Обратные тригонометрические функции

Обра́тные тригонометри́ческие фу́нкции (круговые функции, аркфункции) — математические функции, являющиеся обратными к тригонометрическим функциям. К обратным тригонометрическим функциям обычно относят шесть функций:

• арксинус (обозначение: $\arcsin <!--\; \; -->x;$$\arcsin x;$ угол, синус которого равен $x$$x$)
• арккосинус (обозначение: $\arccos <!--\; \; -->x;$$\arccos x;$ угол, косинус которого равен $x$$x$ и т. д.)
• арктангенс (обозначение: $\mathrm{arctg}<!--\; \; -->x$$\operatorname {arctg} x$; в иностранной литературе $\arctan <!--\; \; -->x$$\arctan x$)
• арккотангенс (обозначение: $\mathrm{arcctg}<!--\; \; -->x$$\operatorname {arcctg} x$; в иностранной литературе $\mathrm{arccot}<!--\; \; -->x$$\operatorname {arccot} x$ или $\mathrm{arccotan}<!--\; \; -->x$$\operatorname {arccotan} x$)
• арксеканс (обозначение: $\mathrm{arcsec}<!--\; \; -->x$$\operatorname {arcsec} x$)
• арккосеканс (обозначение: $\mathrm{arccosec}<!--\; \; -->x$$\operatorname {arccosec} x$; в иностранной литературе $\mathrm{arccsc}<!--\; \; -->x$$\operatorname {arccsc} x$)

Название обратной тригонометрической функции образуется от названия соответствующей ей тригонометрической функции добавлением приставки «арк-» (от лат. arcus — дуга). Это связано с тем, что геометрически значение обратной тригонометрической функции можно связать с длиной дуги единичной окружности (или углом, стягивающим эту дугу), соответствующей тому или иному отрезку. Так, обычный синус позволяет по дуге окружности найти стягивающую её хорду, а обратная функция решает противоположную задачу. Манера обозначать таким образом обратные тригонометрических функции появилась у австрийского математика XVIII века Карла Шерфера и закрепилась благодаря Лагранжу. Впервые специальный символ для обратной тригонометрической функции использовал Даниил Бернулли в 1729 году. Английская и немецкая математические школы до конца XIX века предлагали иные обозначения: ${\sin }^{-<!--\; -\; -->1},\frac{1}{\sin },$$\sin ^{-1},{\frac {1}{\sin }},$ но они не прижились. Лишь изредка в иностранной литературе, также как и в научных/инженерных калькуляторах, пользуются обозначениями типа sin⁻¹, cos⁻¹ для арксинуса, арккосинуса и т. п., — такая запись считается не очень удобной, так как возможна путаница с возведением функции в степень −1.

Тригонометрические функции периодичны, поэтому функции, обратные к ним, многозначны. То есть, значение аркфункции представляет собой множество углов (дуг), для которых соответствующая прямая тригонометрическая функция равна заданному числу. Например, $\arcsin <!--\; \; -->1/2$$\arcsin 1/2$ означает множество углов $\left(\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{6},\frac{5\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{6},\frac{13\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{6},\frac{17\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{6}\dots <!--\; \dots \; -->({30}^{\circ <!--\; \circ \; -->},{150}^{\circ <!--\; \circ \; -->},{390}^{\circ <!--\; \circ \; -->},{510}^{\circ <!--\; \circ \; -->}\dots <!--\; \dots \; -->)\right)$$\left ( \frac{\pi}{6}, \frac{5 \pi}{6}, \frac{13 \pi}{6}, \frac{17 \pi}{6} \dots ~ (30^\circ, 150^\circ, 390^\circ, 510^\circ \dots) \right )$, синус которых равен $1/2$$1/2$. Из множества значений каждой аркфункции выделяют её главные значения (см. графики главных значений аркфункций ниже), которые обычно и имеют в виду, говоря об арксинусе, арккосинусе и т. д.

В общем случае при условии $-<!--\; -\; -->1⩽<!--\; ⩽\; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}⩽<!--\; ⩽\; -->1$$-1\leqslant \alpha \leqslant 1$ все решения уравнения $\sin <!--\; \; -->x=\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}$$\sin x=\alpha$ можно представить в виде $x=(-<!--\; -\; -->1{)}^n\arcsin <!--\; \; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}+\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}n,n=0,\pm <!--\; \pm \; -->1,\pm <!--\; \pm \; -->2,\dots <!--\; \dots \; -->.$$x=(-1)^{n}\arcsin \alpha +\pi n,~n=0,\pm 1,\pm 2,\dots ~.$

Основное соотношениеПравить

$\arcsin <!--\; \; -->x+\arccos <!--\; \; -->x=\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{2}$$\arcsin x+\arccos x={\frac {\pi }{2}}$ 

$\mathrm{arctg}x+\mathrm{arcctg}x=\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{2}$$\operatorname {arctg}\,x+\operatorname {arcctg}\,x={\frac {\pi }{2}}$ 

Функция arcsinПравить

 

График функции $y=\arcsin <!--\; \; -->x$$y=\arcsin x$ 

Аркси́нусом числа x называется такое значение угла y, выраженного в радианах, для которого $\sin <!--\; \; -->y=x,-<!--\; -\; -->\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{2}⩽<!--\; ⩽\; -->y⩽<!--\; ⩽\; -->\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{2},|x|⩽<!--\; ⩽\; -->1.$$\sin y=x,\quad -{\frac {\pi }{2}}\leqslant y\leqslant {\frac {\pi }{2}},\quad |x|\leqslant 1.$ 

Функция $y=\arcsin <!--\; \; -->x$$y=\arcsin x$  непрерывна и ограничена на всей своей области определения. Она является строго возрастающей.

