Вещественные матрицы 2 × 2

Ассоциативная алгебра 2×2 вещественных матриц обозначается $M(2,\mathbb{R})$$M(2,\mathbb {R} )$. Две матрицы p и q в $M(2,\mathbb{R})$$M(2,\mathbb {R} )$ имеют сумму $p+q$$p+q$, определяемую сложением матриц. Произведение матриц p q образуется скалярным произведением строк и столбец сомножителей через операцию умножения матриц. Для

$q={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}},$

пусть

$\quad q^{*}={\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}}.$

Тогда $q{q}^{\ast <!--\; \ast \; -->}=q^{\ast <!--\; \ast \; -->}q=(ad-<!--\; -\; -->bc)E$$qq^{*}=q^{*}q=(ad-bc)E$, где $E$$E$ — 2×2 единичная матрица. Вещественное число $ad-<!--\; -\; -->bc$$ad-bc$ называется определителем матрицы q. Если $ad-<!--\; -\; -->bc\ne <!--\; \ne \; -->0$$ad-bc\neq 0$, q является невырожденной матрицей, и в этом случае

$q^{-<!--\; -\; -->1}=q^{\ast <!--\; \ast \; -->}/(ad-<!--\; -\; -->bc).$$q^{-1}=q^{*}\,/\,(ad-bc).$

Набор всех таких обратимых матриц формирует полную линейную группу $GL(2,\mathbb{R})$$GL(2,\mathbb {R} )$. В терминах абстрактной алгебры $M(2,\mathbb{R})$$M(2,\mathbb {R} )$ с операциями сложения и умножения образуют кольцо, а $GL(2,\mathbb{R})$$GL(2,\mathbb {R} )$ является его группой единиц. $M(2,\mathbb{R})$$M(2,\mathbb {R} )$ является четырёхмерным векторным пространством, так что эта алгебра считается ассоциативной. Она изоморфна (как кольцо) кокватернионам^[en], но с другой структурой.

2×2 вещественные матрицы находятся в один-к-одному соответствии с линейными отображениями двумерной прямоугольной системы координат в себя по правилу

${\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\mapsto {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}ax+by\\cx+dy\end{pmatrix}}.$

СтруктураПравить

Внутри $M(2,\mathbb{R})$$M(2,\mathbb {R} )$  умножение на вещественные числа единичной матрицы E можно считать вещественной прямой. Эта вещественная прямая является местом, где все коммутативные подкольца сходятся вместе:

Пусть $P_m=\{xE+ym:x,y\in <!--\; \in \; -->\mathbb{R}\}$$P_{m}=\{xE+ym:x,y\in \mathbb {R} \}$  где $m^2\in <!--\; \in \; -->\{-<!--\; -\; -->E,0,E\}$$m^{2}\in \{-E,0,E\}$ . Тогда $P_m$$P_{m}$  является коммутативным подкольцом и $M(2,\mathbb{R})=\cup <!--\; \cup \; -->P_m$$M(2,\mathbb {R} )=\cup P_{m}$ , где объединение осуществляется по всем m, таким, что $m^2\in <!--\; \in \; -->\{-<!--\; -\; -->E,0,E\}$$m^{2}\in \{-E,0,E\}$ .

Для выявления таких матриц m сначала возведём в квадрат матрицу общего вида:

${\begin{pmatrix}aa+bc&ab+bd\\ac+cd&bc+dd\end{pmatrix}}$ .

Если a + d = 0, эта матрица становится диагональной. Тогда предполагаем d = −a при поиске матриц m, образующих коммутативные подкольца. Если $mm=-<!--\; -\; -->E$$mm=-E$ , то получаем $bc=-<!--\; -\; -->1-<!--\; -\; -->aa$$bc=-1-aa$ , уравнение гиперболического параболоида в пространстве параметров $(a,b,c)$$(a,b,c)$ . Такая матрица m выступает в качестве мнимой единицы. В этом случае подкольцо $P_m$$P_{m}$  изоморфно полю (обычных) комплексных чисел.

Если $mm=+E$$mm=+E$ , матрица m является инволютивной матрицей. Тогда уравнение $bc=+1-<!--\; -\; -->aa$$bc=+1-aa$  также даёт гиперболический параболоид. Если матрица является идемпотентной, она должна находиться в P_m и в этом случае подкольцо P_m изоморфно кольцу двойных чисел.

