Цепная линия

Цепна́я ли́ния — линия, форму которой принимает гибкая однородная нерастяжимая тяжёлая нить или цепь (отсюда название линии) с закреплёнными концами в однородном гравитационном поле. Является плоской трансцендентной кривой.

Висящая цепь образует цепную линию

Цепная линия при различных значениях параметра $a$$a$

Уравнение линии в декартовых координатах:

$y=\frac{a}{2}(e^{x/a}+e^{-<!--\; -\; -->x/a})=a\mathrm{ch}<!--\; \; -->\frac{x}{a}$$y={\frac {a}{2}}(e^{x/a}+e^{-x/a})=a\operatorname {ch} {\frac {x}{a}}$

(о функции $\mathrm{ch}$$\operatorname {ch}$ см. гиперболический косинус).

Все цепные линии подобны одна другой, изменение параметра $a$$a$ эквивалентно равномерному растяжению или сжатию графика функции вдоль оси $x$$x$. Переменная $x$$x$ графика отсчитывается от самой низкой точки на оси ординат цепной линии.

Математические свойства цепной линии впервые изучал Роберт Гук в 1670-х годах, а её уравнение было получено независимо Лейбницем, Гюйгенсом и Иоганном Бернулли в 1691 году.

СвойстваПравить

 

Натяжение цепной линии. Каждая кривая соответствует разному значению горизонтальной составляющей силы натяжения $T_H.$$T_{H}.$  Параметр $a=\frac{T_H}{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}H},$$a={\frac {T_{H}}{\lambda H}},$  где $\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}$$\lambda$  — погонная плотность нити

 

Цепная линия - траектория фокуса параболы, катящейся по прямой.

• Мыльная плёнка, натянутая на два параллельных кольца, не обязательно равных диаметров, принимает форму катеноида — поверхности, возникающей в результате вращения цепной линии.
• Длина дуги от вершины до произвольной точки $(x,y)$$(x,~y)$ :

  $s=a\mathrm{sh}<!--\; \; -->\frac{x}{a}=\sqrt{y^2-<!--\; -\; -->a^2}.$$s=a\operatorname {sh} {\frac {x}{a}}={\sqrt {y^{2}-a^{2}}}.$ 

• Радиус кривизны:

  $R=a{\mathrm{ch}}^2<!--\; \; -->\frac{x}{a}=\frac{y^2}{a}.$$R=a\operatorname {ch} ^{2}{\frac {x}{a}}={\frac {y^{2}}{a}}.$ 

• Площадь, ограниченная цепной линией, двумя её ординатами и осью абсцисс:

  $S=a^2\left(\mathrm{sh}<!--\; \; -->\frac{x_2}{a}-<!--\; -\; -->\mathrm{sh}<!--\; \; -->\frac{x_1}{a}\right)=a\left(\sqrt{y_2^2-<!--\; -\; -->a^2}-<!--\; -\; -->\sqrt{y_1^2-<!--\; -\; -->a^2}\right).$$S=a^{2}\left(\operatorname {sh} {\frac {x_{2}}{a}}-\operatorname {sh} {\frac {x_{1}}{a}}\right)=a\left({\sqrt {y_{2}^{2}-a^{2}}}-{\sqrt {y_{1}^{2}-a^{2}}}\right).$ 

• Траектория фокуса параболы, катящейся по прямой, есть цепная линия.
• Центр тяжести цепной линии — самый низкий из всех форм нитей равной длины, соединяющих две опоры, т. е. имеет минимум потенциальной энергии.

ПримененияПравить

АркиПравить

Перевёрнутая цепная линия — идеальная с точки зрения прочности форма для арок. Материал однородной арки с одинаковой по длине линейной плотностью в форме перевёрнутой цепной линии испытывает только механические напряжения сжатия и не испытывает напряжений изгиба.

МостыПравить

Горбатый мост имеет форму, близкую к цепной линии.

Стоит заметить, что форма изгиба тросов подвесного моста ближе к параболе, чем к цепной линии. Это связано с тем, что основной вес моста распределён в полотне моста, а не в поддерживающих тросах.

 

Трёхколёсный велосипед с квадратными колёсами едет по поверхности с профилем цепной линии

Квадратные колёсаПравить

Если профиль шоссе представляет собой перевёрнутые арки цепной линии, то по нему можно ездить на квадратных колёсах^[en], ровно и без тряски — если сторона квадрата колеса равна длине арки неровности дороги.

 

ИсторияПравить

Уравнение цепной линии практически одновременно получено Лейбницем, Гюйгенсом и Иоганном Бернулли.

Дополнительные фактыПравить

На арке «Ворота Запада» в Сент-Луисе написана математическая формула её цепной линии, выраженная в футах:

$y=-<!--\; -\; -->127,7^{\prime }\cdot <!--\; \cdot \; -->\mathrm{ch}<!--\; \; -->(x/127,7^{\prime })+757,7^{\prime }.$$y=-127{,}7'\cdot \operatorname {ch} (x/127{,}7')+757{,}7'.$ 

Выраженное в метрах, это уравнение будет $y=-<!--\; -\; -->38,92\cdot <!--\; \cdot \; -->\mathrm{ch}<!--\; \; -->(x/38,92)+230,95.$$y=-38{,}92\cdot \operatorname {ch} (x/38{,}92)+230{,}95.$ 

См. такжеПравить

• Фонтан из цепочки

ЛитератураПравить

• Люстерник Л. А. Кратчайшие линии. Вариационные задачи. — М.—Л.: Гостехиздат, 1955. — (Популярные лекции по математике).
• Меркин Д. Р. Введение в механику гибкой нити. — М.: Наука, 1980. — 240 с.