• $\sin <!--\; \; -->(\arcsin <!--\; \; -->x)=x$$\sin(\arcsin x)=x\qquad$  при $-<!--\; -\; -->1⩽<!--\; ⩽\; -->x⩽<!--\; ⩽\; -->1,$$-1\leqslant x\leqslant 1,$ 
• $\arcsin <!--\; \; -->(\sin <!--\; \; -->y)=y$$\arcsin(\sin y)=y\qquad$  при $-<!--\; -\; -->\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{2}⩽<!--\; ⩽\; -->y⩽<!--\; ⩽\; -->\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{2},$$-{\frac {\pi }{2}}\leqslant y\leqslant {\frac {\pi }{2}},$ 
• $D(\arcsin <!--\; \; -->x)=[-<!--\; -\; -->1;1]$$D(\arcsin x)=[-1;1]\qquad$  (область определения),
• $E(\arcsin <!--\; \; -->x)=\left[-<!--\; -\; -->\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{2};\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{2}\right]$$E(\arcsin x)=\left[-{\frac {\pi }{2}};{\frac {\pi }{2}}\right]\qquad$  (область значений).

Свойства функции arcsinПравить

• $\arcsin <!--\; \; -->(-<!--\; -\; -->x)=-<!--\; -\; -->\arcsin <!--\; \; -->x$$\arcsin(-x)=-\arcsin x\qquad$  (функция является нечётной).
• $\arcsin <!--\; \; -->x>0$$\arcsin x>0$  при $0<x\leqslant 1$ .
• $\arcsin <!--\; \; -->x=0$$\arcsin x=0$  при $x=0.$$x=0.$ 
• $\arcsin x<0$  при $-1\leqslant x<0.$ 
• $\arcsin <!--\; \; -->x=\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{2}-<!--\; -\; -->\arccos <!--\; \; -->x.$$\arcsin x={\frac {\pi }{2}}-\arccos x.$ 
• $\arcsin <!--\; \; -->x=\{\begin{array}{c}\arccos <!--\; \; -->\sqrt{1-<!--\; -\; -->x^2},0⩽<!--\; ⩽\; -->x⩽<!--\; ⩽\; -->1\\ -<!--\; -\; -->\arccos <!--\; \; -->\sqrt{1-<!--\; -\; -->x^2},-<!--\; -\; -->1⩽<!--\; ⩽\; -->x⩽<!--\; ⩽\; -->0\end{array}$$\arcsin x=\left\{{\begin{matrix}\arccos {\sqrt {1-x^{2}}},\qquad 0\leqslant x\leqslant 1\\-\arccos {\sqrt {1-x^{2}}},\qquad -1\leqslant x\leqslant 0\end{matrix}}\right.$ 
• $\arcsin <!--\; \; -->x=\mathrm{arctg}<!--\; \; -->\frac{x}{\sqrt{1-<!--\; -\; -->x^2}}$$\arcsin x=\operatorname {arctg}{\frac {x}{{\sqrt {1-x^{2}}}}}$ 
• $\arcsin x=\left\{{\begin{matrix}\operatorname {arcctg}\,{\frac {{\sqrt {1-x^{2}}}}{x}},\qquad 0<x\leqslant 1\\\operatorname {arcctg}\,{\frac {{\sqrt {1-x^{2}}}}{x}}-\pi ,\qquad -1\leqslant x<0\end{matrix}}\right.$ 

Получение функции arcsinПравить

Дана функция $y=\sin <!--\; \; -->x$$y=\sin x$ . На всей своей области определения она является кусочно-монотонной, и, значит, на всей числовой прямой обратное соответствие $y=\arcsin <!--\; \; -->x$$y=\arcsin x$  функцией не является. Поэтому рассмотрим отрезок $[-<!--\; -\; -->\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}/2;\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}/2]$$[-\pi /2;\pi /2]$ , на котором функция $y=\sin <!--\; \; -->x$$y=\sin x$  строго монотонно возрастает и принимает все значения своей области значений только один раз. Тогда на отрезке $[-<!--\; -\; -->\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}/2;\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}/2]$$[-\pi /2;\pi /2]$  существует обратная функция $y=\arcsin <!--\; \; -->x$$y=\arcsin x$ , график которой симметричен графику функции $y=\sin <!--\; \; -->x$$y=\sin x$  относительно прямой $y=x$$y=x$ .

Функция arccosПравить

 

График функции $y=\arccos <!--\; \; -->x$$y=\arccos x$ 

Аркко́синусом числа x называется такое значение угла y в радианной мере, для которого $\cos <!--\; \; -->y=x,0⩽<!--\; ⩽\; -->y⩽<!--\; ⩽\; -->\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->},|x|⩽<!--\; ⩽\; -->1.$$\cos y=x,\qquad 0\leqslant y\leqslant \pi ,\quad |x|\leqslant 1.$ 

Функция $y=\arccos <!--\; \; -->x$$y=\arccos x$  непрерывна и ограничена на всей своей области определения. Она является строго убывающей и неотрицательной.

• $\cos <!--\; \; -->(\arccos <!--\; \; -->x)=x$$\cos(\arccos x)=x$  при $-<!--\; -\; -->1⩽<!--\; ⩽\; -->x⩽<!--\; ⩽\; -->1,$$-1\leqslant x\leqslant 1,$ 
• $\arccos <!--\; \; -->(\cos <!--\; \; -->y)=y$$\arccos(\cos y)=y$  при $0⩽<!--\; ⩽\; -->y⩽<!--\; ⩽\; -->\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}.$$0\leqslant y\leqslant \pi .$ 
• $D(\arccos <!--\; \; -->x)=[-<!--\; -\; -->1;1]$$D(\arccos x)=[-1;1]$  (область определения),
• $E(\arccos <!--\; \; -->x)=[0;\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}]$$E(\arccos x)=[0;\pi ]$  (область значений).

