Монотонная функция

Моното́нная фу́нкция — функция одной переменной, определённая на некотором подмножестве действительных чисел, которая либо везде (на области своего определения) не убывает, либо везде не возрастает. Более точно, это функция $f$$f$, приращение которой $\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}f=f(x^{\prime })-<!--\; -\; -->f(x)$$\Delta f=f(x')-f(x)$ при $\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}x=(x^{\prime }-<!--\; -\; -->x)>0$$\Delta x=(x'-x)>0$ не меняет знака, то есть либо всегда неотрицательное, либо всегда неположительное. Если в дополнение приращение $\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}f$$\Delta f$ не равно нулю, то функция называется стро́го моното́нной.

Рисунок 1. Монотонно возрастающая функция. Она строго возрастает слева и справа, а в центре не убывает.

Рисунок 2. Монотонно убывающая функция.

Рисунок 3. Функция, не являющаяся монотонной.

Функция называется возраста́ющей, если большему значению аргумента соответствует не меньшее (по другой терминологии — большее) значение функции. Функция называется убыва́ющей, если большему значению аргумента соответствует не большее (по другой терминологии — меньшее) значение функции.

ОпределенияПравить

Пусть дана функция $f:M\subset <!--\; \subset \; -->\mathbb{R}\to <!--\; \to \; -->\mathbb{R}.$$f:M\subset \mathbb{R} \to \mathbb{R} .$  Тогда

• функция $f$$f$  называется возраста́ющей на $M$$M$ , если

$\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}x,y\in <!--\; \in \; -->M,x>y\Rightarrow <!--\; \Rightarrow \; -->f(x)\ge <!--\; \ge \; -->f(y)$$\forall x,y\in M,\;x>y\Rightarrow f(x)\geq f(y)$ .

• функция $f$$f$  называется стро́го возраста́ющей на $M$$M$ , если

$\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}x,y\in <!--\; \in \; -->M,x>y\Rightarrow <!--\; \Rightarrow \; -->f(x)>f(y)$$\forall x,y\in M,\;x>y\Rightarrow f(x)>f(y)$ .

• функция $f$$f$  называется убыва́ющей на $M$$M$ , если

$\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}x,y\in <!--\; \in \; -->M,x>y\Rightarrow <!--\; \Rightarrow \; -->f(x)\le <!--\; \le \; -->f(y)$$\forall x,y\in M,\;x>y\Rightarrow f(x)\leq f(y)$ .

• функция $f$$f$  называется стро́го убыва́ющей на $M$$M$ , если

$\forall x,y\in M,\;x>y\Rightarrow f(x)<f(y)$ .

(Строго) возрастающая или убывающая функция называется (строго) монотонной.

Другая терминологияПравить

Иногда под терминами возрастающая (убывающая) функция подразумевается строго возрастающая (убывающая) функция. Тогда про нестрого возрастающую (убывающую) функцию говорят, неубывающая (невозрастающая):

• Функция $f(x)$$f(x)$  называется возрастающей на некотором интервале, если для любых двух точек $x_1$$x_{1}$  и $x_2$$x_{2}$  этого интервала, таких что $x_{1}<x_{2}$ , справедливо $f(x_{1})<f(x_{2})$ . Другими словами, большему значению аргумента соответствует большее значение функции.
• Функция $f(x)$$f(x)$  называется убывающей на некотором интервале, если для любых двух точек $x_1$$x_{1}$  и $x_2$$x_{2}$  этого интервала, таких что $x_{1}<x_{2}$ , справедливо $f(x_1)>f(x_2)$$f(x_{1})>f(x_{2})$ . Другими словами, большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.
• Функция $f(x)$$f(x)$  называется неубывающей на некотором интервале, если для любых двух точек $x_1$$x_{1}$  и $x_2$$x_{2}$  этого интервала, таких что $x_{1}<x_{2}$ , справедливо $f(x_1)\le <!--\; \le \; -->f(x_2)$$f(x_{1})\leq f(x_{2})$ .
• Функция $f(x)$$f(x)$  называется невозрастающей на некотором интервале, если для любых двух точек $x_1$$x_{1}$  и $x_2$$x_{2}$  этого интервала, таких что $x_{1}<x_{2}$ , справедливо $f(x_1)\ge <!--\; \ge \; -->f(x_2)$$f(x_{1})\geq f(x_{2})$ .
• Возрастающие и убывающие функции называются строго монотонными, неубывающие и невозрастающие функции — монотонными.

Свойства монотонных функцийПравить

• Монотонная функция, определённая на интервале, измерима относительно борелевских сигма-алгебр.
• Монотонная функция, $f:[a,b]\to <!--\; \to \; -->\mathbb{R},$$f:[a,b]\to \mathbb{R} ,$  определённая на замкнутом интервале, ограничена. В частности, она интегрируема по Лебегу.
• Монотонная функция может иметь разрывы только первого рода. В частности, множество точек разрыва не более чем счётно.
• Монотонная функция $f:(a,b)\to <!--\; \to \; -->\mathbb{R}$$f:(a,b)\to \mathbb{R}$  дифференцируема почти всюду относительно меры Лебега.

