Параметрическое представление

Параметрическое представление — используемая в математическом анализе разновидность представления переменных, когда их зависимость выражается через дополнительную величину — параметр.

Пример параметрической кривой.

Параметрическое представление функцииПравить

Предположим, что функциональная зависимость $y$$y$  от $x$$x$  задана не непосредственно как $y=f(x),$$y=f(x),$  а через промежуточную величину $t.$$t.$ 

Тогда формулы:

$x=\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}(t);$$x=\varphi (t);\$ $y=\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}(t)$$y=\psi (t)$ 

задают параметрическое представление функции одной переменной.

Если предположить, что обе эти функции $\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}$$\varphi$  и $\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}$$\psi$  имеют производные и для $\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}$$\varphi$  существует обратная функция $\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->},$$\theta ,$  явное представление функции выражается через параметрическое как:

$y=\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}[\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}(x)]=f(x)$$y=\psi [\theta (x)]=f(x)$ 

и производная функции $y(x)$$y(x)$  может быть вычислена как:

$y^{\prime }(x)=\frac{dy}{dx}=\frac{y_t^{\prime }}{x_t^{\prime }}=\frac{{\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}^{\prime }(t)}{{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}^{\prime }(t)}.$$y'(x)={\frac {dy}{dx}}={\frac {y'_{t}}{x'_{t}}}={\frac {\psi '(t)}{\varphi '(t)}}.$ 

Параметрическое представление даёт такое важное преимущество, что позволяет изучать неявные функции в тех случаях, когда их приведение к явному виду иначе как через параметры затруднительно или невозможно через элементарные функции.

Параметрическое представление уравненияПравить

Параметрическое представление для более общего случая: когда переменные связаны уравнением (или системы уравнений, если переменных больше двух).

Параметрическое уравнениеПравить

Близкое понятие — параметрическое уравнение множества точек, когда координаты точек задаются как функции от некоторого набора свободных параметров. Если параметр один, мы получим параметрическое уравнение кривой.

$x=x(t);y=y(t)$$x=x(t);y=y(t)$  (кривая на плоскости),

$x=x(t);y=y(t);z=z(t)$$x=x(t);y=y(t);z=z(t)$  (кривая в 3-мерном пространстве),

Выражая координаты точек поверхности через два свободных параметра, мы получим параметрическое задание поверхности.

ПримерыПравить

Уравнение окружности имеет вид:

$x^2+y^2=r^2.$$x^{2}+y^{2}=r^{2}.$ 

Параметрическое уравнение окружности:

$x=r\cos <!--\; \; -->t;$$x=r~\cos ~t~;$  $y=r~\sin ~t~;~~0\leq t<2\pi$ 

Гипербола описывается следующим уравнением:

$\frac{x^2}{a^2}-<!--\; -\; -->\frac{y^2}{b^2}=1.$${\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1.$ 

Параметрическое уравнение правой ветви гиперболы :

$x=a\mathrm{ch}<!--\; \; -->t$$x=a~\operatorname {ch} ~t$ $;~y=b~\operatorname {sh} ~t~;~~-\infty <t<+\infty$ 

См. такжеПравить

• Параметрическое задание поверхности

СсылкиПравить

• Параметрическое задание кривой. Лекции по математическому анализу
• Лекции по математическому анализу. доцент кафедры математического анализа Иркутского госуниверситета Романова О. А.