Свойства функции arccosПравить

• $\arccos <!--\; \; -->(-<!--\; -\; -->x)=\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}-<!--\; -\; -->\arccos <!--\; \; -->x.$$\arccos(-x)=\pi -\arccos x.$  Функция центрально-симметрична относительно точки $\left(0;\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{2}\right),$$\left(0;{\frac {\pi }{2}}\right),$  является индифферентной (ни чётной, ни нечётной).
• $\arccos <!--\; \; -->x>0$$\arccos x>0$  при $-1\leqslant x<1.$ 
• $\arccos <!--\; \; -->x=0$$\arccos x=0$  при $x=1.$$x=1.$ 
• $\arccos <!--\; \; -->x=\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{2}-<!--\; -\; -->\arcsin <!--\; \; -->x.$$\arccos x={\frac {\pi }{2}}-\arcsin x.$ 
• $\arccos <!--\; \; -->x=\{\begin{array}{c}\arcsin <!--\; \; -->\sqrt{1-<!--\; -\; -->x^2},0⩽<!--\; ⩽\; -->x⩽<!--\; ⩽\; -->1\\ \mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}-<!--\; -\; -->\arcsin <!--\; \; -->\sqrt{1-<!--\; -\; -->x^2},-<!--\; -\; -->1⩽<!--\; ⩽\; -->x⩽<!--\; ⩽\; -->0\end{array}$$\arccos x=\left\{{\begin{matrix}\arcsin {\sqrt {1-x^{2}}},\qquad 0\leqslant x\leqslant 1\\\pi -\arcsin {\sqrt {1-x^{2}}},\qquad -1\leqslant x\leqslant 0\end{matrix}}\right.$ 
• $\arccos <!--\; \; -->x=\mathrm{arcctg}<!--\; \; -->\frac{x}{\sqrt{1-<!--\; -\; -->x^2}}$$\arccos x=\operatorname {arcctg} {\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}$ 
• $\arccos x=\left\{{\begin{matrix}\operatorname {arctg}\,{\frac {{\sqrt {1-x^{2}}}}{x}},\qquad 0<x\leqslant 1\\\pi +\operatorname {arctg}\,{\frac {{\sqrt {1-x^{2}}}}{x}},\qquad -1\leqslant x<0\end{matrix}}\right.$ 
• $\arccos <!--\; \; -->x=2\arcsin <!--\; \; -->\sqrt{\frac{1-<!--\; -\; -->x}{2}}$$\arccos x=2\arcsin {\sqrt {\frac {1-x}{2}}}$ 
• $\arccos <!--\; \; -->x=2\arccos <!--\; \; -->\sqrt{\frac{1+x}{2}}$$\arccos x=2\arccos {\sqrt {\frac {1+x}{2}}}$ 
• $\arccos <!--\; \; -->x=2\mathrm{arctg}<!--\; \; -->\sqrt{\frac{1-<!--\; -\; -->x}{1+x}}$$\arccos x=2\operatorname {arctg}{\sqrt {\frac {1-x}{1+x}}}$ 

Получение функции arccosПравить

Дана функция $y=\cos <!--\; \; -->x$$y=\cos x$ . На всей своей области определения она является кусочно-монотонной, и, значит, на всей числовой прямой обратное соответствие $y=\arccos <!--\; \; -->x$$y=\arccos x$  функцией не является. Поэтому рассмотрим отрезок $[0;\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}]$$[0;\pi ]$ , на котором функция $y=\cos <!--\; \; -->x$$y=\cos x$  строго монотонно убывает и принимает все значения своей области значений только один раз. Тогда на отрезке $[0;\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}]$$[0;\pi ]$  существует обратная функция $y=\arccos <!--\; \; -->x$$y=\arccos x$ , график которой симметричен графику функции $y=\cos <!--\; \; -->x$$y=\cos x$  относительно прямой $y=x$$y=x$ .

Функция arctgПравить

 

График функции $y=\mathrm{arctg}x$$y=\operatorname {arctg}\,x$ 

Аркта́нгенсом числа x называется такое значение угла $y,$$y,$  выраженное в радианах, для которого $\operatorname {tg} y=x,\quad -{\frac {\pi }{2}}<y<{\frac {\pi }{2}}.$ 

Функция $y=\mathrm{arctg}<!--\; \; -->x$$y=\operatorname {arctg}x$  определена на всей числовой прямой, всюду непрерывна и ограничена. Она является строго возрастающей.

• $\mathrm{tg}(\mathrm{arctg}x)=x$$\operatorname {tg}\,(\operatorname {arctg}\,x)=x$  при $x\in <!--\; \in \; -->\mathbb{R},$$x\in {\mathbb R},$ 
• $\mathrm{arctg}(\mathrm{tg}y)=y$$\operatorname {arctg}\,(\operatorname {tg}\,y)=y$  при $-{\frac {\pi }{2}}<y<{\frac {\pi }{2}},$ 
• $D(\mathrm{arctg}x)=(-<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->};\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->})$$D(\operatorname {arctg} \,x)=(-\infty ;\infty )$  (область определения),
• $E(\mathrm{arctg}x)=\left(-<!--\; -\; -->\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{2};\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{2}\right)$$E(\operatorname {arctg}\,x)=\left(-{\frac {\pi }{2}};{\frac {\pi }{2}}\right)$  (область значений).

Свойства функции arctgПравить

• $\mathrm{arctg}<!--\; \; -->(-<!--\; -\; -->x)=-<!--\; -\; -->\mathrm{arctg}<!--\; \; -->x$$\operatorname {arctg}(-x)=-\operatorname {arctg}x\qquad$  (функция является нечётной).
• $\mathrm{arctg}<!--\; \; -->x=\arcsin <!--\; \; -->\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}.$$\operatorname {arctg} x=\arcsin {\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}}.$ 
• $\mathrm{arctg}<!--\; \; -->x=\{\begin{array}{c}\arccos <!--\; \; -->\frac{1}{\sqrt{1+x^2}},x⩾<!--\; ⩾\; -->0\\ -<!--\; -\; -->\arccos <!--\; \; -->\frac{1}{\sqrt{1+x^2}},x⩽<!--\; ⩽\; -->0\end{array}$$\operatorname {arctg} x=\left\{{\begin{matrix}\arccos {\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}},\qquad x\geqslant 0\\-\arccos {\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}},\qquad x\leqslant 0\end{matrix}}\right.$ 
• $\mathrm{arctg}<!--\; \; -->x=\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}/2-<!--\; -\; -->\mathrm{arcctg}<!--\; \; -->x.$$\operatorname {arctg} x=\pi /2-\operatorname {arcctg} x.$ 
• $\operatorname {arctg} x=\left\{{\begin{matrix}\operatorname {arcctg} {\frac {1}{x}},\qquad x>0\\\operatorname {arcctg} {\frac {1}{x}}-\pi ,\qquad x<0\end{matrix}}\right.$ 
• $\mathrm{arctg}<!--\; \; -->x=-<!--\; -\; -->i\mathrm{arth}<!--\; \; -->ix$$\operatorname {arctg} x=-i\operatorname {arth} {ix}$ , где $\mathrm{arth}$$\operatorname {arth}$  — обратный гиперболический тангенс, ареатангенс.
• $\mathrm{arth}<!--\; \; -->x=i\mathrm{arctg}<!--\; \; -->ix.$$\operatorname {arth} x=i\operatorname {arctg} {ix}.$ 

