^{-<!--\; -\; -->1}<!--\; \; -->x$$\operatorname {tanh} ^{-1}x$  (причём $(\tanh x{)}^{-<!--\; -\; -->1}$$(\operatorname {tanh} \,x)^{-1}$  обозначает другую функцию — $\mathrm{cth}x$$\operatorname {cth} \,x$ ), и т. д.

ИсторияПравить

Первое появление гиперболических функций историки обнаружили в трудах английского математика Абрахама де Муавра (1707, 1722). Современное определение и обстоятельное их исследование выполнил Винченцо Риккати в 1757 году («Opusculorum», том I), он же предложил их обозначения: $\mathrm{sh}$$\operatorname {sh}$ , $\mathrm{ch}$$\operatorname {ch}$ . Риккати исходил из рассмотрения единичной гиперболы (см. рисунок в разделе #Определение).

Независимое открытие и дальнейшее исследование свойств гиперболических функций было проведено Иоганном Ламбертом (1768), который установил широкий параллелизм формул обычной и гиперболической тригонометрии. Н. И. Лобачевский впоследствии использовал этот параллелизм, пытаясь доказать непротиворечивость неевклидовой геометрии, в которой круговая тригонометрия заменяется на гиперболическую.

В обозначениях гиперболических функций утвердился некоторый разнобой. Например, в Энциклопедии Брокгауза и Эфрона используются обозначения $\mathrm{sinhyp}$$\operatorname {sinhyp}$ , $\mathrm{coshyp}$$\operatorname {coshyp}$ , в русскоязычной литературе закрепились обозначения $\mathrm{sh},\mathrm{ch}$$\operatorname {sh} ,\operatorname {ch}$ , в англоязычной закрепились $\sinh ,\cosh$$\sinh ,\cosh$ .

ПрименениеПравить

Гиперболические функции часто встречаются при вычислении различных интегралов. Некоторые интегралы от рациональных функций и от функций, содержащих радикалы, довольно просто вычисляются с помощью замен переменных с использованием гиперболических функций.

Аналогично тому, как матрицы вида ${\begin{pmatrix}\cos x&\sin x\\-\sin x&\cos x\end{pmatrix}}$  описывают повороты двумерного евклидова пространства, матрицы ${\begin{pmatrix}{\mathop {\mathrm {ch} }}\,x&{\mathop {\mathrm {sh} }}\,x\\{\mathop {\mathrm {sh} }}\,x&{\mathop {\mathrm {ch} }}\,x\end{pmatrix}}$  описывают повороты в простейшем двумерном пространстве Минковского. В связи с этим гиперболические функции часто встречаются в теории относительности.

Однородная веревка или цепочка, свободно подвешенная за свои концы, приобретает форму графика функции $y=a\mathrm{c}\mathrm{h}\frac{x}{a}$$y=a\,{\mathop {\mathrm {ch} }}\,{\frac {x}{a}}$  (в связи с чем график гиперболического косинуса иногда называют цепной линией). Это обстоятельство используется при проектировании арок, поскольку форма арки в виде перевёрнутой цепной линии наиболее эффективно распределяет нагрузку.

ЛитератураПравить

• Бугров Я. С., Никольский С. М. Высшая математика. Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды. Функции комплексного переменного. — Москва: Наука, 1985. — С. 464.

• Шерватов В. Г. Гиперболические функции.. — Гостехиздат, 1954. — 58 с. — (Популярные лекции по математике). — 25 000 экз.
• А. Р. Янпольский. Гиперболические функции. — Москва, 1960. — 195 с.

СсылкиПравить

• GonioLab: Интерактивная демонстрация тригонометрических и гиперболических функций на Java Web Start
• БСЭ: Знаки математические
• Обратные тригонометрические и гиперболические функции (англ.)