В случае нильпотентной матрицы mm = 0 получается, когда только одна из величин b или c не равна нулю, а коммутативное подкольцо P_m является тогда копией плоскости дуальных чисел.

Если $M(2,\mathbb{R})$$M(2,\mathbb {R} )$  преобразуется заменой базиса^[en], эта структура изменяется в структуру сплит-кватернионов^[en], где множества квадратных корней из E и -E принимают одинаковые формы в виде гиперболоидов.

Сохраняющее площади отображениеПравить

Основная статья: Сохраняющее площади отображение

Первое отображение отображает один дифференциальный вектор в другой:

${\begin{pmatrix}du\\dv\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}p&r\\q&s\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}dx\\dy\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}p\,dx+r\,dy\\q\,dx+s\,dy\end{pmatrix}}.$ 

Площади измеряются с плотностью $dx\wedge <!--\; \wedge \; -->dy$$dx\wedge dy$ , дифференциальной 2-формой, которая использует внешнюю алгебру. Преобразованная плотность равна

${\begin{aligned}du\wedge dv&{}=0+ps\ dx\wedge dy+qr\ dy\wedge dx+0\\&{}=(ps-qr)\ dx\wedge dy=(\det g)\ dx\wedge dy.\end{aligned}}$ 

Тогда сохраняющие площади отображения представляют собой группу $SL(2,\mathbb{R})$$SL(2,\mathbb {R} )$ $=\{g\in <!--\; \in \; -->M(2,\mathbb{R}):det(g)=1\}$$=\{g\in M(2,\mathbb {R} ):det(g)=1\}$ , специальную линейную группу. Если задана вышеупомянутая структура, любой такой g лежит в коммутативном подкольце P_m, представляющем вид комплексной плоскости, соответствующей квадрату m. Поскольку $g{g}^{\ast <!--\; \ast \; -->}=E$$gg^{*}=E$ , возможны три варианта:

• $mm=-<!--\; -\; -->E$$mm=-E$  и g лежит на окружности евклидовых поворотов
• $mm=E$$mm=E$  и g лежит на гиперболе отображений сжатия^[en]
• $mm=0$$mm=0$  и g лежит на прямой отображений сдвига^[en]

Обсуждая планарные аффинные отображения^[en], Рафаэль Артци сделал аналогичное деление случаев планарного линейного отображения в своей книге Линейная геометрия (1965).

Функции на 2 × 2 вещественных матрицахПравить

Коммутативные подкольца алгебры $M(2,\mathbb{R})$$M(2,\mathbb {R} )$  определяют теорию функций. В частности, три типа подплоскостей имеют собственные алгебраические структуры, которые определяют значение алгебраических выражений. Соглашения для функции «квадратный корень» и «логарифмической функции» помогают проиллюстрировать ограничения, вытекающие из свойств каждого типа подплоскостей P_m, описанных выше. Концепция единичной компоненты^[en] группы единиц подкольца P_m приводит к полярному разложению элементов группы единиц:

• Если $mm=-<!--\; -\; -->E$$mm=-E$ , то $z=\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}\exp <!--\; \; -->(\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}m)$$z=\rho \exp({\theta }m)$ .
• Если $mm=0$$mm=0$ , то $z=\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}\exp <!--\; \; -->(sm)$$z=\rho \exp(sm)$  или $z=-<!--\; -\; -->\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}\exp <!--\; \; -->(sm)$$z=-\rho \exp(sm)$ .
• Если $mm=E$$mm=E$ , то $z=\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}\exp <!--\; \; -->(am)$$z=\rho \exp(am)$ , или $z=-<!--\; -\; -->\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}\exp <!--\; \; -->(am)$$z=-\rho \exp(am)$  или $z=m\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}\exp <!--\; \; -->(am)$$z=m\rho \exp(am)$  или $z=-<!--\; -\; -->m\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}\exp <!--\; \; -->(am)$$z=-m\rho \exp(am)$ .