Получение функции arctgПравить

Дана функция $y=\mathrm{tg}x$$y=\operatorname {tg}\,x$ . На всей своей области определения она является кусочно-монотонной, и, значит, обратное соответствие $y=\mathrm{arctg}x$$y=\operatorname {arctg}\,x$  функцией не является. Поэтому рассмотрим интервал $(-<!--\; -\; -->\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}/2;\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}/2)$$(-\pi /2;\pi /2)$ , на котором функция $y=\mathrm{tg}x$$y=\operatorname {tg}\,x$  строго монотонно возрастает и принимает все значения своей области значений только один раз. Тогда на интервале $(-<!--\; -\; -->\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}/2;\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}/2)$$(-\pi /2;\pi /2)$  существует обратная функция $y=\mathrm{arctg}x$$y=\operatorname {arctg}\,x$ , график которой симметричен графику функции $y=\mathrm{tg}x$$y=\operatorname {tg}\,x$  относительно прямой $y=x$$y=x$ .

Функция arcctgПравить

 

График функции $y=\mathrm{arcctg}<!--\; \; -->x$$y=\operatorname {arcctg} x$ 

Арккота́нгенсом числа x называется такое значение угла y (в радианной мере измерения углов), для которого $\operatorname {ctg} \,y=x,\quad 0<y<\pi .$ 

Функция $y=\mathrm{arcctg}x$$y=\operatorname {arcctg}\,x$  определена на всей числовой прямой, всюду непрерывна и ограничена. Она является строго убывающей и всюду положительной.

• $\mathrm{ctg}<!--\; \; -->(\mathrm{arcctg}x)=x$$\operatorname {ctg} (\operatorname {arcctg} \,x)=x$  при $x\in <!--\; \in \; -->\mathbb{R},$$x\in {\mathbb R},$ 
• $\mathrm{arcctg}<!--\; \; -->(\mathrm{ctg}y)=y$$\operatorname {arcctg} (\operatorname {ctg} \,y)=y$  при $0<y<\pi ,$ 
• $D(\mathrm{arcctg}<!--\; \; -->x)=(-<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->};\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}),$$D(\operatorname {arcctg} x)=(-\infty ;\infty ),$ 
• $E(\mathrm{arcctg}<!--\; \; -->x)=(0;\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}).$$E(\operatorname {arcctg} x)=(0;\pi ).$ 

Свойства функции arcctgПравить

• $\mathrm{arcctg}<!--\; \; -->(-<!--\; -\; -->x)=\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}-<!--\; -\; -->\mathrm{arcctg}<!--\; \; -->x.$$\operatorname {arcctg} (-x)=\pi -\operatorname {arcctg} x.$  График функции центрально-симметричен относительно точки $\left(0;\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{2}\right).$$\left(0;{\frac {\pi }{2}}\right).$  Функция является индифферентной (ни чётной, ни нечётной).
• $\mathrm{arcctg}<!--\; \; -->x>0$$\operatorname {arcctg} x>0$  при любых $x.$$x.$ 
• $\mathrm{arcctg}<!--\; \; -->x=\arccos <!--\; \; -->\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}.$$\operatorname {arcctg} x=\arccos {\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}}.$ 
• $\mathrm{arcctg}<!--\; \; -->x=\{\begin{array}{c}\arcsin <!--\; \; -->\frac{1}{\sqrt{1+x^2}},x⩾<!--\; ⩾\; -->0\\ \mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}-<!--\; -\; -->\arcsin <!--\; \; -->\frac{1}{\sqrt{1+x^2}},x⩽<!--\; ⩽\; -->0\end{array}$$\operatorname {arcctg} x=\left\{{\begin{matrix}\arcsin {\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}},\qquad x\geqslant 0\\\pi -\arcsin {\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}},\qquad x\leqslant 0\end{matrix}}\right.$ 
• $\mathrm{arcctg}<!--\; \; -->x=\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}/2-<!--\; -\; -->\mathrm{arctg}<!--\; \; -->x.$$\operatorname{arcctg} x = \pi/2-\operatorname{arctg} x.$ 
• $\operatorname {arcctg} x=\left\{{\begin{matrix}\operatorname {arctg} {\frac {1}{x}},\qquad x>0\\\operatorname {arctg} {\frac {1}{x}}+\pi ,\qquad x<0\end{matrix}}\right.$ 

Получение функции arcctgПравить

Дана функция $y=\mathrm{ctg}x$$y=\operatorname {ctg}\,x$ . На всей своей области определения она является кусочно-монотонной, и, значит, обратное соответствие $y=\mathrm{arcctg}x$$y=\operatorname {arcctg}\,x$  функцией не является. Поэтому рассмотрим интервал $(0;\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->})$$(0;\pi )$ , на котором функция $y=\mathrm{ctg}x$$y=\operatorname {ctg}\,x$  строго монотонно убывает и принимает все значения своей области значений только один раз. Тогда на интервале $(0;\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->})$$(0;\pi )$  существует обратная функция $y=\mathrm{arcctg}x$$y=\operatorname {arcctg}\,x$ , график которой симметричен графику функции $y=\mathrm{ctg}x$$y=\operatorname {ctg}\,x$  относительно прямой $y=x$$y=x$ .