Условия монотонности функцииПравить

• (Критерий монотонности функции, имеющей производную на интервале) Пусть функция $f\in <!--\; \in \; -->C((a,b))$$f\in C{\bigl (}(a,b){\bigr )}$  непрерывна на $(a,b),$$(a,b),$  и имеет в каждой точке $x\in <!--\; \in \; -->(a,b)$$x\in (a,b)$  производную $f^{\prime }(x).$$f'(x).$  Тогда

  $f$$f$  не убывает на $(a,b)$$(a,b)$  тогда и только тогда, когда $\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}x\in <!--\; \in \; -->(a,b)f^{\prime }(x)\ge <!--\; \ge \; -->0;$$\forall x\in (a,b)\;f'(x)\geq 0;$ 

  $f$$f$  не возрастает на $(a,b)$$(a,b)$  тогда и только тогда, когда $\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}x\in <!--\; \in \; -->(a,b)f^{\prime }(x)\le <!--\; \le \; -->0.$$\forall x\in (a,b)\;f'(x)\leq 0.$ 

• (Достаточное условие строгой монотонности функции, имеющей производную на интервале) Пусть функция $f\in <!--\; \in \; -->C((a,b))$$f\in C{\bigl (}(a,b){\bigr )}$  непрерывна на $(a,b),$$(a,b),$  и имеет в каждой точке $x\in <!--\; \in \; -->(a,b)$$x\in (a,b)$  производную $f^{\prime }(x).$$f'(x).$  Тогда

  если $\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}x\in <!--\; \in \; -->(a,b)f^{\prime }(x)>0,$$\forall x\in (a,b)\;f'(x)>0,$  то $f$$f$  строго возрастает на $(a,b);$$(a,b);$ 

  если $\forall x\in (a,b)\;f'(x)<0,$  то $f$$f$  строго убывает на $(a,b).$$(a,b).$ 

Обратное, вообще говоря, неверно. Производная строго монотонной функции может обращаться в ноль. Однако, множество точек, где производная не равна нулю, должно быть плотно на интервале $(a,b).$$(a,b).$  Точнее имеет место

• (Критерий строгой монотонности функции, имеющей производную на интервале) Пусть $f\in <!--\; \in \; -->C((a,b)),$$f\in C{\bigl (}(a,b){\bigr )},$  и всюду на интервале определена производная $f^{\prime }(x).$$f'(x).$  Тогда $f$$f$  строго возрастает на интервале $(a,b)$$(a,b)$  тогда и только тогда, когда выполнены следующие два условия:

1. $\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}x\in <!--\; \in \; -->(a,b)f^{\prime }(x)\ge <!--\; \ge \; -->0;$$\forall x\in (a,b)\;f'(x)\geq 0;$ 
2. $\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}(c,d)\subset <!--\; \subset \; -->(a,b)\mathrm{\exists <!--\; \exists \; -->}x\in <!--\; \in \; -->(c,d)f^{\prime }(x)>0.$$\forall (c,d)\subset (a,b)\;\exists x\in (c,d)\;f'(x)>0.$ 

Аналогично, $f$$f$  строго убывает на интервале $(a,b)$$(a,b)$  тогда и только тогда, когда выполнены следующие два условия:

1. $\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}x\in <!--\; \in \; -->(a,b)f^{\prime }(x)\le <!--\; \le \; -->0;$$\forall x\in (a,b)\;f'(x)\leq 0;$ 
2. $\forall (c,d)\subset (a,b)\;\exists x\in (c,d)\;f'(x)<0.$ 

ПримерыПравить

• Функция $f(x)=x^3$$f(x)=x^{3}$  строго возрастает на всей числовой прямой, несмотря на то, что точка $x=0$$x=0$  является стационарной, т.е. в этой точке $f^{\prime }(x)=0$$f'(x)=0$ .
• Функция $f(x)=\sin <!--\; \; -->x$$f(x)=\sin x$  является строго возрастающей не только на открытом интервале $(-<!--\; -\; -->\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}/2;\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}/2)$$(-\pi /2;\pi /2)$ , но и на замкнутом интервале $[-<!--\; -\; -->\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}/2;\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}/2]$$[-\pi /2;\pi /2]$ .
• Экспонента $f(x)=e^x$$f(x)=e^{x}$  строго возрастает на всей числовой прямой.
• Константа $f(x)\equiv <!--\; \equiv \; -->a,a\in <!--\; \in \; -->\mathbb{R}$$f(x)\equiv a,\;a\in {\mathbb {R}}$  одновременно не возрастает и не убывает на всей числовой прямой.
• Канторова лестница — пример непрерывной монотонной функции, которая не является константой, но при этом имеет производную равную нулю в почти всех точках.
• Функция Минковского — пример сингулярной строго возрастающей функции.

Вариации и обобщенияПравить

• Отображение $f:<!--\; :\; -->X\to <!--\; \to \; -->Y$$f\colon X\to Y$  между топологическими пространствами называется монотонным если каждая точка $y\in <!--\; \in \; -->Y$$y\in Y$  имеет связный прообраз $f^{-<!--\; -\; -->1}(y)$$f^{{-1}}(y)$ .

См. такжеПравить

• Монотонная последовательность
• Монотонный оператор