Комплексная плоскость

Ко́мпле́ксная плоскость — геометрическое представление множества комплексных чисел $\mathbb{C}$$\mathbb {C}$.

Геометрическое представление комплексного числа

Точка двумерной вещественной плоскости ${\mathbb{R}}^2$$\mathbb {R} ^{2}$, имеющая координаты $(x,y)$$(x,y)$, изображает комплексное число $z=x+iy$$z=x+iy$, где:

$x=\mathrm{R}\mathrm{e}z$$x=\mathrm {Re} \,z$ — действительная (вещественная) часть комплексного числа,

$y=\mathrm{I}\mathrm{m}z$$y=\mathrm {Im} \,z$ — его мнимая часть.

Другими словами, комплексному числу $z=x+iy$$z=x+iy$ соответствует радиус-вектор с координатами $(x,y).$$(x,y).$ Алгебраическим операциям над комплексными числами соответствуют операции над соответствующими им точками или векторами. Тем самым различные соотношения между комплексными числами получают наглядное изображение на комплексной плоскости:

• сложению комплексных чисел соответствует сложение радиус-векторов;
• умножению на комплексное число $r{e}^{i\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}$$re^{i\varphi }$ соответствует поворот радиус-вектора на угол $\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}$$\varphi$ и растяжение радиус-вектора в $r$$r$ раз;
• корни n-й степени из числа располагаются в вершинах правильного n-угольника с центром в начале координат.

Комплекснозначные функции комплексного переменного интерпретируются как отображения комплексной плоскости в себя. Особую роль в комплексном анализе играют конформные отображения.

Множества на комплексной плоскости Править

Открытые множества Править

Фундаментальное понятие окрестности вводится на комплексной плоскости очень просто — окрестностью ${\mathcal{U}}_{z_0}$${{\mathcal U}}_{{z_{0}}}$  точки $z_0\in <!--\; \in \; -->\mathbb{C}$$z_{0}\in {\mathbb C}$  называется множество вида ${{\mathcal U}}_{{z_{0}}}=\{z\colon |z-z_{0}|<r\},\,r>0$ . Геометрически на комплексной плоскости окрестности имеют очень простой вид — это просто окружности с центром в определенных точках комплексной плоскости. Иногда для удобства требуется рассматривать проколотые окрестности ${\stackrel{\dot{}<!--\; \dot{}\; -->}{\mathcal{U}}}_{z_0}={\mathcal{U}}_{z_0}\setminus <!--\; \setminus \; -->\{z_0\}$${\dot {{\mathcal U}}}_{{z_{0}}}={{\mathcal U}}_{{z_{0}}}\setminus \{z_{0}\}$ .

Теперь определим открытое множество — согласно одному из вариантов классического определения из общей топологии, открытым множество будет, если оно для любой своей точки содержит некоторую её окрестность. Определение окрестности у нас уже есть, соответственно, открытое множество на $\mathbb{C}$$\mathbb {C}$  полностью определено.

Предельная точка и замкнутое множество Править

Определить предельную точку тоже будет нетрудно — точка $z_0\in <!--\; \in \; -->\mathbb{C}$$z_{0}\in {\mathbb C}$  будет предельной для множества $G\subset <!--\; \subset \; -->\mathbb{C}$$G\subset \mathbb {C}$ , если для произвольной окрестности ${\mathcal{U}}_{z_0}$${{\mathcal U}}_{{z_{0}}}$  пересечение ${\mathcal{U}}_{z_0}\cap <!--\; \cap \; -->G$${{\mathcal U}}_{{z_{0}}}\cap G$  будет не пусто. Другими словами, точка является предельной, если в произвольной «близости» к ней всегда можно будет найти точки множества. Множество предельных точек иногда называется производным и обозначается $G^{\prime }$$G'$ .

Множество $G\subset <!--\; \subset \; -->\mathbb{C}$$G\subset \mathbb {C}$  будет называться замкнутым, если для него справедливо включение $G^{\prime }\subset <!--\; \subset \; -->G$$G'\subset G$ . Ясно видно, что для произвольного множества $G$$G$  множество $\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{G}=G\cup <!--\; \cup \; -->G^{\prime }$$\overline {G}=G\cup G'$  будет замкнуто; оно называется замыканием множества $G$$G$ .