График арккотангенса получается из графика арктангенса, если последний отразить относительно оси ординат (то есть заменить знак аргумента, $x\to <!--\; \to \; -->-<!--\; -\; -->x$$x\rightarrow -x$ ) и сместить вверх на π/2; это вытекает из вышеупомянутой формулы $\mathrm{arcctg}<!--\; \; -->x=\mathrm{arctg}<!--\; \; -->(-<!--\; -\; -->x)+\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}/2.$$\operatorname {arcctg}x=\operatorname {arctg}(-x)+\pi /2.$ 

Функция arcsecПравить

 

График функции $y=\mathrm{arcsec}<!--\; \; -->x$$y=\operatorname {arcsec} x$ 

Арксе́кансом числа x называется такое значение угла y (в радианной мере измерения углов), для которого $\sec <!--\; \; -->y=x,|x|⩾<!--\; ⩾\; -->1,0⩽<!--\; ⩽\; -->y⩽<!--\; ⩽\; -->\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}.$$\sec y=x,\qquad |x|\geqslant 1,\quad 0\leqslant y\leqslant \pi .$ 

Функция $y=\mathrm{arcsec}<!--\; \; -->x$$y=\operatorname {arcsec} x$  непрерывна и ограничена на всей своей области определения. Она является строго возрастающей и всюду неотрицательной.

• $\sec <!--\; \; -->(\mathrm{arcsec}<!--\; \; -->x)=x$$\sec(\operatorname {arcsec} x)=x$  при $|x|⩾<!--\; ⩾\; -->1,$$|x|\geqslant 1,$ 
• $\mathrm{arcsec}<!--\; \; -->(\sec <!--\; \; -->y)=y$$\operatorname {arcsec}(\sec y)=y$  при $0⩽<!--\; ⩽\; -->y⩽<!--\; ⩽\; -->\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}.$$0\leqslant y\leqslant \pi .$ 
• $D(\mathrm{arcsec}<!--\; \; -->x)=(-<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->};-<!--\; -\; -->1]\cup <!--\; \cup \; -->[1,\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->})$$D(\operatorname {arcsec} x)=(-\infty ;-1]\cup [1,\infty )$  (область определения),
• $E(\mathrm{arcsec}<!--\; \; -->x)=[0;\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{2})\cup <!--\; \cup \; -->(\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{2};\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}]$$E(\operatorname {arcsec} x)=[0;{\frac {\pi }{2}})\cup ({\frac {\pi }{2}};\pi ]$  (область значений).

Свойства функции arcsecПравить

• $\mathrm{arcsec}<!--\; \; -->(-<!--\; -\; -->x)=\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}-<!--\; -\; -->\mathrm{arcsec}<!--\; \; -->x.$$\operatorname {arcsec}(-x)=\pi -\operatorname {arcsec} x.$  График функции центрально-симметричен относительно точки $\left(0;\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{2}\right).$$\left(0;{\frac {\pi }{2}}\right).$  Функция является индифферентной (ни чётной, ни нечётной).
• $\mathrm{arcsec}<!--\; \; -->x⩾<!--\; ⩾\; -->0$$\operatorname {arcsec} x\geqslant 0$  при любых $x.$$x.$ 
• $\mathrm{arcsec}<!--\; \; -->x=\{\begin{array}{c}\arcsin <!--\; \; -->\frac{\sqrt{x^2-<!--\; -\; -->1}}{x},x⩾<!--\; ⩾\; -->1\\ \mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}+\arcsin <!--\; \; -->\frac{\sqrt{x^2-<!--\; -\; -->1}}{x},x⩽<!--\; ⩽\; -->-<!--\; -\; -->1\end{array}$$\operatorname {arcsec} x=\left\{{\begin{matrix}\arcsin {\frac {\sqrt {x^{2}-1}}{x}},\qquad x\geqslant 1\\\pi +\arcsin {\frac {\sqrt {x^{2}-1}}{x}},\qquad x\leqslant -1\end{matrix}}\right.$ 
• $\mathrm{arcsec}<!--\; \; -->x=\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{2}-<!--\; -\; -->\mathrm{arccosec}<!--\; \; -->x.$$\operatorname {arcsec} x={\frac {\pi }{2}}-\operatorname {arccosec} x.$ 
• $\mathrm{arcsec}<!--\; \; -->x=\arccos <!--\; \; -->\frac{1}{x}.$$\operatorname {arcsec} x=\arccos {\frac {1}{x}}.$ 

Функция arccosecПравить

 

График функции $y=\mathrm{arccosec}<!--\; \; -->x$$y=\operatorname {arccosec} x$ 

Арккосе́кансом числа x называется такое значение угла y (в радианной мере измерения углов), для которого $\mathrm{cosec}<!--\; \; -->y=x,|x|⩾<!--\; ⩾\; -->1,-<!--\; -\; -->\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}/2⩽<!--\; ⩽\; -->y⩽<!--\; ⩽\; -->\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}/2.$$\operatorname {cosec} y=x,\qquad |x|\geqslant 1,\quad -\pi /2\leqslant y\leqslant \pi /2.$ 

Функция $y=\mathrm{arccosec}<!--\; \; -->x$$y=\operatorname {arccosec} x$  непрерывна и ограничена на всей своей области определения. Она является строго убывающей.

• $\mathrm{cosec}<!--\; \; -->(\mathrm{arccosec}<!--\; \; -->x)=x$$\operatorname {cosec} (\operatorname {arccosec} x)=x$  при $|x|⩾<!--\; ⩾\; -->1,$$|x|\geqslant 1,$ 
• $\mathrm{arccosec}<!--\; \; -->(\mathrm{cosec}<!--\; \; -->y)=y$$\operatorname {arccosec} (\operatorname {cosec} y)=y$  при $-<!--\; -\; -->\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}/2⩽<!--\; ⩽\; -->y⩽<!--\; ⩽\; -->\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}/2.$$-\pi /2\leqslant y\leqslant \pi /2.$ 
• $D(\mathrm{arccosec}<!--\; \; -->x)=(-<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->};-<!--\; -\; -->1]\cup <!--\; \cup \; -->[1,\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->})$$D(\operatorname {arccosec} x)=(-\infty ;-1]\cup [1,\infty )$  (область определения),
• $E(\mathrm{arccosec}<!--\; \; -->x)=[-<!--\; -\; -->\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{2};0)\cup <!--\; \cup \; -->(0;\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{2}]$$E(\operatorname {arccosec} x)=[-{\frac {\pi }{2}};0)\cup (0;{\frac {\pi }{2}}]$  (область значений).

