Вариация Фреше

Вариация Фреше — одна из числовых характеристик функции нескольких переменных, которую можно рассматривать как многомерный аналог вариации функции одного переменного.

ОпределениеПравить

Вариация Фреше определяется как:

$F(f,D_n)\stackrel{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}}{=}\underset{\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}{sup}\underset{\mathrm{\Pi <!--\; \Pi \; -->}}{sup}|\underset{r_1=0}{\overset{l_1-<!--\; -\; -->1}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\underset{r_2=0}{\overset{l_2-<!--\; -\; -->1}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\dots <!--\; \dots \; -->\underset{r_n=0}{\overset{l_n-<!--\; -\; -->1}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}_n^{(r_1)}{\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}_n^{(r_2)}\dots <!--\; \dots \; -->{\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}_n^{(r_n)}\times <!--\; \times \; -->$$F(f,\;D_{n})\,{\stackrel {{\mathrm {def}}}{=}}\sup _{\varepsilon }\,\sup _{\Pi }\left|\sum _{{r_{1}=0}}^{{l_{1}-1}}\sum _{{r_{2}=0}}^{{l_{2}-1}}\ldots \sum _{{r_{n}=0}}^{{l_{n}-1}}\varepsilon _{n}^{{(r_{1})}}\varepsilon _{n}^{{(r_{2})}}\ldots \varepsilon _{n}^{{(r_{n})}}\times \right.$ 

$\times <!--\; \times \; -->{\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}}_{h_1^{(r_1)}{h}_2^{(r_2)}\dots <!--\; \dots \; -->h_n^{(r_n)}}(f;x_1^{(r_1)},x_2^{(r_2)},\dots <!--\; \dots \; -->,x_n^{(r_n)})|,$$\times \Delta _{{h_{1}^{{(r_{1})}}h_{2}^{{(r_{2})}}\ldots h_{n}^{{(r_{n})}}}}(f;\;x_{1}^{{(r_{1})}},\;x_{2}^{{(r_{2})}},\;\ldots ,\;x_{n}^{{(r_{n})}}){\Bigg |},$ 

где $f(x)=f(x_1,x_2,\dots <!--\; \dots \; -->,x_n)$$f(x)=f(x_{1},\;x_{2},\;\ldots ,\;x_{n})$  — действительнозначная функция, заданная на $n$$n$ -мерном параллелепипеде $D_n$$D_{n}$ 

$D_n=[a_1,b_1]\times <!--\; \times \; -->[a_2,b_2]\times <!--\; \times \; -->\dots <!--\; \dots \; -->\times <!--\; \times \; -->[a_n,b_n];$$D_{n}=[a_{1},\;b_{1}]\times [a_{2},\;b_{2}]\times \ldots \times [a_{n},\;b_{n}];$ 

$\mathrm{\Pi <!--\; \Pi \; -->}$$\Pi$  — произвольное разбиение параллелепипеда $D_n$$D_{n}$  гиперплоскостями $x_s=x_s^{(r_s)}$$x_{s}=x_{s}^{{(r_{s})}}$  такими, что

$x_s^{(0)}=a_s$$x_{s}^{{(0)}}=a_{s}$ , $x_s^{(l_s)}=b_s$$x_{s}^{{(l_{s})}}=b_{s}$  и $x_{s}^{{(r_{s})}}<x_{s}^{{(r_{s}+1)}}$ ,

где $r_s=0,1,2,\dots <!--\; \dots \; -->,l_s$$r_{s}=0,\;1,\;2,\;\ldots ,\;l_{s}$ , $s=1,2,\dots <!--\; \dots \; -->,n$$s=1,\;2,\;\ldots ,\;n$ .

$h_s^{(r_s)}=x_s^{(r_s+1)}-<!--\; -\; -->x_s^{(r_s)}$$h_{s}^{{(r_{s})}}=x_{s}^{{(r_{s}+1)}}-x_{s}^{{(r_{s})}}$  — шаг разбиения;

${\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}}_{h_k}(f,x)=f(x_1,x_2,\dots <!--\; \dots \; -->,x_k+h_k,\dots <!--\; \dots \; -->,x_n)-<!--\; -\; -->f(x_1,x_2,\dots <!--\; \dots \; -->,x_k,\dots <!--\; \dots \; -->,x_n)$$\Delta _{{h_{k}}}(f,\;x)=f(x_{1},\;x_{2},\;\ldots ,\;x_{k}+h_{k},\;\ldots ,\;x_{n})-f(x_{1},\;x_{2},\;\ldots ,\;x_{k},\;\ldots ,\;x_{n})$  ($k=1,2,\dots <!--\; \dots \; -->,n$$k=1,\;2,\;\ldots ,\;n$ ) — приращение функции по $x_k$$x_k$ -ой координате;