Граница Править

Точка $z_0\in <!--\; \in \; -->\mathbb{C}$$z_{0}\in {\mathbb C}$  будет называться граничной для множества $G\subset <!--\; \subset \; -->\mathbb{C}$$G\subset \mathbb {C}$ , если для произвольной окрестности ${\mathcal{U}}_{z_0}$${{\mathcal U}}_{{z_{0}}}$  пересечения ${\mathcal{U}}_{z_0}\cap <!--\; \cap \; -->G$${{\mathcal U}}_{{z_{0}}}\cap G$  и ${\mathcal{U}}_{z_0}\cap <!--\; \cap \; -->(\mathbb{C}\setminus <!--\; \setminus \; -->G)$${{\mathcal U}}_{{z_{0}}}\cap ({{\mathbb C}}\setminus G)$  будут не пусты. Множество всех граничных точек называется граничным множеством $\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}G$$\partial G$  или просто границей.

Всюду плотные множества Править

Множество $E\subset <!--\; \subset \; -->\mathbb{C}$$E\subset {\mathbb C}$  будет называться всюду плотным в ином множестве $G\subset <!--\; \subset \; -->\mathbb{C}$$G\subset \mathbb {C}$ , если для произвольной точки $z_0\in <!--\; \in \; -->G$$z_{0}\in G$  и любой окрестности ${\mathcal{U}}_{z_0}$${{\mathcal U}}_{{z_{0}}}$  пересечение ${\mathcal{U}}_{z_0}\cap <!--\; \cap \; -->E$${{\mathcal U}}_{{z_{0}}}\cap E$  не пусто.

Связность Править

Расстояние между множествами Править

Как известно из элементарной математики, на комплексной плоскости расстояние между двумя точками равно модулю их разности. Теперь определим расстояние между точкой $z_0$$z_{0}$  и некоторым множеством $G\subset <!--\; \subset \; -->\mathbb{C}$$G\subset \mathbb {C}$  как величину $\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{t}(z_0,G)=\underset{z\in <!--\; \in \; -->G}{inf}|z-<!--\; -\; -->z_0|$${\mathrm {dist}}\,(z_{0},G)=\inf _{{z\in G}}|z-z_{0}|$ .

На базе этого понятия уже можно определить расстояние между двумя произвольными множествами в $\mathbb{C}$$\mathbb {C}$ : $\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{t}(G_1,G_2)=\underset{z\in <!--\; \in \; -->G_1}{inf}\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{t}(z,G_2)=\underset{z\in <!--\; \in \; -->G_2}{inf}\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{t}(z,G_1)$${\mathrm {dist}}\,(G_{1},G_{2})=\inf _{{z\in G_{1}}}{\mathrm {dist}}\,(z,G_{2})=\inf _{{z\in G_{2}}}{\mathrm {dist}}\,(z,G_{1})$ .

Связность Править

Множество $G\subset <!--\; \subset \; -->\mathbb{C}$$G\subset \mathbb {C}$  называется связным, если для него выполнено соотношение $\underset{z_1,z_2\in <!--\; \in \; -->G}{inf}|z_1-<!--\; -\; -->z_2|=0$$\inf _{{z_{1},z_{2}\in G}}|z_{1}-z_{2}|=0$ . Если данная величина не равна нулю, то множество называется несвязным. Можно показать, что несвязное множество $G$$G$  можно представить в виде объединения (конечного или счетного) $\sum <!--\; \sum \; -->G_n$$\sum G_{n}$ , где $G_n$$G_{n}$  — непересекающиеся связные множества, называемые связными компонентами множества $G$$G$ . Мощность множества связных компонент называется порядком связности.

Выпуклые, звёздные и линейно связные множества Править

Множество $G\subset <!--\; \subset \; -->\mathbb{C}$$G\subset \mathbb {C}$  называется звёздным относительно точки $z_0\in <!--\; \in \; -->G$$z_{0}\in G$ , если для произвольной точки $z\in <!--\; \in \; -->G$$z\in G$  выполняется включение $\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{z_{0}z}\subset <!--\; \subset \; -->G$$\overline {z_{0}z}\subset G$ .

Множество $G\subset <!--\; \subset \; -->\mathbb{C}$$G\subset \mathbb {C}$  называется выпуклым, если оно звёздно относительно любой своей точки. Множество $G^{\ast <!--\; \ast \; -->}$$G^{*}$  называется выпуклой оболочкой множества $G$$G$ , если оно выпукло, $G\subset <!--\; \subset \; -->G^{\ast <!--\; \ast \; -->}$$G\subset G^{*}$  и для любого выпуклого множества $G^{\ast <!--\; \ast \; -->\ast <!--\; \ast \; -->}$$G^{{**}}$ , содержащего множество $G$$G$  выполняется включение $G^{\ast <!--\; \ast \; -->}\subset <!--\; \subset \; -->G^{\ast <!--\; \ast \; -->\ast <!--\; \ast \; -->}$$G^{*}\subset G^{{**}}$ .