Свойства функции arccosecПравить

• $\mathrm{arccosec}<!--\; \; -->(-<!--\; -\; -->x)=-<!--\; -\; -->\mathrm{arccosec}<!--\; \; -->x$$\operatorname {arccosec} (-x)=-\operatorname {arccosec} x$  (функция является нечётной).
• $\operatorname {arccosec} \,x=\operatorname {arctg} {\frac {\operatorname {sgn} x}{\sqrt {x^{2}-1}}}=\left\{{\begin{matrix}\operatorname {arctg} {\frac {1}{\sqrt {x^{2}-1}}},\qquad x>1\\-\operatorname {arctg} {\frac {1}{\sqrt {x^{2}-1}}},\qquad x<-1\end{matrix}}\right.$ 
• $\mathrm{arccosec}<!--\; \; -->x=\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}/2-<!--\; -\; -->\mathrm{arcsec}<!--\; \; -->x.$$\operatorname {arccosec} x=\pi /2-\operatorname {arcsec} x.$ 
• $\mathrm{arccosec}<!--\; \; -->x=\arcsin <!--\; \; -->\frac{1}{x}.$$\operatorname {arccosec} x=\arcsin {\frac {1}{x}}.$ 

Разложение в рядыПравить

• $\arcsin <!--\; \; -->x=x+\frac{x^3}{6}+\frac{3x^5}{40}+\cdots <!--\; \cdots \; -->=\underset{n=0}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\frac{(2n)!}{4^n(n!{)}^2(2n+1)}{x}^{2n+1}$$\displaystyle \arcsin x=x+{\frac {x^{3}}{6}}+{\frac {3x^{5}}{40}}+\cdots \ =\sum _{{n=0}}^{{\infty }}{\frac {(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n+1)}}x^{{2n+1}}$  для всех $\left|x\right|\le <!--\; \le \; -->1$$\left|x\right|\leq 1$ 
• $\arccos <!--\; \; -->x=\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{2}-<!--\; -\; -->\arcsin <!--\; \; -->x=\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{2}-<!--\; -\; -->\underset{n=0}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\frac{(2n)!}{4^n(n!{)}^2(2n+1)}{x}^{2n+1}$$\displaystyle \arccos x={\pi \over 2}-\arcsin x={\pi \over 2}-\sum _{{n=0}}^{{\infty }}{\frac {(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n+1)}}x^{{2n+1}}$  для всех $\left|x\right|\le <!--\; \le \; -->1$$\left|x\right|\leq 1$ 
• $\mathrm{arctg}<!--\; \; -->x=x-<!--\; -\; -->\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-<!--\; -\; -->\cdots <!--\; \cdots \; -->=\underset{n=1}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\frac{(-<!--\; -\; -->1{)}^{n-<!--\; -\; -->1}}{2n-<!--\; -\; -->1}{x}^{2n-<!--\; -\; -->1}$$\displaystyle \operatorname {arctg} \ x=x-{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{5}}-\cdots \ =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}}{2n-1}}x^{2n-1}$  для всех $\left|x\right|\le <!--\; \le \; -->1$$\left|x\right|\leq 1$ 

Производные от обратных тригонометрических функцийПравить

Все обратные тригонометрические функции бесконечно дифференцируемы в каждой точке своей области определения. Первые производные:

 