В первом случае $\exp <!--\; \; -->(\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}m)=\cos <!--\; \; -->(\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->})+m\sin <!--\; \; -->(\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->})$$\exp(\theta m)=\cos(\theta )+m\sin(\theta )$ . В случае дуальных чисел $\exp <!--\; \; -->(sm)=1+sm$$\exp(sm)=1+sm$ . Наконец, в случае расщепляемых комплексных чисел имеется четыре компоненты в группе единиц. Единичная компонента параметризуются переменной ρ и $\exp <!--\; \; -->(am)=\mathrm{c}\mathrm{h}a+m\mathrm{s}\mathrm{h}a$$\exp(am)=\mathrm {ch} \,a+m\mathrm {sh} \,a$ .

Теперь $\sqrt{\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}\exp <!--\; \; -->(am)}=\sqrt{\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}\exp <!--\; \; -->(am/2)$${\sqrt {\rho \exp(am)}}={\sqrt {\rho }}\exp(am/2)$  независимо от подплоскости P_m, но аргументы функции должны быть взяты из единичной компоненты её группы единиц. Половина плоскости теряется в случае структуры дуальных чисел. Три четверти плоскости нужно исключить в случае структуры двойных чисел.

Аналогично, если $\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}\exp <!--\; \; -->(am)$$\rho \exp(am)$  является элементом единичной компоненты группы единиц плоскости, ассоциированной с 2×2 матрицей m, то значением логарифмической функции будет $\log <!--\; \; -->\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}+am$$\log \rho +am$ . На область определения логарифмической функции накладываются те же ограничения, что и на функцию «квадратный корень», описанную выше, — половина или три четверти P_m должны быть исключены в случаях mm = 0 или $mm=E$$mm=E$ .

Дальнейшее описание теории для структуры $\mathbb{C}$$\mathbb {C}$  можно найти в статье «Комплексные функции», а для структуры расщепляемых комплексных чисел — в статье Моторная переменная^[en].

2 × 2 вещественные матрицы как комплексные числаПравить

Любую 2×2 вещественную матрицу можно интерпретировать как одно из трёх типов (обобщённых) комплексных чисел — стандартные комплексные числе, дуальные числа и расщепляемые комплексные числа. Выше, алгебра 2×2 матриц структурирована как объединение комплексных плоскостей, разделяющих одну и ту же вещественную ось. Эти плоскости представляются как коммутативные подкольца P_m. Мы можем определить, какой комплексной плоскости принадлежит данная 2×2 матрица, и классифицировать, какого рода комплексные числа представляет данная плоскость.

Рассмотрим 2×2 матрицу

$z={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}.$ 

Мы ищем комплексную плоскость P_m, содержащую матрицу z.

Как было отмечено выше, квадрат матрицы z диагонален, если a + d = 0. Матрица z должна быть выражена в виде суммы единичной матрицы E с коэффициентом и матрицы на гиперплоскости a + d = 0. Проектируя z на все эти подпространства ${\mathbb{R}}^4$$\R^4$ , получим

$z=xI+n,x=\frac{a+d}{2},n=z-<!--\; -\; -->xI.$$z=xI+n,\quad x={\frac {a+d}{2}},\quad n=z-xI.$ 

Более того,

$n^2=pI$$n^{2}=pI$ , где $p=\frac{(a-<!--\; -\; -->d{)}^2}{4}+bc$$p={\frac {(a-d)^{2}}{4}}+bc$ .

Тогда z принадлежит одному из трёх типов комплексных чисел:

• Если p < 0, то это обычное комплексное число:

Пусть $q=1/\sqrt{-<!--\; -\; -->p},m=qn$$q=1/{\sqrt {-p}},\quad m=qn$ . Тогда $m^2=-<!--\; -\; -->I,z=xI+m\sqrt{-<!--\; -\; -->p}$$m^{2}=-I,\quad z=xI+m{\sqrt {-p}}$ .

• Если p = 0, то это дуальное число:

$z=xI+n$$z=xI+n$ .

• Если p > 0, то z является двойным числом:

Пусть $q=1/\sqrt{p},m=qn$$q=1/{\sqrt {p}},\quad m=qn$ . Тогда $m^2=+I,z=xI+m\sqrt{p}$$m^{2}=+I,\quad z=xI+m{\sqrt {p}}$ .

Аналогично, 2×2 может быть выражена в полярных координатах с учётом, что имеются две связные компоненты группы единиц на плоскости дуальных чисел и четыре компоненты на плоскости двойных чисел.