Локальная теорема Муавра — Лапласа

Теорема Муавра — Лапласа — одна из предельных теорем теории вероятностей, установлена Лапласом в 1812 году. Если при каждом из $n$$n$ независимых испытаний вероятность появления некоторого случайного события $E$$E$ равна $p\in <!--\; \in \; -->(0,1)$$p\in (0,1)$, и $m$$m$ — число испытаний, в которых $E$$E$ фактически наступает, то вероятность справедливости неравенства близка (при больших $n$$n$) к значению интеграла Лапласа.

С ростом n форма биномиальной фигуры распределения становится похожа на плавную кривую Гаусса.

ПрименениеПравить

При рассмотрении количества $m$$m$  появлений события $A$$A$  в $n$$n$  испытаниях Бернулли чаще всего нужно найти вероятность того, что $m$$m$  заключено между некоторыми значениями $a$$a$  и $b$$b$ . Так как при достаточно больших $n$$n$  промежуток $[a,b]$$[a,b]$  содержит большое число единиц, то непосредственное использование биномиального распределения

$p_n(m)=\frac{n!}{m!(n-<!--\; -\; -->m)!}{p}^m{q}^{n-<!--\; -\; -->m}$$p_{n}(m)={\frac {n!}{m!(n-m)!}}p^{m}q^{{n-m}}$ 

требует громоздких вычислений, так как нужно суммировать большое число определённых по этой формуле вероятностей.

Поэтому используют асимптотическое выражение для биномиального распределения при условии, что $p$$p$  фиксировано, а $n\to <!--\; \to \; -->+\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}$$n\rightarrow +\infty$ . Теорема Муавра — Лапласа утверждает, что таким асимптотическим выражением для биномиального распределения является нормальная функция.

ФормулировкаПравить

Если в схеме Бернулли $n$$n$  стремится к бесконечности, величина $p\in <!--\; \in \; -->(0,1)$$p\in (0,1)$  постоянна, а величина $x_m=\frac{m-<!--\; -\; -->np}{\sqrt{npq}}$$x_{m}={\frac {m-np}{{\sqrt {npq}}}}$  ограничена равномерно по $m$$m$  и $n$$n$  (то есть $\exists a,b:-\infty <a\leqslant x_{m}\leqslant b<+\infty$ ), то

$P_n(m)=\frac{1}{\sqrt{2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}npq}}\exp <!--\; \; -->\left(-<!--\; -\; -->\frac{x_m^2}{2}\right)(1+{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_n(m))$$P_{n}(m)={\frac {1}{{\sqrt {2\pi npq}}}}\exp \left(-{\frac {x_{m}^{2}}{2}}\right)(1+\alpha _{n}(m))$ 

где $\left|\alpha _{n}(m)\right|<{\frac {c}{\sqrt {n}}},c={\text{const}}>0$ .

Приближённую формулу

$P_n(m)\approx <!--\; \approx \; -->\frac{1}{\sqrt{2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}npq}}\exp <!--\; \; -->\left(-<!--\; -\; -->\frac{x_m^2}{2}\right)$$P_{n}(m)\approx {\frac {1}{{\sqrt {2\pi npq}}}}\exp \left(-{\frac {x_{m}^{2}}{2}}\right)$ 

рекомендуется применять при $n>100$$n>100$  и при $m>20$$m>20$ .

ДоказательствоПравить

Для доказательства теоремы будем использовать формулу Стирлинга из математического анализа:

$s!=\sqrt{2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{s}^{s+1/2}{e}^{-<!--\; -\; -->s}{e}^{{\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}_s},$$s!={\sqrt {2\pi }}s^{s+1/2}e^{-s}e^{\theta _{s}},$  (1)

где $0<\theta _{s}<1/{12s}$ .

При больших $s$$s$  величина $\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}$$\theta$  очень мала, и приближённая формула Стирлинга, записанная в простом виде

$s!=\sqrt{2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{s}^{s+1/2}{e}^{-<!--\; -\; -->s}$$s!={\sqrt {2\pi }}s^{{s+1/2}}e^{{-s}}$  (2)

даёт малую относительную ошибку, быстро стремящуюся к нулю при $s\to <!--\; \to \; -->+\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}$$s\rightarrow +\infty$ .