Ломаной $\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}$$\Gamma$  называется множество точек комплексной плоскости, представимое в виде объединения отрезков. Множество $G$$G$  называется линейно связным, если для двух произвольных точек $z_1,z_2\in <!--\; \in \; -->G$$z_{1},z_{2}\in G$  существует ломаная $\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}\subset <!--\; \subset \; -->G$$\Gamma \subset G$  такая, что выполняется $z_1,z_2\in <!--\; \in \; -->\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}$$z_{1},z_{2}\in \Gamma$ .

Можно доказать, что любое линейно связное множество будет связным. Отсюда немедленно следует, что связны все выпуклые и звёздные множества.

Кривые на $\mathbb{C}$$\mathbb {C}$ Править

Кривые и пути Править

Кривой или путём на комплексной плоскости $\mathbb{C}$$\mathbb {C}$  называется отображение вида $\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}(t):<!--\; :\; -->[0;1]\to <!--\; \to \; -->\mathbb{C}$$\varphi (t)\colon [0;1]\to {\mathbb C}$ . Особо стоит отметить, что при таком определении можно конкретизировать не только вид кривой, который будет зависеть от аналитических свойств функции $\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}(t)$$\varphi (t)$ , но и её направление. Для примера, функции $\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}(t)$$\varphi (t)$  и $\mathrm{\eta <!--\; \eta \; -->}(t)=\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}(1-<!--\; -\; -->t)$$\eta (t)=\varphi (1-t)$  будут определять одинаковую по виду кривую, но проходимую в противоположных направлениях.

Гомотопия кривых Править

Кривые ${\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}_0(t):<!--\; :\; -->[0;1]\to <!--\; \to \; -->\mathbb{C}$$\varphi _{0}(t)\colon [0;1]\to {\mathbb C}$  и ${\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}_1(t):<!--\; :\; -->[0;1]\to <!--\; \to \; -->\mathbb{C}$$\varphi _{1}(t)\colon [0;1]\to {\mathbb C}$  называются гомотопными, если существует кривая $\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}(t,q):<!--\; :\; -->[0;1]\times <!--\; \times \; -->[0;1]\to <!--\; \to \; -->\mathbb{C}$$\xi (t,q)\colon [0;1]\times [0;1]\to {\mathbb C}$ , зависящая от параметра $q$$q$  таким образом, что $\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}(t,0)\equiv <!--\; \equiv \; -->{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}_0$$\xi (t,0)\equiv \varphi _{0}$  и $\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}(t,1)\equiv <!--\; \equiv \; -->{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}_1$$\xi (t,1)\equiv \varphi _{1}$ .

Аналитическая геометрия на комплексной плоскости Править

Исследование плоских фигур нередко облегчается, если перенести их на комплексную плоскость. Многие теоремы планиметрии допускают наглядную и компактную запись с помощью комплексных чисел, например:

• Три (различные) точки $z_1,z_2,z_3$$z_{1},z_{2},z_{3}$  лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда выполняется условие:

$\frac{z_1-<!--\; -\; -->z_3}{z_2-<!--\; -\; -->z_3}$${\frac {z_{1}-z_{3}}{z_{2}-z_{3}}}$  является вещественным числом.

• Четыре (различные) точки $z_1,z_2,z_3,z_4$$z_{1},z_{2},z_{3},z_{4}$  лежат на одной окружности (или на одной прямой) тогда и только тогда, когда выполняется условие:

отношение $\frac{z_1-<!--\; -\; -->z_3}{z_2-<!--\; -\; -->z_3}:\frac{z_1-<!--\; -\; -->z_4}{z_2-<!--\; -\; -->z_4}$${\frac {z_{1}-z_{3}}{z_{2}-z_{3}}}:{\frac {z_{1}-z_{4}}{z_{2}-z_{4}}}$  является вещественным числом.

• Если даны три вершины параллелограмма: $z_1,z_2,z_3,$$z_{1},z_{2},z_{3},$  то четвёртая определяется равенством: $z_4=z_1-<!--\; -\; -->z_2+z_3.$$z_{4}=z_{1}-z_{2}+z_{3}.$ 

Параметрическое уравнение прямой на комплексной плоскости имеет вид:

$z=ut+v,$$z=ut+v,$  где $u,v$$u,v$  — комплексные числа, $u\ne <!--\; \ne \; -->0,t$$u\neq 0,t$  — произвольный вещественный параметр.