производные обратных тригонометрических функций

Функция $f(x)$$f(x)$	Производная $f^{\prime }(x)$$f'(x)$	Примечание
$\arcsin <!--\; \; -->x$$\arcsin {x}$	$\frac{1}{\sqrt{1-<!--\; -\; -->x^2}}$${\frac {1}{{\sqrt {1-x^{2}}}}}$	Доказательство                                  Найти производную арксинуса можно при помощи взаимно обратных функций. $sin(arcsin((x))=x$$sin(arcsin((x))=x$  После чего мы должны взять производную этих обеих функций. $[sin(arcsin((x)){]}^{\prime }=x^{\prime }$$[sin(arcsin((x))]'=x'$  $cos(arcsin(x))\cdot <!--\; \cdot \; -->(arcsin(x){)}^{\prime }=1$$cos(arcsin(x))\cdot (arcsin(x))'=1$  Теперь мы должны выразить производную арксинуса. $(arcsin(x){)}^{\prime }=\frac{1}{cos(arcsin(x))}$$(arcsin(x))'={\frac {1}{cos(arcsin(x))}}$  Исходя из тригонометрического тождества($si{n}^{2}x+co{s}^{2}x=1$$sin^{2}x+cos^{2}x=1$ ) — получаем. $(arcsin(x){)}^{\prime }=\frac{1}{\pm <!--\; \pm \; -->\sqrt{1-<!--\; -\; -->si{n}^2(arcsin(x))}}$$(arcsin(x))'={\frac {1}{\pm {\sqrt {1-sin^{2}(arcsin(x))}}}}$  Для того, чтобы понять плюс должен стоять или минус взглянем какие значения. $D(cos(x))=[\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{2};-<!--\; -\; -->\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{2}]$$D(cos(x))=[{\frac {\pi }{2}};-{\frac {\pi }{2}}]$  Так как косинус находится в 2-й и 4-й четвертях то, получается что косинус положительный. $(arcsin(x){)}^{\prime }=\frac{1}{\sqrt{1-<!--\; -\; -->si{n}^2(arcsin(x))}}$$(arcsin(x))'={\frac {1}{\sqrt {1-sin^{2}(arcsin(x))}}}$  Получается. $(arcsin(x){)}^{\prime }=\frac{1}{\sqrt{1-<!--\; -\; -->x^2}}$$(arcsin(x))'={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}$
$\arccos <!--\; \; -->x$$\arccos {x}$	$-<!--\; -\; -->\frac{1}{\sqrt{1-<!--\; -\; -->x^2}}$$-{\frac {1}{{\sqrt {1-x^{2}}}}}$	Доказательство                                  Найти производную арккосинуса можно при помощи данного тождества: $arcsin(x)+arccos(x)=\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{2}$$arcsin(x)+arccos(x)={\frac {\pi }{2}}$  Теперь находим производную обеих частей этого тождества. $[arcsin(x)+arccos(x){]}^{\prime }=(\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{2}{)}^{\prime }$$[arcsin(x)+arccos(x)]'=({\frac {\pi }{2}})'$  $(arcsin(x){)}^{\prime }+(arccos(x){)}^{\prime }=0$$(arcsin(x))'+(arccos(x))'=0$  Теперь выражаем производную арккосинуса. $(arccos(x){)}^{\prime }=-<!--\; -\; -->(arcsin(x){)}^{\prime }$$(arccos(x))'=-(arcsin(x))'$  Получается. $(arccos(x){)}^{\prime }=-<!--\; -\; -->\frac{1}{\sqrt{1-<!--\; -\; -->x^2}}$$(arccos(x))'=-{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}$
$\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}x$$\mathrm {arctg} \ x$	$\frac{1}{1+x^2}$${\frac {1}{1+x^{2}}}$	Доказательство                                  Найти производную арктангенса можно при помощи взаимнообратной функции: $tg(arctg(x))=x$$tg(arctg(x))=x$  Теперь находим производную обеих частей этого тождества. $[tg(arctg(x)){]}^{\prime }=1$$[tg(arctg(x))]'=1$  $\frac{1}{co{s}^2(arctg(x))}\cdot <!--\; \cdot \; -->(arctg(x){)}^{\prime }=1$${\frac {1}{cos^{2}(arctg(x))}}\cdot (arctg(x))'=1$  Теперь мы должны выразить производную арктангенса: $(arctg(x){)}^{\prime }=co{s}^2(arctg(x))$$(arctg(x))'=cos^{2}(arctg(x))$  Теперь на помощь нам придет на помощь тождество($cos(x)=\frac{1}{\sqrt{1+t{g}^2(x)}}$$cos(x)={\frac {1}{\sqrt {1+tg^{2}(x)}}}$ ): $(arctg(x){)}^{\prime }=(\frac{1}{\sqrt{1+t{g}^2(arctg(x))}}{)}^2$$(arctg(x))'=({\frac {1}{\sqrt {1+tg^{2}(arctg(x))}}})^{2}$  Получается. $(arctg(x){)}^{\prime }=\frac{1}{1+x^2}$$(arctg(x))'={\frac {1}{1+x^{2}}}$
$\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}x$$\mathrm {arcctg} \ x$	$-<!--\; -\; -->\frac{1}{1+x^2}$$-{\frac {1}{1+x^{2}}}$	Доказательство                                  Найти производную арккотангенса можно при помощи данного тождества: $arctg(x)+arcctg(x)=\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{2}$$arctg(x)+arcctg(x)={\frac {\pi }{2}}$  Теперь находим производную обеих частей этого тождества. $[arctg(x)+arcctg(x){]}^{\prime }=(\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{2}{)}^{\prime }$$[arctg(x)+arcctg(x)]'=({\frac {\pi }{2}})'$  $(arctg(x){)}^{\prime }+(arcctg(x){)}^{\prime }=0$$(arctg(x))'+(arcctg(x))'=0$  Теперь выражаем производную арккотангенса. $(arcctg(x){)}^{\prime }=-<!--\; -\; -->(arctg(x){)}^{\prime }$$(arcctg(x))'=-(arctg(x))'$  Получается. $(arcctg(x){)}^{\prime }=-<!--\; -\; -->\frac{1}{1+x^2}$$(arcctg(x))'=-{\frac {1}{1+x^{2}}}$
$\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{c}x$$\mathrm {arcsec} \ x$	$\frac{1}{|x|\sqrt{x^2-<!--\; -\; -->1}}$${\frac {1}{|x|{\sqrt {x^{2}-1}}}}$	Доказательство                                  Найти производную арксеканса можно при помощи тождества: $arcsec(x)=arccos(\frac{1}{x})$$arcsec(x)=arccos({\frac {1}{x}})$  Теперь находим производную обеих частей этого тождества. $(arcsec(x){)}^{\prime }=(arccos(\frac{1}{x}){)}^{\prime }$$(arcsec(x))'=(arccos({\frac {1}{x}}))'$  $(arcsec(x){)}^{\prime }=-<!--\; -\; -->\frac{1}{\sqrt{1-<!--\; -\; -->\frac{1}{x^2}}}\cdot <!--\; \cdot \; -->(-<!--\; -\; -->\frac{1}{x^2})$$(arcsec(x))'=-{\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {1}{x^{2}}}}}}\cdot (-{\frac {1}{x^{2}}})$  $(arcsec(x){)}^{\prime }=\frac{1}{x^2\sqrt{\frac{x^2-<!--\; -\; -->1}{x^2}}}$$(arcsec(x))'={\frac {1}{x^{2}{\sqrt {\frac {x^{2}-1}{x^{2}}}}}}$  $(arcsec(x){)}^{\prime }=\frac{1}{x^2\frac{\sqrt{x^2-<!--\; -\; -->1}}{|x|}}$$(arcsec(x))'={\frac {1}{x^{2}{\frac {\sqrt {x^{2}-1}}{|x|}}}}$  Получается. $(arcsec(x){)}^{\prime }=\frac{1}{|x|\sqrt{x^2-<!--\; -\; -->1}}$$(arcsec(x))'={\frac {1}{|x|{\sqrt {x^{2}-1}}}}$
$\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{c}x$$\mathrm {arccosec} \ x$	$-<!--\; -\; -->\frac{1}{|x|\sqrt{x^2-<!--\; -\; -->1}}$$-{\frac {1}{|x|{\sqrt {x^{2}-1}}}}$	Доказательство                                  Найти производную арккосеканса можно при помощи данного тождества: $arccosec(x)+arcsec(x)=\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{2}$$arccosec(x)+arcsec(x)={\frac {\pi }{2}}$  Теперь находим производную обеих частей этого тождества. $[arccosec(x)+arcsec(x){]}^{\prime }=(\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{2}{)}^{\prime }$$[arccosec(x)+arcsec(x)]'=({\frac {\pi }{2}})'$  $(arccosec(x){)}^{\prime }+(arcsec(x){)}^{\prime }=0$$(arccosec(x))'+(arcsec(x))'=0$  Теперь выражаем производную арккосинуса. $(arccosec(x){)}^{\prime }=-<!--\; -\; -->(arcsec(x){)}^{\prime }$$(arccosec(x))'=-(arcsec(x))'$  Получается. $(arccosec(x){)}^{\prime }=-<!--\; -\; -->\frac{1}{|x|\sqrt{x^2-<!--\; -\; -->1}}$$(arccosec(x))'=-{\frac {1}{|x|{\sqrt {x^{2}-1}}}}$