${\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}}_{h_1{h}_2\dots <!--\; \dots \; -->h_k}(f;x)={\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}}_{h_k}({\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}}_{h_1{h}_2\dots <!--\; \dots \; -->h_{k-<!--\; -\; -->1}};x)$$\Delta _{{h_{1}h_{2}\ldots h_{k}}}(f;\;x)=\Delta _{{h_{k}}}(\Delta _{{h_{1}h_{2}\ldots h_{{k-1}}}};\;x)$  — обобщённое приращение функции по первым $k$$k$  координатам ($k=2,3,\dots <!--\; \dots \; -->,n$$k=2,\;3,\;\ldots ,\;n$ );

${\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}_k^{(r_k)}=\pm <!--\; \pm \; -->1$$\varepsilon _{k}^{{(r_{k})}}=\pm 1$  ($k=1,2,\dots <!--\; \dots \; -->,n$$k=1,\;2,\;\ldots ,\;n$ ) произвольным образом.

ПрименениеПравить

Если $F(f;\;D_{n})<\infty$ , то говорят, что функция $f(x)$$f(x)$  имеет ограниченную (конечную) вариацию Фреше на $D_n$$D_{n}$ . Класс всех таких функций обозначается через $F(D_n)$$F(D_{n})$ .

При $n=2$$n=2$  этот класс был введён М. Фреше в связи с исследованием общего вида билинейного непрерывного функционала $U({\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}_1,{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}_2)$$U(\varphi _{1},\varphi _{2})$  в пространстве непрерывных на квадрате $Q_2=[a,b]\times <!--\; \times \; -->[a,b]$$Q_{2}=[a,\;b]\times [a,\;b]$  функций вида ${\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}_1(x_1){\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}_2(x_2)$$\varphi _{1}(x_{1})\varphi _{2}(x_{2})$ . Он доказал, что всякий такой функционал представляется в виде

$U({\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}_1,{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}_2)=\underset{a}{\overset{b}{\int <!--\; \int \; -->}}\underset{a}{\overset{b}{\int <!--\; \int \; -->}}{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}_1(x_1){\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}_2(x_2)d_{x_l}{d}_{x_2}u(x_1,x_2),$$U(\varphi _{1},\;\varphi _{2})=\int \limits _{a}^{b}\int \limits _{a}^{b}\varphi _{1}(x_{1})\varphi _{2}(x_{2})\,d_{{x_{l}}}d_{{x_{2}}}u(x_{1},\;x_{2}),$ 

где $u(x_1,x_2)\in <!--\; \in \; -->F(Q_2)$$u(x_{1},\;x_{2})\in F(Q_{2})$ , $u(a,x_2)\equiv <!--\; \equiv \; -->u(x_1,b)\equiv <!--\; \equiv \; -->0$$u(a,\;x_{2})\equiv u(x_{1},\;b)\equiv 0$ .

Позднее было показано, что для $2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}$$2\pi$ -периодических функций класса $f(Q_n)$$f(Q_{n})$  ($Q_n=[0,2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}]\times <!--\; \times \; -->\dots <!--\; \dots \; -->\times <!--\; \times \; -->[0,2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}]$$Q_{n}=[0,\;2\pi ]\times \ldots \times [0,\;2\pi ]$ ) справедливы аналоги многих классических признаков сходимости рядов Фурье. Так, например, если $f(x)\in <!--\; \in \; -->F(Q_n)$$f(x)\in F(Q_{n})$ , $n=2,3,\dots <!--\; \dots \; -->$$n=2,\;3,\;\ldots$ , то прямоугольные частичные суммы ряда Фурье функции $f(x)$$f(x)$  в каждой точке $x=(x_1,x_2,\dots <!--\; \dots \; -->,x_n)$$x=(x_{1},\;x_{2},\ldots ,\;x_{n})$  сходятся к числу

$\frac{1}{2^n}\sum <!--\; \sum \; -->f(x_1\pm <!--\; \pm \; -->0,x_2\pm <!--\; \pm \; -->0,\dots <!--\; \dots \; -->,x_n\pm <!--\; \pm \; -->0),$${\frac {1}{2^{n}}}\sum f(x_{1}\pm 0,\;x_{2}\pm 0,\;\ldots ,\;x_{n}\pm 0),$ 

где суммирование распространяется на все $2^n$$2^{n}$  возможных комбинаций знаков $\pm <!--\; \pm \; -->$$\pm$ . При этом, если функция непрерывна, то сходимость равномерная. Это аналог признака Жордана.

ЛитератураПравить

• Канторович, Л. В., Акилов, Г. П. Функциональный анализ. — СПб.: БХВ-Петербург, 2004. — 816 с. — ISBN 5-94157-597-1..

См. такжеПравить

• Вариация функции
• Вариация Арцела
• Вариация Витали
• Вариация Пъерпонта
• Плоская вариация Тонелли
• Вариация Харди