Нас будут интересовать значения $m$$m$ , не очень отличающиеся от наивероятнейшего. Тогда при фиксированном $p$$p$  условие $n\to <!--\; \to \; -->+\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}$$n\rightarrow +\infty$  будет также означать, что

$m\to <!--\; \to \; -->+\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->},n-<!--\; -\; -->m\to <!--\; \to \; -->+\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}.$$m\rightarrow +\infty ,n-m\rightarrow +\infty .$  (3)

Поэтому использование приближённой формулы Стирлинга для замены факториалов в биномиальном распределении допустимо, и мы получаем

$p_n(m)\approx <!--\; \approx \; -->\sqrt{\frac{n}{2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}m(n-<!--\; -\; -->m)}}{\left(\frac{np}{m}\right)}^m{\left(\frac{nq}{n-<!--\; -\; -->m}\right)}^{n-<!--\; -\; -->m}.$$p_{n}(m)\approx {\sqrt {\frac {n}{2\pi m(n-m)}}}\left({\frac {np}{m}}\right)^{m}\left({\frac {nq}{n-m}}\right)^{n-m}.$  (4)

Также понадобится использование отклонения относительной частоты от наивероятнейшего значения:

$x_m=\frac{m}{n}-<!--\; -\; -->p.$$x_{m}={\frac {m}{n}}-p.$  (5)

Тогда выражение (4) приобретает вид:

$p_n(m)={\left[2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}n(p+x_m)(q-<!--\; -\; -->x_m)\right]}^{-<!--\; -\; -->1/2}{\left(1+\frac{x_m}{p}\right)}^{-<!--\; -\; -->n(p+x_m)}{\left(1-<!--\; -\; -->\frac{x_m}{q}\right)}^{-<!--\; -\; -->n(q-<!--\; -\; -->x_m)}.$$p_{n}(m)=\left[2\pi n(p+x_{m})(q-x_{m})\right]^{-1/2}\left(1+{\frac {x_{m}}{p}}\right)^{-n(p+x_{m})}\left(1-{\frac {x_{m}}{q}}\right)^{-n(q-x_{m})}.$  (6)

Предположим, что

$x_{m}<pq.$  (7)

Взяв логарифм второго и третьего множителей равенства (6), применим разложение в ряд Тейлора:

$-<!--\; -\; -->n\left[(p+x_m)\ln <!--\; \; -->\left(1+\frac{x_m}{p}\right)+(q-<!--\; -\; -->x_m)\ln <!--\; \; -->\left(1-<!--\; -\; -->\frac{x_m}{q}\right)\right]=$$-n\left[(p+x_{m})\ln {\left(1+{\frac {x_{m}}{p}}\right)}+(q-x_{m})\ln {\left(1-{\frac {x_{m}}{q}}\right)}\right]=$ 

$-<!--\; -\; -->n\left[(p+x_m)\left(\frac{x_m}{p}-<!--\; -\; -->\frac{x_m^2}{2p^2}+\frac{x_m^3}{3p^3}-<!--\; -\; -->\cdots <!--\; \cdots \; -->\right)+(q-<!--\; -\; -->x_m)\left(-<!--\; -\; -->\frac{x_m}{q}-<!--\; -\; -->\frac{x_m^2}{2q^2}-<!--\; -\; -->\frac{x_m^3}{3q^3}-<!--\; -\; -->\cdots <!--\; \cdots \; -->\right)\right].$$-n\left[(p+x_{m})\left({\frac {x_{m}}{p}}-{\frac {x_{m}^{2}}{2p^{2}}}+{\frac {x_{m}^{3}}{3p^{3}}}-\cdots \right)+(q-x_{m})\left(-{\frac {x_{m}}{q}}-{\frac {x_{m}^{2}}{2q^{2}}}-{\frac {x_{m}^{3}}{3q^{3}}}-\cdots \right)\right].$  (8)

Располагаем члены этого разложения по степеням $x_m$$x_{m}$ :

$-<!--\; -\; -->n\left[\frac{x_m^2}{2}\left(\frac{1}{p}+\frac{1}{q}\right)-<!--\; -\; -->\frac{x_m^3}{6}\left(\frac{1}{p^2}-<!--\; -\; -->\frac{1}{q^2}\right)+\cdots <!--\; \cdots \; -->\right].$$-n\left[{\frac {x_{m}^{2}}{2}}\left({\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}\right)-{\frac {x_{m}^{3}}{6}}\left({\frac {1}{p^{2}}}-{\frac {1}{q^{2}}}\right)+\cdots \right].$  (9)

Предположим, что при $n\to <!--\; \to \; -->+\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->},$$n\rightarrow +\infty ,$ 

$n{x}_m^3\to <!--\; \to \; -->0.$$nx_{m}^{3}\rightarrow 0.$  (10)

Это условие, как уже было указано выше, означает, что рассматриваются значения $m$$m$  не очень далёкие от наивероятнейшего. Очевидно, что (10) обеспечивает выполнение (7) и (3).

