Монотонный оператор

Монотонный оператор — оператор, удовлетворяющий условию монотонности. Понятие монотонного оператора является обобщением понятия монотонной функции. Широко применяется в функциональном анализе при исследовании и приближённом решении краевых задач для дифференциальных уравнений с частными производными.

ОпределениеПравить

Пусть $X$$X$  — линейное топологическое пространство, $u,v$$u,v$  — произвольные элементы $u,v\in <!--\; \in \; -->X$$u,v\in X$ . Обозначим $⟨<!--\; ⟨\; -->u,v⟩<!--\; ⟩\; -->$$\langle u,v\rangle$  скалярное произведение элементов $u,v$$u,v$ , $\Vert <!--\; \Vert \; -->.\Vert <!--\; \Vert \; -->$$\|.\|$  — норма в пространстве $X$$X$ . Оператор $A\in <!--\; \in \; -->(X\to <!--\; \to \; -->X^{\ast <!--\; \ast \; -->})$$A\in (X\to X^{*})$  называется:

• монотонным, если $⟨<!--\; ⟨\; -->Au-<!--\; -\; -->Av,u-<!--\; -\; -->v⟩<!--\; ⟩\; -->⩾<!--\; ⩾\; -->0$$\langle Au-Av,u-v\rangle \geqslant 0$ ;
• строго монотонным, если $⟨<!--\; ⟨\; -->Au-<!--\; -\; -->Av,u-<!--\; -\; -->v⟩<!--\; ⟩\; -->>0$$\langle Au-Av,u-v\rangle >0$  для $u\ne <!--\; \ne \; -->v$$u\neq v$ ;
• d - монотонным, если $⟨<!--\; ⟨\; -->Au-<!--\; -\; -->Av,u-<!--\; -\; -->v⟩<!--\; ⟩\; -->⩾<!--\; ⩾\; -->(\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}(\Vert <!--\; \Vert \; -->u\Vert <!--\; \Vert \; -->)-<!--\; -\; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}(\Vert <!--\; \Vert \; -->v\Vert <!--\; \Vert \; -->))(\Vert <!--\; \Vert \; -->u\Vert <!--\; \Vert \; -->-<!--\; -\; -->\Vert <!--\; \Vert \; -->v\Vert <!--\; \Vert \; -->)$$\langle Au-Av,u-v\rangle \geqslant (\alpha (\|u\|)-\alpha (\|v\|))(\|u\|-\|v\|)$  для некоторой строго возрастающей функции $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}$$\alpha$  на $\left[0,\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}\right)$$\left[0,\infty \right)$ ;
• равномерно монотонным, если $⟨<!--\; ⟨\; -->Au-<!--\; -\; -->Av,u-<!--\; -\; -->v⟩<!--\; ⟩\; -->⩾<!--\; ⩾\; -->\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}(\Vert <!--\; \Vert \; -->u-<!--\; -\; -->v\Vert <!--\; \Vert \; -->)$$\langle Au-Av,u-v\rangle \geqslant \rho (\|u-v\|)$  для некоторой строго возрастающей функции $\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}$$\rho$  на $\left[0,\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}\right)$$\left[0,\infty \right)$  с $\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}(0)=0$$\rho (0)=0$ ;
• сильно монотонным (c постоянной монотонности m), если $⟨<!--\; ⟨\; -->Au-<!--\; -\; -->Av,u-<!--\; -\; -->v⟩<!--\; ⟩\; -->⩾<!--\; ⩾\; -->m\Vert <!--\; \Vert \; -->u-<!--\; -\; -->v{\Vert <!--\; \Vert \; -->}^2$$\langle Au-Av,u-v\rangle \geqslant m\|u-v\|^{2}$ , $m>0$$m>0$ ;
• радиально непрерывным, если при любых фиксированных $u,v\in <!--\; \in \; -->X$$u,v\in X$  вещественная функция $s\to <!--\; \to \; -->⟨<!--\; ⟨\; -->A(u+sv),v⟩<!--\; ⟩\; -->$$s\to \langle A(u+sv),v\rangle$  непрерывна на $\left[0,1\right]$$\left[0,1\right]$ ;
• коэрцитивным, если существует определённая на $\left[0,\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}\right)$$\left[0,\infty \right)$  вещественная функция $\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}$$\gamma$  с $\underset{s\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{lim}=+\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}$$\lim _{s\to \infty }=+\infty$ , такая, что $⟨<!--\; ⟨\; -->Au,u⟩<!--\; ⟩\; -->⩾<!--\; ⩾\; -->\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}(\Vert <!--\; \Vert \; -->u\Vert <!--\; \Vert \; -->)\Vert <!--\; \Vert \; -->u\Vert <!--\; \Vert \; -->$$\langle Au,u\rangle \geqslant \gamma (\|u\|)\|u\|$ .

Основная теорема теории монотонных операторовПравить

Пусть $A\in <!--\; \in \; -->(X\to <!--\; \to \; -->X^{\ast <!--\; \ast \; -->})$$A\in (X\to X^{*})$  — радиально непрерывный монотонный коэрцитивный оператор. Тогда множество решений уравнения $Au=f$$Au=f$  при любом $f\in <!--\; \in \; -->X\ast <!--\; \ast \; -->$$f\in X*$  непусто, слабо замкнуто и выпукло.

ЛитератураПравить

• Гаевский Х., Грёгер К., Захариас К. Нелинейные операторные уравнения и операторные дифференциальные уравнения. — М.: Мир, 1978. — 336 с.
• Вайнберг М. М. Вариационный метод и метод монтонных операторов в теории нелинейных уравнений. — М.: Наука, 1972. — 416 с.