Угол между двумя прямыми $z=ut+v$$z=ut+v$  и $z=u^{\prime }t+v^{\prime }$$z=u't+v'$  равен $\arg <!--\; \; -->(u^{\prime }/u).$$\operatorname {arg} (u'/u).$  В частности, прямые перпендикулярны, когда $u^{\prime }/u$$u'/u$  — чисто мнимое число. Две прямые параллельны тогда и только тогда, когда $u^{\prime }/u$$u'/u$  есть вещественное число; если при этом $(v^{\prime }-<!--\; -\; -->v)/u$$(v'-v)/u$  также вещественно, то обе прямые совпадают. Каждая прямая $z=ut+v$$z=ut+v$  рассекает комплексную плоскость на две полуплоскости: на одной из них выражение $t=\mathrm{Im}<!--\; \; -->\frac{z-<!--\; -\; -->v}{u}$$t=\operatorname {Im} {\frac {z-v}{u}}$  положительно, на другой — отрицательно.

Уравнение окружности с центром $c$$c$  и радиусом $r$$r$  имеет чрезвычайно простой вид: $|z-<!--\; -\; -->c|=r.$$|z-c|=r.$  Неравенство $|z-c|<r$  описывает внутренность окружности. Часто удобна параметрическая форма уравнения окружности: $z=c+e^{i\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}.$$z=c+e^{i\varphi }.$ 

Расширенная комплексная плоскость и бесконечно удалённая точка Править

В комплексном анализе часто полезно рассматривать расширенную комплексную плоскость, дополненную по сравнению с обычной бесконечно удалённой точкой $(z=\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->})$$(z=\infty )$ :

$\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{\mathbb{C}}=\mathbb{C}\cup <!--\; \cup \; -->\{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}\}$${\widehat {\mathbb {C} }}=\mathbb {C} \cup \{\infty \}$ 

Геометрически точка $\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}$$\infty$  изображается точкой сферы Римана (её «северный полюс»).

При таком подходе неограниченно возрастающая (по модулю) последовательность считается сходящейся к бесконечно удалённой точке. Алгебраические операции с бесконечностью не производятся, хотя несколько алгебраических соотношений имеют место:

• $\frac{z}{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}=0;z+\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}=\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}(z\ne <!--\; \ne \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->})$${\frac {z}{\infty }}=0;\ \ z+\infty =\infty \ (z\neq \infty )$ 
• $z\cdot <!--\; \cdot \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}=\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->};\frac{z}{0}=\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}(z\ne <!--\; \ne \; -->0)$$z\cdot \infty =\infty ;\ \ {\frac {z}{0}}=\infty \ (z\neq 0)$ 

$\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}$$\varepsilon$ -окрестностью бесконечно удалённой точки считается множество точек $z$$z$ , модуль которых больше, чем $\frac{1}{\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}$$1 \over \varepsilon$ , то есть внешняя часть $\frac{1}{\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}$$1 \over \varepsilon$ -окрестностей начала координат.

Расширенная комплексная плоскость называется также сферой Римана, так как она изоморфна обычной сфере $S^2$$S^{2}$  (изоморфизм можно установить, например, при помощи стереографической проекции). Комплекснозначные функции в некоторых случаях могут быть продолжены на сферу Римана. Поскольку прямые на плоскости (при стереографической проекции) переходят в окружности на сфере, содержащие бесконечно удалённую точку, комплексные функции удобнее рассматривать на сфере.^{[уточнить]}

Литература Править

• Арнольд В. И. Геометрия комплексных чисел, кватернионов и спинов, МЦНМО, 2002.
• Понтрягин Л. Комплексные числа, Квант, № 3, 1982.
• Привалов И. И. Введение в теорию функций комплексного переменного. — 13-е изд.. — М.: Физматлит, 1984. — 432 с.
• Свешников А. Г., Тихонов А. Н. Теория функций комплексной переменной.. — М.: Наука, 1967. — 304 с.
• Соломенцев Е. Д. Функции комплексного переменногои их применения. — М.: Высшая школа, 1988. — 167 с. — ISBN 5-06-003145-6.
• Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ: учебник для студентов механико-математических специальностей университетов, СПб.: 2004.
• Ahlfors Lars V. Complex analysis. An introduction to the theory of analytic functions of one complex variable. — Third edition. — Harvard University: McGraw-Hill Book Company, 1979. — 317 с. — ISBN 0-07-000657-1.