Вариация Харди

Для термина «Харди» см. также другие значения.

Вариация Харди — одна из числовых характеристик функции нескольких переменных.

ОпределениеПравить

Пусть имеется функция $f(x)=f(x_1,\dots <!--\; \dots \; -->,x_n),n=2,3,\dots <!--\; \dots \; -->$$f(x)=f(x_{1},\;\ldots ,\;x_{n}),\;n=2,\;3,\;\ldots$ , заданная на $n$$n$ -мерном параллелепипеде

$D_n=[a_1,b_1]\times <!--\; \times \; -->[a_2,b_2]\times <!--\; \times \; -->\dots <!--\; \dots \; -->\times <!--\; \times \; -->[a_n,b_n].$$D_{n}=[a_{1},\;b_{1}]\times [a_{2},\;b_{2}]\times \ldots \times [a_{n},\;b_{n}].$ 

Зададимся произвольным разбиением $\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}$$\pi$  параллелепипеда гиперплоскостями

$x_s=x_s^{(r_s)},r_s=0,1,2,\dots <!--\; \dots \; -->,l_s;s=1,2,\dots <!--\; \dots \; -->,n,$$x_{s}=x_{s}^{(r_{s})},\quad r_{s}=0,\;1,\;2,\;\ldots ,\;l_{s};\;s=1,\;2,\;\ldots ,\;n,$ 

$x_{s}^{(r_{s})}<x_{s}^{(r_{s}+1)},\;x_{s}^{(0)}=a_{s},\;x_{s}^{(l_{s})}=b_{s},\;h_{s}^{(r_{s})}=x_{s}^{(r_{s}+1)}-x_{s}^{(r_{s})}$ 

на $n$$n$ -мерные параллелепипеды.

Рассмотрим класс ${\stackrel{~<!--\; ~\; -->}{H}}_n$${\tilde {H}}_{n}$  всех функций, для которых

${\tilde {H}}_{n}=\sup _{\pi }\sum _{r_{1}=0}^{l_{1}-1}\sum _{r_{2}=0}^{l_{2}-1}\ldots \sum _{r_{n}=0}^{l_{n}-1}\left|\Delta _{h_{1}^{(r_{1})}h_{2}^{(r_{2})}\ldots h_{n}^{(r_{n})}}(f;\;x_{1}^{(r_{1})},\;x_{2}^{(r_{2})},\;\ldots ,\;x_{n}^{(r_{n})})\right|<\infty ,$ 

где

${\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}}_{h_1{h}_2\dots <!--\; \dots \; -->h_n}(f;x)={\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}}_{h_k}({\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}}_{h_1{h}_2\dots <!--\; \dots \; -->h_{k-<!--\; -\; -->1}};x),k=2,3,\dots <!--\; \dots \; -->,n;$$\Delta _{h_{1}h_{2}\ldots h_{n}}(f;\;x)=\Delta _{h_{k}}(\Delta _{h_{1}h_{2}\ldots h_{k-1}};\;x),\quad k=2,\;3,\;\ldots ,\;n;$ 

${\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}}_{h_k}(f;x)=f(x_1,x_2,\dots <!--\; \dots \; -->,x_k+h_k,\dots <!--\; \dots \; -->,x_n)-<!--\; -\; -->$$\Delta _{h_{k}}(f;\;x)=f(x_{1},\;x_{2},\;\ldots ,\;x_{k}+h_{k},\;\ldots ,\;x_{n})-$ 

$-<!--\; -\; -->f(x_1,x_2,\dots <!--\; \dots \; -->,x_k,\dots <!--\; \dots \; -->,x_n),k=1,2,\dots <!--\; \dots \; -->,n.$$-f(x_{1},\;x_{2},\;\ldots ,\;x_{k},\;\ldots ,\;x_{n}),\quad \;k=1,\;2,\;\ldots ,\;n.$ 

Пусть, теперь, $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}=({\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_1,{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_2,\dots <!--\; \dots \; -->,{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_s),s=1,2,\dots <!--\; \dots \; -->,n-<!--\; -\; -->1$$\alpha =(\alpha _{1},\;\alpha _{2},\;\ldots ,\;\alpha _{s}),\;s=1,\;2,\;\ldots ,\;n-1$  — целочисленный вектор, координаты которого удовлетворяют неравенствам $1\leqslant \alpha _{1}<\alpha _{2}<\ldots <\alpha _{s}\leqslant n$ , и $\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}$${\bar {\alpha }}$  — целочисленный вектор размерности $n-<!--\; -\; -->s$$n-s$  такой, что его координаты образуют строго возрастающую последовательность и состоят из всех тех чисел $1,2,\dots <!--\; \dots \; -->,n$$1,\;2,\ldots ,\;n$ , которые не содержатся среди чисел ${\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_1,{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_2,\dots <!--\; \dots \; -->,{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_s$$\alpha _{1},\;\alpha _{2},\;\ldots ,\;\alpha _{s}$ . Тогда каждую точку $x\in <!--\; \in \; -->D_n$$x\in D_{n}$  можно записать в виде $x=(x^{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}},x^{\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}})$$x=(x^{\alpha },\;x^{\bar {\alpha }})$ . Если координаты $x_{{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_1},x_{{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_2},\dots <!--\; \dots \; -->,x_{{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_s}$$x_{\alpha _{1}},\;x_{\alpha _{2}},\;\ldots ,\;x_{\alpha _{s}}$  точки $x\in <!--\; \in \; -->D_n$$x\in D_{n}$  фиксированы на значениях ${\stackrel{\circ <!--\; \circ \; -->}{x}}_{{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_1},{\stackrel{\circ <!--\; \circ \; -->}{x}}_{{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_2},\dots <!--\; \dots \; -->,{\stackrel{\circ <!--\; \circ \; -->}{x}}_{{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_s}$${\overset {\circ }{x}}_{\alpha _{1}},\;{\overset {\circ }{x}}_{\alpha _{2}},\;\ldots ,\;{\overset {\circ }{x}}_{\alpha _{s}}$ , то будем писать $x=(\stackrel{\circ <!--\; \circ \; -->}{x}{}^{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}},x^{\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}})$$x=({\overset {\circ }{x}}{}^{\alpha },\;x^{\bar {\alpha }})$ .