Интегралы от обратных тригонометрических функцийПравить

Неопределённые интегралыПравить

Для действительных и комплексных x:

${\begin{aligned}\int \arcsin x\,dx&{}=x\,\arcsin x+{\sqrt {1-x^{2}}}+C,\\\int \arccos x\,dx&{}=x\,\arccos x-{\sqrt {1-x^{2}}}+C,\\\int \operatorname {arctg}\,x\,dx&{}=x\,\operatorname {arctg}\,x-{\frac {1}{2}}\ln \left(1+x^{2}\right)+C,\\\int \operatorname {arcctg}\,x\,dx&{}=x\,\operatorname {arcctg}\,x+{\frac {1}{2}}\ln \left(1+x^{2}\right)+C,\\\int \operatorname{arcsec} x\,dx&{}=x\,\operatorname{arcsec} x-\ln \left(x\left(1+{\sqrt {{x^{2}-1} \over x^{2}}}\,\right)\!\right)+C,\\\int \operatorname {arccosec}\,x\,dx&{}=x\,\operatorname {arccosec}\,x+\ln \left(x\left(1+{\sqrt {{x^{2}-1} \over x^{2}}}\,\right)\!\right)+C.\end{aligned}}$ 

Для действительных x ≥ 1:

${\begin{aligned}\int \operatorname{arcsec} x\,dx&{}=x\,\operatorname{arcsec} x-\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right)+C,\\\int \operatorname {arccosec}\,x\,dx&{}=x\,\operatorname {arccosec}\,x+\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right)+C.\end{aligned}}$ 

См. также Список интегралов от обратных тригонометрических функций

Использование в геометрииПравить

 

Прямоугольный треугольник ABC

Обратные тригонометрические функции используются для вычисления углов треугольника, если известны его стороны, например, с помощью теоремы косинусов.

В прямоугольном треугольнике эти функции от отношений сторон сразу дают угол. Так, если катет длины $a$$a$  является противолежащим для угла $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}$$\alpha$ , то

$\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}=\arcsin <!--\; \; -->(a/c)=\arccos <!--\; \; -->(b/c)=\mathrm{arctg}<!--\; \; -->(a/b)=\mathrm{arccosec}<!--\; \; -->(c/a)=\mathrm{arcsec}<!--\; \; -->(c/b)=\mathrm{arcctg}<!--\; \; -->(b/a).$$\alpha =\arcsin(a/c)=\arccos(b/c)=\operatorname {arctg} (a/b)=\operatorname {arccosec} (c/a)=\operatorname {arcsec}(c/b)=\operatorname {arcctg} (b/a).$ 

Связь с натуральным логарифмомПравить

Для вычисления значений обратных тригонометрических функций от комплексного аргумента удобно использовать формулы, выражающие их через натуральный логарифм:

${\begin{aligned}\arcsin z&{}=-i\ln(iz+{\sqrt {1-z^{2}}})={\frac {\pi }{2}}-i\ln(z+{\sqrt {z^{2}-1}}),\end{aligned}}$ 

${\begin{aligned}\arccos z&{}={\dfrac {\pi }{2}}+i\ln(iz+{\sqrt {1-z^{2}}}),\end{aligned}}$ 

${\begin{aligned}\operatorname {arctg}\,z&{}={\dfrac {i}{2}}(\ln(1-iz)-\ln(1+iz)),\end{aligned}}$ 

${\begin{aligned}\operatorname {arcctg}\,z&{}={\dfrac {i}{2}}\left(\ln \left({\dfrac {z-i}{z}}\right)-\ln \left({\dfrac {z+i}{z}}\right)\right),\end{aligned}}$ 

${\begin{aligned}\operatorname{arcsec} z&{}=\arccos \left(z^{{-1}}\right)={\dfrac {\pi }{2}}+i\ln \left({\sqrt {1-{\dfrac {1}{z^{2}}}}}+{\dfrac {i}{z}}\right),\end{aligned}}$ 

${\begin{aligned}\operatorname {arccosec}\,z&{}=\arcsin \left(z^{{-1}}\right)=-i\ln \left({\sqrt {1-{\dfrac {1}{z^{2}}}}}+{\dfrac {i}{z}}\right).\end{aligned}}$ 

См. такжеПравить

• Обратные гиперболические функции
• Теорема Данжуа — Лузина

СсылкиПравить

• Weisstein, Eric W. Обратные тригонометрические функции (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Математическая энциклопедия / Гл. ред. И. М. Виноградов. — М.: «Советская Энциклопедия», 1982. — [dic.academic.ru/dic.nsf/enc_mathematics/3612/%D0%9E%D0%91%D0%A0%D0%90%D0%A2%D0%9D%D0%AB%D0%95 Т. 3. — с. 1135].
• Обратные тригонометрические функции — статья из Большой советской энциклопедии.  — М.: «Советская Энциклопедия», 1974. — Т. 18. — с. 225.
• Обратные тригонометрические функции // Энциклопедический словарь юного математика / Савин А.П. — М.: Педагогика, 1985. — С. 220—221. — 352 с.
• Построение графиков обратных тригонометрических функций онлайн
• Онлайн калькулятор: обратные тригонометрические функции