Теперь, пренебрегая вторым и последующими членами в разложении (6), получаем, что логарифм произведения второго и третьего членов произведения в правой части (8) равен

$-<!--\; -\; -->\frac{n}{2pq}{x}_m^2.$$-{\frac {n}{2pq}}x_{m}^{2}.$  (11)

Отбрасывая малые слагаемые в скобках первого множителя (6), получаем

$p_n(m)\approx <!--\; \approx \; -->\left(\frac{1}{\sqrt{2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}npq}}\right)\exp <!--\; \; -->\left(-<!--\; -\; -->\frac{n}{2pq}{x}_m^2\right).$$p_{n}(m)\approx \left({\frac {1}{\sqrt {2\pi npq}}}\right)\exp {\left(-{\frac {n}{2pq}}x_{m}^{2}\right)}.$  (12)

Обозначив

$\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}=\sqrt{\frac{pq}{n}},$$\sigma ={\sqrt {\frac {pq}{n}}},$  (13)

переписываем (12) в виде

$p_n(m)\approx <!--\; \approx \; -->\frac{1}{n}\frac{1}{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}\sqrt{2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}}\exp <!--\; \; -->\left(-<!--\; -\; -->\frac{x_m^2}{2{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}^2}\right)=\frac{1}{n}\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}(x_m),$$p_{n}(m)\approx {\frac {1}{n}}{\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\exp {\left(-{\frac {x_{m}^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)}={\frac {1}{n}}\varphi (x_{m}),$  (14)

Где $\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}(x_m)$$\varphi (x_{m})$  — нормальная функция.

Поскольку в интервале $[m,m+1)$$[m,m+1)$  имеется только одно целое число $m$$m$ , то можно сказать, что $p_n(m)$$p_{n}(m)$  есть вероятность попадания $m$$m$  в интервал $[m,m+1)$$[m,m+1)$ . Из (5) следует, что изменению $m$$m$  на 1 соответствует изменение $x_m$$x_{m}$  на

$\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}x=\frac{1}{n}.$$\Delta x={\frac {1}{n}}.$  (15)

Поэтому вероятность попадания $m$$m$  в интервал $[m,m+1)$$[m,m+1)$  равна вероятности попадания $x_m$$x_{m}$  в промежуток $[x_{m0},x_{m0}+\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}x),$$[x_{m0},x_{m0}+\Delta x),$ 

$P(x_{m0}\le <!--\; \le \; -->x_m\le <!--\; \le \; -->x_{m0}+\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}x)=\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}(x_m)\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}x.$$P(x_{m0}\leq x_{m}\leq x_{m0}+\Delta x)=\varphi (x_{m})\Delta x.$  (16)

Если $n\to <!--\; \to \; -->+\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}$$n\rightarrow +\infty$ , то $\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}x\to <!--\; \to \; -->+0$$\Delta x\rightarrow +0$  и равенство (16) показывает, что нормальная функция $\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}(x)$$\varphi (x)$  является плотностью случайной переменной $x_m$$x_{m}$ .

Таким образом, если $n\to <!--\; \to \; -->+\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->},n{x}^3\to <!--\; \to \; -->0$$n\rightarrow +\infty ,nx^{3}\rightarrow 0$  то для отклонения относительной частоты от наивероятнейшего значения справедлива асимптотическая формула (16), в которой $\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}(x)$$\varphi (x)$  — нормальная функция с $x_m=0$$x_{m}=0$  и ${\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}^2=\frac{pq}{n}$$\sigma ^{2}={\frac {pq}{n}}$ .

Таким образом, теорема доказана.

ЛитератураПравить

• Гмурман В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика, — М.: Высшее образование. 2005
• Ширяев А. Н. Вероятность, — М.: Наука. 1989.
• Чистяков В. П. Курс теории вероятностей, — М., 1982.