Вариация Xарди функции $f(x)$$f(x)$  на $D_n$$D_{n}$ :

$H(f,D_n)\stackrel{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}}{=}\underset{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}{sup}\underset{\stackrel{\circ <!--\; \circ \; -->}{x}{}^{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}}{sup}{\stackrel{~<!--\; ~\; -->}{H}}_{n-<!--\; -\; -->s}\left(f(\stackrel{\circ <!--\; \circ \; -->}{x}{}^{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}},x^{\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}})\right).$$H(f,\;D_{n})\,{\overset {\mathrm {def} }{=}}\sup _{\alpha }\,\sup _{{\overset {\circ }{x}}{}^{\alpha }}{\tilde {H}}_{n-s}\left(f({\overset {\circ }{x}}{}^{\alpha },\;x^{\bar {\alpha }})\right).$ 

Если $H(f,\;D_{n})<\infty$ , то говорят, что функция $f(x)$$f(x)$  имеет ограниченную (конечную) вариацию Харди на параллелепипеде $D_n$$D_{n}$ , а класс всех таких функций обозначается $H(D_n)$$H(D_{n})$ .

ИсторияПравить

Первоначально класс $H(D_n)$$H(D_{n})$  при $n=2$$n=2$  был введён Г. Харди (G. Н. Hardy) в связи с исследованием сходимости двойных рядов Фурье. Он доказал, что прямоугольные частичные суммы двойного ряда Фурье функции $f(x_1,x_2)$$f(x_{1},\;x_{2})$  класса $H(Q_2)$$H(Q_{2})$  ($Q_2=[0,2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}]\times <!--\; \times \; -->[0,2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}]$$Q_{2}=[0,\;2\pi ]\times [0,\;2\pi ]$ ), имеющей период $2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}$$2\pi$  по каждой переменной, сходятся в каждой точке $(x_1,x_2)$$(x_{1},\;x_{2})$  к числу

$\frac{1}{4}\{f(x_1+0,x_2+0)+f(x_1+0,x_2-<!--\; -\; -->0)+f(x_1+0,x_2-<!--\; -\; -->0)+f(x_1-<!--\; -\; -->0,x_2-<!--\; -\; -->0)\},$${\frac {1}{4}}\{f(x_{1}+0,\;x_{2}+0)+f(x_{1}+0,\;x_{2}-0)+f(x_{1}+0,\;x_{2}-0)+f(x_{1}-0,\;x_{2}-0)\},$ 

где

$f(x\pm <!--\; \pm \; -->0,x_2\pm <!--\; \pm \; -->0)\stackrel{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}}{=}\underset{\begin{array}{c}{\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}_1\to <!--\; \to \; -->+0\\ {\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}_2\to <!--\; \to \; -->+0\end{array}}{lim}f(x_1\pm <!--\; \pm \; -->{\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}_1,x_2\pm <!--\; \pm \; -->{\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}_1).$$f(x\pm 0,\;x_{2}\pm 0)\,{\overset {\mathrm {def} }{=}}\lim _{\begin{smallmatrix}\varepsilon _{1}\to +0\\\varepsilon _{2}\to +0\end{smallmatrix}}f(x_{1}\pm \varepsilon _{1},\;x_{2}\pm \varepsilon _{1}).$ 

Для того чтобы функция $f(x)$$f(x)$  входила в класс $H(D_n)$$H(D_{n})$ , необходимо и достаточно, чтобы её можно было представить в виде $f(x)=f_1(x)-<!--\; -\; -->f_2(x)$$f(x)=f_{1}(x)-f_{2}(x)$ , где $f_1$$f_1$  и $f_2$$f_{2}$  такие конечные на $D_n$$D_{n}$  функции, что ${\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}}_{h_1{h}_2\dots <!--\; \dots \; -->h_n}(f;x)⩾<!--\; ⩾\; -->0,k=2,3,\dots <!--\; \dots \; -->,n$$\Delta _{h_{1}h_{2}\ldots h_{n}}(f;\;x)\geqslant 0,\;k=2,\;3,\;\ldots ,\;n$ , при всех $x\in <!--\; \in \; -->D_n$$x\in D_{n}$  и допустимых приращениях $h_1,h_2,\dots <!--\; \dots \; -->,h_n$$h_{1},\;h_{2},\;\ldots ,\;h_{n}$ . Класс $H(D_n)$$H(D_{n})$  содержится в классе $A(D_n)$$A(D_{n})$  функций, имеющих ограниченную вариацию Арцела на $D_n$$D_{n}$ .

ЛитератураПравить

• Буланов А. П. Рациональные приближения функций многих переменных с конечной вариацией Харди // Математический сборник. — 1995. — т. 186. — № 11. — с. 53—74.

См. такжеПравить

• Вариация функции
• Вариация Арцела
• Вариация Витали
• Вариация Пъерпонта
• Плоская вариация Тонелли
• Вариация Фреше